從問題中“來”，到模型中“去”
——關(guān)于隱圓模型的解題應(yīng)用

?江蘇省常熟市沙家浜中學(xué) 曹鳴軍

1 引例探究

引例(2021年江蘇徐州市中考卷第18題)在△ABC中，若AB=6，∠ACB=45°，則△ABC的面積的最大值為______.

分析：定長(zhǎng)AB所對(duì)角∠ACB為定角，結(jié)合圓周角定理中“同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”，可構(gòu)建圓來體現(xiàn)上述特性，即AB定值→弧AB定長(zhǎng)→所對(duì)圓周角∠ACB定角，故點(diǎn)C位于過A，B，C三點(diǎn)的圓上.后續(xù)利用圓的性質(zhì)分析最值.

圖1

2 模型解讀與探究

上述問題突破的關(guān)鍵是求CM的最大值，解析時(shí)借助了圓的特殊性質(zhì)，實(shí)則問題中隱含了“定長(zhǎng)對(duì)定角”隱圓模型.即定長(zhǎng)——AB，定角——∠ACB=45°，且二者為相對(duì)關(guān)系.

2.1 模型解讀

若長(zhǎng)度固定的線段AB所對(duì)的動(dòng)角∠P為定值，則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為過A，B，P三點(diǎn)的圓的一部分，如圖2所示.該模型所蘊(yùn)含的基本原理為弦AB所對(duì)同側(cè)的圓周角始終相等.

圖2

2.2 解題策略

“定長(zhǎng)對(duì)定角”隱圓模型在幾何中有著廣泛的應(yīng)用，實(shí)際解題時(shí)，建議分三步突破.

第一步，提取“定長(zhǎng)”“定角”，確定隱圓模型；

第二步，基于定長(zhǎng)和定角所在三角形作外接圓，通過解三角形確定圓心位置及半徑；

第三步，利用圓的性質(zhì)推導(dǎo)關(guān)鍵線段，完成求解.

2.3 問題再探

2021年廣東中考卷第17題的破解過程同樣涉及到了“定長(zhǎng)對(duì)定角”隱圓模型，同樣利用三點(diǎn)共線來求線段最值.下面進(jìn)一步探究隱圓模型.

例1(2021年廣東中考卷第17題)在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3.點(diǎn)D是平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠ADB=45°，則線段CD長(zhǎng)度的最小值為______.

分析：已知AB=2，∠ADB=45°，顯然滿足“定長(zhǎng)+定角”，可構(gòu)建隱圓⊙O，則點(diǎn)D在⊙O上運(yùn)動(dòng).結(jié)合幾何性質(zhì)可確定⊙O的半徑，利用圓的性質(zhì)、三點(diǎn)共線可確定最值情形.

圖3

3 拓展探究

隱圓模型可有效用于幾何問題求解，如最值問題、取值問題、求線段長(zhǎng)問題等.隱圓模型的類型較為眾多，除了上述的“定長(zhǎng)對(duì)定角”模型外，還有常用的“直徑對(duì)直角”模型、“四點(diǎn)共圓”模型等.下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)一步探究隱圓模型.

拓展模型一：“直徑對(duì)直角”模型

“直徑對(duì)直角”模型，即點(diǎn)C是線段AB外的一點(diǎn)，若∠ACB=90°，則點(diǎn)C位于以AB為直角的圓上；也可逆向推導(dǎo)，若點(diǎn)C位于以AB為直徑的圓上，則∠ACB=90°.該模型是基于圓周角定理所構(gòu)建的.解題時(shí)可依據(jù)該模型來確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，也可推導(dǎo)夾角大小.

例2(2021年江蘇常州市中考卷第18題)如圖4所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CBA=30°，AC=1，D是AB上一點(diǎn)(點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合).若在Rt△ABC的直角邊上存在4個(gè)不同的點(diǎn)分別和點(diǎn)A，D成為直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則AD長(zhǎng)的取值范圍是______.

圖4

分析：要求Rt△ABC的直角邊上存在點(diǎn)與A和D組成直角三角形，則可以借助“直徑對(duì)直角”模型，以AD為直徑畫圓，與BC和AC的交點(diǎn)就為其中滿足條件的點(diǎn).后續(xù)利用圓的性質(zhì)即可推導(dǎo)AD的取值范圍.

解：以AD為直徑作⊙O，與BC的相切于點(diǎn)M，連接OM，則OM⊥BC，此時(shí)在Rt△ABC的直角邊長(zhǎng)存在3個(gè)不同的點(diǎn)分別和點(diǎn)A，D組成直角三角形，如圖5所示.逐步增大AD長(zhǎng)，則⊙O與BC將有兩個(gè)交點(diǎn)，可出現(xiàn)滿足條件的4個(gè)點(diǎn).當(dāng)AD=AB時(shí)，則只有1個(gè)滿足條件的點(diǎn).

圖5

當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，即AD=AB=2，即AD的最大極限為2.

評(píng)析：上述探究的核心是構(gòu)建直角三角形，故可引入“直徑對(duì)直角”隱圓模型來研究線段長(zhǎng)問題.同時(shí)解析過程涉及到了動(dòng)態(tài)分析，可通過研究極限情形來“化動(dòng)為靜”.

拓展模型二：“四點(diǎn)共圓”模型

“四點(diǎn)共圓”模型，即在同一平面內(nèi)的四個(gè)不同的點(diǎn)在一定條件下可以確定一個(gè)圓，利用該模型的性質(zhì)可以推導(dǎo)角度關(guān)系，以及線段長(zhǎng).而構(gòu)建“四點(diǎn)共圓”模型的策略有多種，可以從線段長(zhǎng)入手，也可借助四邊形的性質(zhì).

例3(2021年浙江嘉興市中考卷第9題)如圖6，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，D在AC上，且AD=2，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE.點(diǎn)F，G分別是BC和DE的中點(diǎn)，連接AG，F(xiàn)G.當(dāng)AG=FG時(shí)，線段DE的長(zhǎng)為( ).

圖6

分析：E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，在Rt△ADE中，始終有AG=DG=GE，所以當(dāng)AG=FG時(shí)，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，D到點(diǎn)G的距離相等，即四點(diǎn)共圓，且點(diǎn)G為圓心.結(jié)合圓周角定理可推知△DEF為直角三角形，由勾股定理，可求解.

圖7

評(píng)析：上述解析過程充分結(jié)合中點(diǎn)特性推導(dǎo)線段等長(zhǎng)關(guān)系，推知四點(diǎn)共圓，構(gòu)建了隱圓模型，進(jìn)而提取直角三角形，隱圓模型在解題過程中起到了關(guān)鍵作用.實(shí)際上，證明全等三角形可推知△DEF為等腰直角三角形，進(jìn)而求出直角邊DF長(zhǎng)也可完成求解.

4 教學(xué)反思

上述通過剖析考題解法，提取其中的幾何模型，并深入探究了隱圓的幾個(gè)重要模型，其中隱圓的構(gòu)建策略及模型特征有著重要的學(xué)習(xí)價(jià)值，下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，進(jìn)一步反思.

4.1 關(guān)注幾何圓，總結(jié)圓的特性

圓是初中幾何較為特殊的圖形，其弧狀特征區(qū)別于其他圖形，理解圓的定義，掌握?qǐng)A的幾何性質(zhì)是探究學(xué)習(xí)的關(guān)鍵.尤其是垂徑定理、圓周角定理、圓心角定理，是后續(xù)構(gòu)建隱圓模型的關(guān)鍵.教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生深入總結(jié)圓的特性，結(jié)合幾何知識(shí)開展定理證明.同時(shí)可對(duì)定理進(jìn)行歸納，深入剖析定理中角度、弦長(zhǎng)之間的關(guān)系，構(gòu)建幾何聯(lián)系.

4.2 注重問題引導(dǎo)，體驗(yàn)探究過程

上述隱圓的探究過程，采用了問題引導(dǎo)、知識(shí)探究的方式，即從典型中考題入手，引導(dǎo)學(xué)生解析問題，然后開展解后反思，總結(jié)提煉模型.這種探究方式可以極大地調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，讓學(xué)生參與教學(xué)過程，從問題中“來”，回歸到問題中“去”，深刻感知模型的應(yīng)用價(jià)值.因此，實(shí)際教學(xué)應(yīng)多采用問題引導(dǎo)、過程探究的方式，引導(dǎo)學(xué)生反思、歸納，生成相應(yīng)的解題策略.

4.3 重視構(gòu)圖過程，掌握建模方法

隱圓構(gòu)建是解題的關(guān)鍵，從上述解析過程可知，隱圓的構(gòu)建是建立在對(duì)應(yīng)的知識(shí)基礎(chǔ)上，如原考題結(jié)合“同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”來構(gòu)建圓，例2結(jié)合“圓上各點(diǎn)到圓心的距離相等”來構(gòu)建圓.因此構(gòu)圖背后所隱含的是圓的性質(zhì)定理及作圖方法，故教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)隱圓的構(gòu)建策略，包括從角度入手、等線段長(zhǎng)入手等，幫助學(xué)生總結(jié)建模方法，提升建模能力.

總之，深入探究典型問題的解析方法，挖掘問題中隱含的模型價(jià)值，對(duì)于提升解題能力有著極大的幫助.隱圓模型在幾何問題中有著廣泛的應(yīng)用，同時(shí)隱圓具有多種模型，上述所探究的只是其中較為常用的三種，除此之外還有“定點(diǎn)定長(zhǎng)”模型、“定角定高”模型等.教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生勤思考、多總結(jié)、巧運(yùn)用，合理滲透模型思想，充分提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.