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    從問題中“來”,到模型中“去”
    ——關(guān)于隱圓模型的解題應(yīng)用

    2023-01-05 12:46:50江蘇省常熟市沙家浜中學(xué)曹鳴軍
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年24期
    關(guān)鍵詞:解題探究模型

    ?江蘇省常熟市沙家浜中學(xué) 曹鳴軍

    1 引例探究

    引例(2021年江蘇徐州市中考卷第18題)在△ABC中,若AB=6,∠ACB=45°,則△ABC的面積的最大值為______.

    分析:定長AB所對角∠ACB為定角,結(jié)合圓周角定理中“同弧或等弧所對的圓周角相等”,可構(gòu)建圓來體現(xiàn)上述特性,即AB定值→弧AB定長→所對圓周角∠ACB定角,故點C位于過A,B,C三點的圓上.后續(xù)利用圓的性質(zhì)分析最值.

    圖1

    2 模型解讀與探究

    上述問題突破的關(guān)鍵是求CM的最大值,解析時借助了圓的特殊性質(zhì),實則問題中隱含了“定長對定角”隱圓模型.即定長——AB,定角——∠ACB=45°,且二者為相對關(guān)系.

    2.1 模型解讀

    若長度固定的線段AB所對的動角∠P為定值,則點P的運動軌跡為過A,B,P三點的圓的一部分,如圖2所示.該模型所蘊含的基本原理為弦AB所對同側(cè)的圓周角始終相等.

    圖2

    2.2 解題策略

    “定長對定角”隱圓模型在幾何中有著廣泛的應(yīng)用,實際解題時,建議分三步突破.

    第一步,提取“定長”“定角”,確定隱圓模型;

    第二步,基于定長和定角所在三角形作外接圓,通過解三角形確定圓心位置及半徑;

    第三步,利用圓的性質(zhì)推導(dǎo)關(guān)鍵線段,完成求解.

    2.3 問題再探

    2021年廣東中考卷第17題的破解過程同樣涉及到了“定長對定角”隱圓模型,同樣利用三點共線來求線段最值.下面進一步探究隱圓模型.

    例1(2021年廣東中考卷第17題)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=3.點D是平面上的一個動點,∠ADB=45°,則線段CD長度的最小值為______.

    分析:已知AB=2,∠ADB=45°,顯然滿足“定長+定角”,可構(gòu)建隱圓⊙O,則點D在⊙O上運動.結(jié)合幾何性質(zhì)可確定⊙O的半徑,利用圓的性質(zhì)、三點共線可確定最值情形.

    圖3

    3 拓展探究

    隱圓模型可有效用于幾何問題求解,如最值問題、取值問題、求線段長問題等.隱圓模型的類型較為眾多,除了上述的“定長對定角”模型外,還有常用的“直徑對直角”模型、“四點共圓”模型等.下面結(jié)合實例進一步探究隱圓模型.

    拓展模型一:“直徑對直角”模型

    “直徑對直角”模型,即點C是線段AB外的一點,若∠ACB=90°,則點C位于以AB為直角的圓上;也可逆向推導(dǎo),若點C位于以AB為直徑的圓上,則∠ACB=90°.該模型是基于圓周角定理所構(gòu)建的.解題時可依據(jù)該模型來確定動點軌跡,也可推導(dǎo)夾角大小.

    例2(2021年江蘇常州市中考卷第18題)如圖4所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CBA=30°,AC=1,D是AB上一點(點D與點A不重合).若在Rt△ABC的直角邊上存在4個不同的點分別和點A,D成為直角三角形的三個頂點,則AD長的取值范圍是______.

    圖4

    分析:要求Rt△ABC的直角邊上存在點與A和D組成直角三角形,則可以借助“直徑對直角”模型,以AD為直徑畫圓,與BC和AC的交點就為其中滿足條件的點.后續(xù)利用圓的性質(zhì)即可推導(dǎo)AD的取值范圍.

    解:以AD為直徑作⊙O,與BC的相切于點M,連接OM,則OM⊥BC,此時在Rt△ABC的直角邊長存在3個不同的點分別和點A,D組成直角三角形,如圖5所示.逐步增大AD長,則⊙O與BC將有兩個交點,可出現(xiàn)滿足條件的4個點.當AD=AB時,則只有1個滿足條件的點.

    圖5

    當點D與點B重合時,即AD=AB=2,即AD的最大極限為2.

    評析:上述探究的核心是構(gòu)建直角三角形,故可引入“直徑對直角”隱圓模型來研究線段長問題.同時解析過程涉及到了動態(tài)分析,可通過研究極限情形來“化動為靜”.

    拓展模型二:“四點共圓”模型

    “四點共圓”模型,即在同一平面內(nèi)的四個不同的點在一定條件下可以確定一個圓,利用該模型的性質(zhì)可以推導(dǎo)角度關(guān)系,以及線段長.而構(gòu)建“四點共圓”模型的策略有多種,可以從線段長入手,也可借助四邊形的性質(zhì).

    例3(2021年浙江嘉興市中考卷第9題)如圖6,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=5,D在AC上,且AD=2,點E是AB上的動點,連接DE.點F,G分別是BC和DE的中點,連接AG,F(xiàn)G.當AG=FG時,線段DE的長為( ).

    圖6

    分析:E是AB上的動點,在Rt△ADE中,始終有AG=DG=GE,所以當AG=FG時,點A,E,F(xiàn),D到點G的距離相等,即四點共圓,且點G為圓心.結(jié)合圓周角定理可推知△DEF為直角三角形,由勾股定理,可求解.

    圖7

    評析:上述解析過程充分結(jié)合中點特性推導(dǎo)線段等長關(guān)系,推知四點共圓,構(gòu)建了隱圓模型,進而提取直角三角形,隱圓模型在解題過程中起到了關(guān)鍵作用.實際上,證明全等三角形可推知△DEF為等腰直角三角形,進而求出直角邊DF長也可完成求解.

    4 教學(xué)反思

    上述通過剖析考題解法,提取其中的幾何模型,并深入探究了隱圓的幾個重要模型,其中隱圓的構(gòu)建策略及模型特征有著重要的學(xué)習(xí)價值,下面結(jié)合教學(xué)實踐,進一步反思.

    4.1 關(guān)注幾何圓,總結(jié)圓的特性

    圓是初中幾何較為特殊的圖形,其弧狀特征區(qū)別于其他圖形,理解圓的定義,掌握圓的幾何性質(zhì)是探究學(xué)習(xí)的關(guān)鍵.尤其是垂徑定理、圓周角定理、圓心角定理,是后續(xù)構(gòu)建隱圓模型的關(guān)鍵.教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生深入總結(jié)圓的特性,結(jié)合幾何知識開展定理證明.同時可對定理進行歸納,深入剖析定理中角度、弦長之間的關(guān)系,構(gòu)建幾何聯(lián)系.

    4.2 注重問題引導(dǎo),體驗探究過程

    上述隱圓的探究過程,采用了問題引導(dǎo)、知識探究的方式,即從典型中考題入手,引導(dǎo)學(xué)生解析問題,然后開展解后反思,總結(jié)提煉模型.這種探究方式可以極大地調(diào)動學(xué)生的思維,讓學(xué)生參與教學(xué)過程,從問題中“來”,回歸到問題中“去”,深刻感知模型的應(yīng)用價值.因此,實際教學(xué)應(yīng)多采用問題引導(dǎo)、過程探究的方式,引導(dǎo)學(xué)生反思、歸納,生成相應(yīng)的解題策略.

    4.3 重視構(gòu)圖過程,掌握建模方法

    隱圓構(gòu)建是解題的關(guān)鍵,從上述解析過程可知,隱圓的構(gòu)建是建立在對應(yīng)的知識基礎(chǔ)上,如原考題結(jié)合“同弧或等弧所對的圓周角相等”來構(gòu)建圓,例2結(jié)合“圓上各點到圓心的距離相等”來構(gòu)建圓.因此構(gòu)圖背后所隱含的是圓的性質(zhì)定理及作圖方法,故教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)隱圓的構(gòu)建策略,包括從角度入手、等線段長入手等,幫助學(xué)生總結(jié)建模方法,提升建模能力.

    總之,深入探究典型問題的解析方法,挖掘問題中隱含的模型價值,對于提升解題能力有著極大的幫助.隱圓模型在幾何問題中有著廣泛的應(yīng)用,同時隱圓具有多種模型,上述所探究的只是其中較為常用的三種,除此之外還有“定點定長”模型、“定角定高”模型等.教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生勤思考、多總結(jié)、巧運用,合理滲透模型思想,充分提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

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