幾何條件梳理，思路突破探究
——以2021年蘇州市中考幾何綜合題為例

?蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 張 玲

1 考題再現(xiàn)

考題(2021年蘇州市中考數(shù)學(xué)試卷第28題)如圖1所示，在矩形ABCD中，線段EF，GH分別平行于AD，AB，它們相交于點(diǎn)P，點(diǎn)P1，P2分別在線段PF，PH上，PP1=PG，PP2=PE，連接P1H，P2F，P1H與P2F相交于點(diǎn)Q.已知AG∶GD=AE∶EB=1∶2.設(shè)AG=a，AE=b.

圖1

(1)四邊形EBHP的面積四邊形GPFD的面積(填“>”“=”或“<”)；

(2)求證：△P1FQ∽△P2HQ；

分析：此題為幾何綜合題，條件眾多，形成了矩形疊套、三角形與矩形結(jié)合，同時(shí)融合了動(dòng)點(diǎn).問題探究涉及到了矩形面積比較、三角形相似、面積比值分析等.問題的條件信息具有層次性，解答分析需要對(duì)條件進(jìn)行梳理，具體如下.

幾何背景——矩形ABCD；

平行線——EF∥AD∥BC，GH∥AB∥CD，又EF⊥GH，將矩形分割為四個(gè)部分，也是四個(gè)矩形；

線段比例——AG∶GD=AE∶EB=1∶2，該信息隱含了矩形相似，即矩形AEPG∽矩形ABCD∽矩形PHCF，且相似比為1∶2∶3；

等線段——PP1=PG，PP2=PE；

交叉三角形——連接P1H,P2F，兩線交叉形成了眾多三角形.從圖形比例關(guān)系來看，其中必然存在相似三角形.

2 思路突破

本題目共分三問，解題時(shí)要把握問題特征，立足問題條件開展思路探究，下面逐問突破.

2.1 線段比例構(gòu)建，面積大小分析

第(1)問探究四邊形EBHP和四邊形GPFD的面積關(guān)系，根據(jù)條件可知這兩個(gè)這兩個(gè)四邊形之間沒有相似關(guān)系，需要根據(jù)條件來推導(dǎo)線段長(zhǎng)，然后結(jié)合公式求面積.

根據(jù)題干中的平行條件可知，四邊形EBHP和GPFD均為矩形.又知AG=a，AE=b，AG∶GD=AE∶EB=1∶2，則PE=a，PG=b，GD=PF=2a，EB=PH=2b.所以四邊形EBHP的面積=PH·PE=2ab，四邊形GPFD的面積=PF·PG=2ab，從而可知四邊形EBHP和四邊形GPFD的面積相等.

2.2 等面積轉(zhuǎn)化，相似關(guān)系構(gòu)建

2.3 面積問題轉(zhuǎn)化，模型構(gòu)建突破

第(3)問則是關(guān)于四邊形面積的比值問題，所涉兩個(gè)四邊形的形狀不規(guī)則，為一般四邊形.求兩四邊形面積的比值，有兩種思路：①?gòu)母钛a(bǔ)法構(gòu)建模型切入，將四邊形面積轉(zhuǎn)化為幾個(gè)常規(guī)三角形面積的和，借助三角形分析面積比值；②從圖形相似入手，初步來看兩四邊形為相似關(guān)系，只需證明四邊形的四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等即可證明圖形相似，則結(jié)合相似圖形的線段比可推知面積比.基于上述方法思路，下面具體解答.

解法1:構(gòu)建面積割補(bǔ)模型.

如圖2,連接P1P2，F(xiàn)H，則四邊形PP1QP2的面積可表示為S1=S△PP1P2+S△P1P2Q，四邊形CFQH的面積可表示為S2=S△FHC+S△FHQ.

圖2

因?yàn)椤螾1PP2=∠C=90°，所以△P1PP2∽△FCH.

解法2:構(gòu)建圖形相似模型.

因?yàn)椤螾1PP2=∠C=90°，所以△P1PP2∽△FCH.

3 深度反思

上述對(duì)一道幾何綜合題進(jìn)行了深入探究，從突破過程來看，線段的比例、三角形相似的知識(shí)是突破的核心，下面深入反思問題解法.

3.1 關(guān)于第(2)問的思考

第(2)問是關(guān)于三角形相似證明的問題，構(gòu)建解題思路為：等面積條件轉(zhuǎn)化(四邊形EBHP=四邊形GPFD)→輔助相似三角形推導(dǎo)(△PP2F∽△PP1H)→問題相似三角形證明(△P1FQ∽△P2HQ).即基于第(1)問的矩形面積相等，提取關(guān)于邊長(zhǎng)相似的比例條件，證明圖形中兩個(gè)矩形相似，進(jìn)而推導(dǎo)出關(guān)鍵的等角——∠PFP2=∠PHP1.其中輔助相似三角形在思路構(gòu)建中起橋梁作用，旨在串聯(lián)問題中的矩形條件與等角關(guān)系.同時(shí)，證明輔助相似三角形的方法在幾何證明題中十分常見.

3.2 關(guān)于第(3)問的思考

第(3)問是中考常見的面積比值問題.常見的面積比值問題有兩大背景：一是幾何圖形背景，如本題目；二是函數(shù)曲線背景，如反比例函數(shù)曲線、拋物線等.在求解面積比值時(shí)上述解法采用了兩種不同的思路，其中解法1的本質(zhì)是割補(bǔ)思想，旨在將面積比值轉(zhuǎn)化為面積關(guān)系；而解法2的本質(zhì)是相似轉(zhuǎn)化，旨在將面積比值轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)度關(guān)系.故基于不同的方法思路構(gòu)建了不同的數(shù)學(xué)模型，由模型完成了面積比值求解.對(duì)于兩大背景中的面積比值問題，下面總結(jié)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)化策略.

幾何圖形背景中的轉(zhuǎn)化策略：

策略1——面積公式，直接求幾何面積；

策略2——面積割補(bǔ)，面積比值轉(zhuǎn)化為線段比值；

策略3——相似轉(zhuǎn)化，由相似比求面積比.

函數(shù)曲線背景中的轉(zhuǎn)化策略：

策略1——底高模型，面積比值轉(zhuǎn)化為線段比值；

策略2——鉛垂模型，面積比值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)參數(shù)比值.

3.3 關(guān)于問題教學(xué)的微設(shè)計(jì)

實(shí)際探究時(shí)，建議采用教學(xué)微設(shè)計(jì)的方式引導(dǎo)學(xué)生讀題審題，理解題意，把握知識(shí)條件來構(gòu)建解題思路.以上述第(3)問的面積比值探究為例，下面開展教學(xué)微設(shè)計(jì).

環(huán)節(jié)一：條件梳理，基礎(chǔ)強(qiáng)化

條件1：如圖2所示，在矩形ABCD中，線段EF，GH分別平行于AD，AB，它們相交于點(diǎn)P；

條件2：點(diǎn)P1，P2分別在線段PF，PH上，PP1=PG，PP2=PE，連接P1H，P2F，P1H與P2F相交于點(diǎn)Q.

條件3：已知AG∶GD=AE∶EB=1∶2，設(shè)AG=a，AE=b.

設(shè)問1針對(duì)條件1，可以得到哪些信息，圖中有幾個(gè)矩形？

針對(duì)條件2，P1H和P2F形成了兩組三角形△P1FQ和△P2HQ，△PP2F和△PP1H，可以得出怎樣的猜想？

針對(duì)條件3：根據(jù)線段比例，是否可以證明四邊形AEPG∽四邊形ABCD∽四邊形PHCF？若可以請(qǐng)求出相似比.

設(shè)計(jì)意圖：環(huán)節(jié)一旨在引導(dǎo)學(xué)生梳理?xiàng)l件，挖掘隱含信息，同時(shí)作出猜想，為后續(xù)的綜合探究作鋪墊.

環(huán)節(jié)二：設(shè)問引導(dǎo)，相似推導(dǎo)

設(shè)問2AG∶GD=AE∶EB=1∶2，根據(jù)上述條件求四邊形PP1QP2與四邊形CFQH的面積之比.

設(shè)問3請(qǐng)根據(jù)設(shè)問2中四邊形面積的比值關(guān)系，證明△P1FQ∽△P2HQ.

設(shè)計(jì)意圖：環(huán)節(jié)二主要引導(dǎo)學(xué)生從線段比值中推導(dǎo)面積關(guān)系，利用面積關(guān)系完成比例線段提取，進(jìn)而證明三角形相似.其中思維線索“線段比例→面積關(guān)系→相似關(guān)系”是探究的關(guān)鍵.

環(huán)節(jié)三：深入探究，面積比構(gòu)建

連接P1P2，F(xiàn)H，如圖2所示，對(duì)于四邊形PP1QP2與四邊形CFQH，若∠QHC=∠QP2P，∠QFC=∠QP1P，則可證兩三角形相似.

設(shè)問4請(qǐng)根據(jù)△P1FQ∽△P2HQ的性質(zhì)條件，證明△P1QP2∽△FQH.

設(shè)問5是否可以結(jié)合上述相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，證明四邊形PP1QP2與四邊形CFQH相似？

設(shè)問6請(qǐng)根據(jù)四邊形PP1QP2∽四邊形CFQH，求出這兩個(gè)四邊形的面積比.

設(shè)計(jì)意圖：環(huán)節(jié)三設(shè)計(jì)的核心是幫助學(xué)生掌握四邊形相似的證明思路，即“四邊形分割→相似三角形證明→四邊形相似證明”.

4 教學(xué)建議

幾何綜合題常作為壓軸題在中考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)，問題條件的處理方法，以及思維推理的構(gòu)建過程在解題中十分重要，也是教學(xué)的重點(diǎn).下面提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

(1)把握背景，條件串聯(lián).幾何綜合題的問題條件具有層次性，往往立足圖形特征來串聯(lián)條件，實(shí)現(xiàn)了條件之間的交叉融合.而在實(shí)際解題時(shí)建議對(duì)問題的條件進(jìn)行梳理，厘清條件之間的聯(lián)系.梳理時(shí)需要關(guān)注以下幾點(diǎn)：一是背景圖形的特征，以及特殊圖形；二是動(dòng)點(diǎn)或不確定的點(diǎn)所在線段及軌跡；三是提取三角形以及其他幾何圖形.

(2)轉(zhuǎn)化分析，思路引導(dǎo).問題條件的轉(zhuǎn)化是破解幾何綜合題的核心方法，即對(duì)問題或條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)建思路.解題教學(xué)中不能僅注重方法的講解，還要重視思維的引導(dǎo)；應(yīng)將問題的推理過程、思路的構(gòu)建過程作為重點(diǎn)；引導(dǎo)學(xué)生理解題干信息，初步處理?xiàng)l件，合理轉(zhuǎn)化問題，利用解題策略探索思路的構(gòu)建過程.