增強(qiáng)軌跡意識(shí)，構(gòu)建相對(duì)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換
——以2021年鹽城市中考探究題為例

?江蘇省溧陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 王麗潔

2021年江蘇鹽城市中考數(shù)學(xué)試卷的函數(shù)壓軸題以知識(shí)探究的形式呈現(xiàn)，并將函數(shù)曲線與幾何旋轉(zhuǎn)相結(jié)合，側(cè)重對(duì)軌跡意識(shí)、相對(duì)運(yùn)動(dòng)的考查.把握動(dòng)靜聯(lián)系，確定相對(duì)轉(zhuǎn)換是突破的關(guān)鍵，下面對(duì)其進(jìn)行深入探究.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

考題(2021年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)試卷第27題)學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，小明知道，將點(diǎn)P繞著某定點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α，能得到一個(gè)新的點(diǎn)P′，經(jīng)過(guò)進(jìn)一步探究，小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)上述點(diǎn)P在某函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P′也隨之運(yùn)動(dòng)，并且點(diǎn)P′的運(yùn)動(dòng)軌跡能形成一個(gè)新的圖形.

試根據(jù)下列各題中所給的定點(diǎn)A的坐標(biāo)、角度α的大小來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題.

【初步感知】

如圖1所示，設(shè)A(1，1)，α=90°，點(diǎn)P是一次函數(shù)y=kx+b圖象上的動(dòng)點(diǎn)，已知該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1(-1，1).

圖1

(1)點(diǎn)P1旋轉(zhuǎn)后，得到的點(diǎn)P1′的坐標(biāo)為；

(2)若點(diǎn)P1′的運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過(guò)點(diǎn)P2′(2，1)，求原一次函數(shù)的表達(dá)式.

【深入感悟】

圖2

【靈活運(yùn)用】

圖3

2 解析探究

此題為探究性問(wèn)題，題干首先給出了相應(yīng)的探究背景：點(diǎn)P繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α，可得P′，當(dāng)點(diǎn)P在某一函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P′的運(yùn)動(dòng)軌跡可形成新圖形.顯然問(wèn)題探究的核心是動(dòng)點(diǎn)關(guān)聯(lián)，以及動(dòng)點(diǎn)軌跡.問(wèn)題探究共分三環(huán)節(jié)，下面逐問(wèn)探究.

環(huán)節(jié)一:初步感知

該環(huán)節(jié)以一次函數(shù)圖象為背景，點(diǎn)P位于一次函數(shù)y=kx+b圖象上，旋轉(zhuǎn)過(guò)程為點(diǎn)P1(-1，1)繞著點(diǎn)A(1，1)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α=90°得到了點(diǎn)P1′.根據(jù)旋轉(zhuǎn)特性可得兩大條件：①P1A=P1′A=2(旋轉(zhuǎn)前后的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等)；②∠P1AP1′=90°.

(1)根據(jù)點(diǎn)A和P1的坐標(biāo)可知兩點(diǎn)位于平行于x軸的直線y=1上，故旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)P1′與點(diǎn)A位于平行于y軸的直線x=1上，從而可確定點(diǎn)P1′(1,3).

評(píng)析：該環(huán)節(jié)是對(duì)幾何旋轉(zhuǎn)知識(shí)的強(qiáng)化，引導(dǎo)學(xué)生把握旋轉(zhuǎn)過(guò)程，提取其中的旋轉(zhuǎn)特性，掌握旋轉(zhuǎn)逆向推導(dǎo)的方法.

環(huán)節(jié)二:深入感悟

該環(huán)節(jié)以位于反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)為背景，且旋轉(zhuǎn)角度變?yōu)?5°，即點(diǎn)P繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°.

根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，可將P視為固定點(diǎn)，將二、四象限角平分線繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后與x軸相重合.如圖4,過(guò)點(diǎn)P作x軸垂線，設(shè)垂足為B，連接PO.可證△PBO≌△P′MO，理由如下.

圖4

評(píng)析：上述對(duì)位于雙曲線上的點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，其中旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角作了變更，探究三角形的面積時(shí)采用了相對(duì)運(yùn)動(dòng)的策略，即將點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換為直線的旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)的相對(duì)位置是不變的，因此可將△P′MO視為是△PBO旋轉(zhuǎn)所得.

環(huán)節(jié)三:靈活運(yùn)用

圖5

圖6

3 評(píng)析思考

上述對(duì)一道探究性問(wèn)題進(jìn)行了解析，其問(wèn)題的特征及破解方法均具有一定的參考價(jià)值，下面深入反思.

3.1 關(guān)于問(wèn)題特點(diǎn)的評(píng)析

本考題為探究性問(wèn)題，共分“初步感知”“深入感悟”“靈活運(yùn)用”三個(gè)環(huán)節(jié).問(wèn)題構(gòu)建有兩大特點(diǎn)：一是三個(gè)環(huán)節(jié)緊密相扣，步步深入，引導(dǎo)學(xué)生從簡(jiǎn)單的一次函數(shù)深入到復(fù)雜的二次函數(shù)；二是環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)針對(duì)性強(qiáng)，符合探究的思維過(guò)程.環(huán)節(jié)一注重基礎(chǔ)知識(shí)的強(qiáng)化，引出旋轉(zhuǎn)特性；環(huán)節(jié)二側(cè)重圖形旋轉(zhuǎn)，初步構(gòu)建相對(duì)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換，具有一定的特殊性；環(huán)節(jié)三則上升到拋物線中，引出面積最值問(wèn)題，具有極強(qiáng)的應(yīng)用性.問(wèn)題設(shè)計(jì)思維連續(xù)性強(qiáng)，可幫助學(xué)生強(qiáng)化基礎(chǔ)，總結(jié)方法，增強(qiáng)應(yīng)用，是函數(shù)與幾何相融合的典型代表.

3.2 關(guān)于問(wèn)題解法的思考

動(dòng)點(diǎn)軌跡、相對(duì)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換是上述探究性問(wèn)題重要的破題策略，尤其是相對(duì)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)了“動(dòng)點(diǎn)”與“定點(diǎn)”的互換，構(gòu)建了條件之間的聯(lián)系，簡(jiǎn)化了解題思路.相對(duì)運(yùn)動(dòng)是物理上重要的思想，即把原動(dòng)點(diǎn)作為參照標(biāo)準(zhǔn)，將“動(dòng)點(diǎn)”變?yōu)椤岸c(diǎn)”，將“定點(diǎn)”變?yōu)椤皠?dòng)點(diǎn)”.相對(duì)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換的使用需滿足兩大條件：一是運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)多于定點(diǎn)，如上述問(wèn)題中繞著定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，顯然動(dòng)點(diǎn)較多；二是動(dòng)點(diǎn)關(guān)聯(lián)，具有一定的聯(lián)動(dòng)性，如上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中動(dòng)點(diǎn)位于同一直線或曲線上，則動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系.從幾何視角來(lái)看，動(dòng)點(diǎn)圍成的圖形形狀和大小不發(fā)生改變，也是幾何旋轉(zhuǎn)的核心內(nèi)容.

4 方法拓展

上述考題采用相對(duì)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換的方法，主要目的是為了串聯(lián)條件，構(gòu)建旋轉(zhuǎn)前后圖形之間的聯(lián)系，利用原條件來(lái)求解.如環(huán)節(jié)二構(gòu)建S△OMP′=S△PBO關(guān)系，環(huán)節(jié)三利用原拋物線構(gòu)建面積最值模型.實(shí)際上通過(guò)相對(duì)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換還可減少動(dòng)點(diǎn)，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

例題在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC為矩形，已知點(diǎn)A(5,0)，B(0,3).以點(diǎn)A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC，可得矩形ADEF，點(diǎn)O，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn).

(1)如圖7所示，當(dāng)點(diǎn)D落在BC上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

圖7

(2)記K為矩形AOBC對(duì)角線的交點(diǎn)，S為△KDE的面積，求S的取值范圍.

解析：(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)特性，并在Rt△ADC中使用勾股定理即可求得BD=1，所以點(diǎn)D(1,3).

(2)求△KDE面積的取值范圍，只需考慮K，D，E三點(diǎn)即可，如圖8所示.但D和E兩點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，僅K為定點(diǎn)，三角形的面積不容易確定.

圖8

此時(shí)就可采用相對(duì)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換來(lái)減少動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)，即固定點(diǎn)D和點(diǎn)E，讓其回到初始位置，即點(diǎn)O和點(diǎn)B處，則可視為點(diǎn)K繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖9所示.

圖9

評(píng)析：上述求解動(dòng)態(tài)三角形的面積，采用相對(duì)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換的方法構(gòu)建了“一動(dòng)兩定”面積模型，實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)化作答.

5 寫(xiě)在最后

幾何旋轉(zhuǎn)是圖形運(yùn)動(dòng)的一種方式，其中隱含著不變的規(guī)律.對(duì)于融合圖形旋轉(zhuǎn)的幾何探究題，可采用相對(duì)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換的方法來(lái)分析其中的動(dòng)靜關(guān)系，構(gòu)建旋轉(zhuǎn)前后的條件聯(lián)系.相對(duì)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換的思維難點(diǎn)是視角變換，具體探究可從物理視角思考，分析動(dòng)靜條件以及條件之間的聯(lián)系，如點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系、運(yùn)動(dòng)參照系等.

教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的觀念看待問(wèn)題，關(guān)注運(yùn)動(dòng)過(guò)程，提取運(yùn)動(dòng)規(guī)律，繪制動(dòng)點(diǎn)軌跡，同時(shí)充分理解相對(duì)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換的目的.通過(guò)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換、圖形變換來(lái)增強(qiáng)學(xué)生的軌跡意識(shí)，提升數(shù)學(xué)思維.