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    讓創(chuàng)新之花在數(shù)學(xué)課堂精彩綻放
    ——基于對習(xí)題探究課的賞析有感

    2023-01-05 12:32:58江蘇省如東縣洋口鎮(zhèn)初級中學(xué)袁陳佳
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年24期
    關(guān)鍵詞:解題思維教師

    ?江蘇省如東縣洋口鎮(zhèn)初級中學(xué) 袁陳佳

    隨著新課程理念的深化,教師越發(fā)關(guān)注對學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng).當然,培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的方法很多,對于數(shù)學(xué)教學(xué)而言,最簡單、最直接、最有效的方法莫過于提供豐富的學(xué)習(xí)素材,讓學(xué)生解決豐富多彩的、具有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)問題.問題作為課堂教學(xué)的主要方式,對教學(xué)效果的影響直接而深遠,恰到好處的問題可以引發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新靈感,培養(yǎng)學(xué)生的思維能力[1].下面,筆者從習(xí)題探究課的視角出發(fā),具體闡述如何讓創(chuàng)新之花在數(shù)學(xué)課堂中精彩綻放.

    1 以典型習(xí)題為載體,引發(fā)一題多解,收獲層出不窮的成功喜悅

    一些簡單的常規(guī)題,學(xué)生在解決的過程中勢必“胸有成竹”,對學(xué)生自信心的建立效果顯著.而常規(guī)習(xí)題對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維意義不大,相反會讓越來越多的學(xué)優(yōu)生喪失解題興趣,對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)十分不利.一些具有創(chuàng)新色彩的典型習(xí)題,其神秘不僅體現(xiàn)在思路的隱蔽上,還表現(xiàn)在奇妙的構(gòu)思上,更重要的是可以讓學(xué)生在一題多解的過程中培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性.因此,教師需要以典型習(xí)題為載體,給足學(xué)生審題和思考的時空,為學(xué)生提供一題多解的情境,使其大膽提出想法并進一步勇敢嘗試,從而在拾級而上的數(shù)學(xué)探索中收獲層出不窮的成功喜悅.

    例1已知正方形ABCD中,點E落在邊BC上,且異于端點B,C,將EA繞著點E順時針旋轉(zhuǎn)90°至EF,連接CF.證明:CF為正方形ABCD的外角平分線.

    師:請仔細審題,并說一說你準備怎么去解這道題.(學(xué)生陷入思考)

    生1:如圖1,過點F作FH⊥CG于點H,若能得出∠FCH=45°,即可證得CF為正方形ABCD的外角平分線.

    圖1

    生2:由已知可得AE與EF相互垂直且相等,若是以AE,EF為邊借助旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形即可解決本題.

    生3:如圖1,連接AF,易得△AEF為等腰直角三角形,若能得出△FCH與△AEF間的關(guān)系即可解決本題.

    生4:我覺得可以連接BD,并證明BD∥CF,就可以完成證明了.

    生5:我認為本題若是過點F作∠DCG兩邊的垂線段,并證明這兩條垂線段長度相等,那么問題就可以解決了.

    師:你們都是有想法的好孩子!既然有了想法,何不來試一試呢?下面請大家選擇一種方法來解決本題.(學(xué)生在教師的引導(dǎo)下進行解題嘗試,由于時空充足,學(xué)生得出了以下多種多樣的精彩證法.)

    證法1:利用AAS,容易證明△ABE≌△EHF,從而得出AB=EH.因為AB=BC,所以EH=BC,故BE=CH.由△ABE≌△EHF,可得BE=FH,所以CH=FH.由此可得△FCH為等腰直角三角形,所以CF為正方形ABCD的外角平分線.

    證法2:因為∠BAE=∠CEF,∠BAE=∠CAF,所以∠CEF=∠CAF,據(jù)此可得A,E,C,F四點共圓.因為∠AEF為直角,所以∠ACF為直角,從而∠DCF=90°-∠ACD=45°.故CF為正方形ABCD的外角平分線.

    證法4:在邊AB上取一點K,使AK=CE,不難證明△AKE≌△ECF.因為KB=BE,所以△KBE是一個等腰直角三角形,于是∠BKE=45°,則有∠AKE=∠ECF=135°,從而∠FCG=45°.故CF為正方形ABCD的外角平分線.

    學(xué)生都是獨具個性的個體,看待相同的問題由于角度不同,想法也會各不相同.對于例1,學(xué)生給出的各種證法中,不管是構(gòu)造全等,還是尋求相似,又或是利用平行,都是從自身的解題經(jīng)驗中提取出來的.有想法就會有創(chuàng)新,教師基于學(xué)生的數(shù)學(xué)思考巧妙地進行“留白”,留給學(xué)生足夠的思考與探索的時空,讓學(xué)生表露自己的初步想法,引發(fā)更加深刻的思考,促進問題的正確解決.這里例1發(fā)揮了其典型效能,讓學(xué)生在一題多解的過程中復(fù)習(xí)了三角形全等、相似以及圓等相關(guān)知識,在各種知識的融合貫通中學(xué)會了解決錯綜復(fù)雜的綜合問題,很好地促進了創(chuàng)新思維的發(fā)展.

    2 以錯誤為契機,因勢利導(dǎo),歷練自由創(chuàng)新的思維

    新課程理念為數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了勃勃生機,想要讓學(xué)生能駕馭創(chuàng)新思維之舟,需要教師的適當引導(dǎo)和點撥[2].在數(shù)學(xué)課堂中,“犯錯”并非偶然,可以說具有一定的必然性,錯誤是美麗的,是動態(tài)生成的.因此,我們要允許學(xué)生犯錯,將學(xué)生的錯誤視為一種資源和契機因勢利導(dǎo),促進學(xué)生歷練自由創(chuàng)新的思維.

    圖2

    師:請在思考后說一說你打算嘗試的解題思路.(學(xué)生思考,并很快有了想法.)

    生1:如圖3,可以過點A沿著水平與豎直方向各作出兩條線,與BC分別交于點M和N.

    圖3

    生2:如圖4,可以過點A作AC的垂線,與BC相交于點H.

    圖4

    生3:如圖5,過點C作AB的垂線,與AB的延長線相交于點K.

    圖5

    師:那么在添加輔助線之后,圖中多出了哪些三角形,這些三角形對于解題有何作用?

    生1:作出圖3后,原三角形被切割為等腰三角形ACM,含有30°角的Rt△MAN及△ANB.但△ANB中有已知邊長無特殊的角,Rt△MAN與等腰三角形ACM有特殊角卻無已知邊長,那么似乎這樣作輔助線并不好用.

    師:你們在解題中也有類似的困惑嗎?

    生2:我也有.作出圖4,Rt△CAH含有30°角,但也一樣沒有已知邊長.

    生3:我也同樣有困惑.作出圖5,△CAK為等腰直角三角形,也同樣沒有已知邊長,所以題中的已知條件一樣無法靈活運用.

    師:失敗乃成功之母.通過剛才的嘗試我們知道在三角形中求邊長通??蓪⑵胀ㄈ切无D(zhuǎn)化為特殊三角形,再借助三角函數(shù)建立邊與角之間的關(guān)系來探求邊長.那么可以再深入思考一下,如何能利用轉(zhuǎn)化思想得出我們需要的三角形呢?

    生4:如圖6,過點B作CA的垂線與其延長線交于點Q,構(gòu)成的△AQB不僅為特殊三角形,也有一條邊可知.

    圖6

    師:從失敗中吸取教訓(xùn),進行深刻反思,在反思后進一步嘗試,終于得出了符合要求的三角形,也探尋到了解題的入口,非常好!從前面幾名學(xué)生添加輔助線失敗的經(jīng)歷我們可以看出,正是因為都存在缺陷才導(dǎo)致了失敗,那么現(xiàn)在再細致地思考一下,這些缺陷能否彌補呢?(學(xué)生又一次陷入深思,細細思量問題.)

    生5:從生2所作的圖4出發(fā),如圖7,進一步再過點B作AH的垂線,與AH的延長線交于點Q.因為△AQB是等腰直角三角形,AB=12,所以可得又Rt△BHQ中,∠HBQ=30°,則故從而

    圖7

    師:非常好!事實上,若是從圖3出發(fā),如圖8,進一步過點B作AN的垂線,交AN的延長線于點P,再借助勾股定理也可以讓本題獲解.只是在整個解析的過程中運算繁瑣,一般我們不會選擇這種解法,有興趣的學(xué)生也可以在課余時間進行嘗試……

    圖8

    直覺與經(jīng)驗是學(xué)生創(chuàng)新思維的基石,在拋出例題后,教師引導(dǎo)學(xué)生憑借自身的已有經(jīng)驗和直覺水平進行嘗試.學(xué)生在一番思索之后,生成了各種各樣的想法,并循著想法進行嘗試,由于作出的三角形無益于問題的解決從而從內(nèi)心深處很快被否決掉.而此時,教師并沒有一口否決學(xué)生的想法,而是循著其原生思維的脈絡(luò),鼓勵其深度思考,從錯誤中探尋機遇,讓錯誤綻放異樣的光彩,這樣一來,極好地訓(xùn)練了學(xué)生的創(chuàng)新思維,提高了學(xué)生的解題能力[3].

    總之,問題的設(shè)計取決于教學(xué)目標,教師的引導(dǎo)關(guān)乎學(xué)生思維抵達的深度與廣度,影響教學(xué)效果.因此,教師需精心設(shè)計問題并付諸課堂實踐,以典型例題引發(fā)一題多解,以錯誤為契機因勢利導(dǎo),培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維,讓創(chuàng)新智慧之花在課堂綻放.我們有理由相信,以問題為載體,以追問為引導(dǎo),必將讓學(xué)生的創(chuàng)新思維邁上一個新臺階.

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