通過一題多解 培養(yǎng)關(guān)鍵能力*

?福建省泉州師范學(xué)院附屬中學(xué) 莊惠強

1 引言

教育部于2022年4月頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》(以下簡稱《新課標》)指出：初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)包括運算能力、幾何直觀與空間觀念等.運算能力方面要求學(xué)生能選擇合理簡潔的運算策略解決問題,通過運算促進數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展[1].

“關(guān)鍵能力”指的是學(xué)生在運用知識解決問題的過程中所需要的主要學(xué)科能力,包括邏輯推理能力、運算求解能力、直觀想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力五個方面[2].在培養(yǎng)五大關(guān)鍵能力的過程中,針對不同的素材,教師要有所側(cè)重.本文中結(jié)合一題多解案例,闡述如何培養(yǎng)學(xué)生運算求解能力.

2 通過一題多解培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵能力的案例解析

2.1 案例呈現(xiàn)

如圖1,已知AB=8,點P是線段AB上的一個動點,分別以AP，BP為邊,在線段AB的同側(cè)作菱形APCD和菱形PBFE,點P,C,E在同一條直線上,∠DAP=60°,M，N分別是對角線AC，BE的中點,當(dāng)點P在線段AB上移動時,求點M，N之間距離的最小值.

圖1

2.2 培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵能力的解析

2.2.1 提升整體思維,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界 教師要時時刻刻、事事處處站在系統(tǒng)的高度講授知識,讓知識總是以“系統(tǒng)中的知識”的面目出現(xiàn)在學(xué)生面前[3].

教師要提升學(xué)生的整體思維,概括解題的一般方法,幫助學(xué)生積累基本活動經(jīng)驗.當(dāng)學(xué)生具備解題的基本活動經(jīng)驗,就能高屋建瓴、整體把握主要矛盾,用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題.初中階段,與計算線段長度或角的度數(shù)相關(guān)的的通性通法如圖2所示，包括四種情況.

圖2

通過數(shù)學(xué)的眼光,可以從現(xiàn)實世界的客觀現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與空間形式, 提出有意義的數(shù)學(xué)問題；能夠抽象出數(shù)學(xué)的研究對象及其屬性,形成概念、關(guān)系與結(jié)構(gòu)；形成對數(shù)學(xué)的好奇心與想象力,主動參與數(shù)學(xué)探究活動, 發(fā)展創(chuàng)新意識[1].

本案例中,線段MN是一條獨立的線段,要計算它的長度,通性方法沒有用武之地.從整體眼光來看,把線段MN“置于三角形中”,就能運用以上四種方法計算,因此把眼光重點放在如何構(gòu)造三角形上.這種結(jié)構(gòu)化思維,能幫助學(xué)生撥去迷霧,理清思路.

2.2.2 揭示思維過程,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考世界 在義務(wù)教育階段,數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為運算能力、推理意識或推理能力.數(shù)學(xué)的思維體現(xiàn)為能根據(jù)已知事實或原理,合乎邏輯地推出結(jié)論,構(gòu)建數(shù)學(xué)的邏輯體系；能夠運用符號運算、形式推理等數(shù)學(xué)方法,分析、解決數(shù)學(xué)問題和實際問題[1].

(1)加強通性意識,揭示思維過程

因為直角三角形的角與角、邊與邊、邊與角的關(guān)系非常穩(wěn)固,方便計算邊的長度或角的大小,所以首選構(gòu)造直角三角形.

解法一：如圖3,分別過點M，N作MG⊥AB，NH⊥AB,垂足為G，H,過點M作MI⊥NH于點I.

圖3

在Rt△MIN中,因為∠MIN=90°,且

所以，可得

這種思維完全符合學(xué)生的認知水平,符合學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”,學(xué)生容易接受、易于找到思維的入口,從“獨立”到“聯(lián)系”，化“未知”為“已知”.把線段的長度“置于三角形中”計算,這種思維增強了學(xué)生的整體意識,教會學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維.

(2)梳理解法聯(lián)系,尊重思維差異

教師要著眼于知識間的聯(lián)系和規(guī)律,使學(xué)生從系統(tǒng)的高度去把握知識,進行思考,做到八方聯(lián)系,渾然一體[3].

解法一是通性通法,優(yōu)點是容易“切題”,缺點是要作三條輔助線、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、計算量大.留給學(xué)生充足的時間,讓學(xué)生展開討論交流,學(xué)生的思維差異就會顯現(xiàn)出來.

如圖4,連結(jié)MP，NP.因為∠APC+∠BPE=180°,又易得MP是∠APC的角平分線,NP是∠BPE的角平分線,所以∠MPN=90°,即△MPN是直角三角形.與解法一相比,雖然都是構(gòu)造直角三角形,但是用這種方法構(gòu)造的直角三角形,圖形簡潔,結(jié)構(gòu)簡單,計算容易,其優(yōu)越性不言而喻.善于發(fā)現(xiàn)并挖掘圖形的特殊特征,是學(xué)生學(xué)會“數(shù)學(xué)的思維”的體現(xiàn),通過計算將已知條件約簡,把條件向前推進一大步,經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過程,發(fā)展學(xué)生的批判性思維.

圖4

解法二：如圖4，連結(jié)MP，NP,則PM⊥AC，PN⊥BE.

所以，在Rt△MPN中,由∠MPN=90°,可得

挖掘圖形的特征,找出題目的“個性”,推導(dǎo)出更進一步的結(jié)論,為后續(xù)的運算求解打下基礎(chǔ).要尊重學(xué)生的思維差異,對于有奇思妙想的學(xué)生要給予充分的肯定,對于常規(guī)思維的學(xué)生,也要給予鼓勵,肯定他們思維的價值,培養(yǎng)他們的學(xué)習(xí)信心.

2.2.3 領(lǐng)悟數(shù)學(xué)模型,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達世界 初中階段,數(shù)學(xué)語言主要表現(xiàn)為模型意識、模型觀念和應(yīng)用意識.引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造三角形的中位線模型,讓學(xué)生從通性通法轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)模型.

根據(jù)布魯姆認知理論,回憶、理解與應(yīng)用屬于低階思維,分析、評價與創(chuàng)造屬于高階思維.本案例中點M，N分別是兩條線段的中點,讓人自然聯(lián)想到構(gòu)造數(shù)學(xué)模型——三角形的中位線.但是線段MN卻不在一個三角形中,沒辦法直接利用三角形中位線的性質(zhì)解題.連結(jié)PD，PF,根據(jù)菱形的性質(zhì),對角線的中點也是對角線的交點,構(gòu)造△PDF,則線段MN是△PDF的中位線,這種思維屬于高階思維的范疇.

如圖5,連結(jié)PD，PF.因為M，N分別是對角線AC，BE的中點,所以點P，M，D三點共線,點P，N，F(xiàn)三點共線.

圖5

空間觀念有助于理解物體的形態(tài)與結(jié)構(gòu),根據(jù)物體之間的位置關(guān)系,感知并描述圖形的運動和變化規(guī)律.幾何直觀體現(xiàn)在能根據(jù)圖形的特征,數(shù)形結(jié)合構(gòu)建直觀模型,把握問題的本質(zhì),明晰思維的路徑[1].

3 一題多解培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵能力的策略

培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力，鼓勵多種解法,發(fā)展思維的流暢性；鏈接不同解法,啟發(fā)思維的靈活性；鼓勵自創(chuàng)解法,促進思維的獨特性[4].基本策略概括如下.

(1)注重提升整體觀念,讓學(xué)生擁有數(shù)學(xué)的眼光

解題教學(xué)應(yīng)該強調(diào)通性通法,找出具有相同性質(zhì)題目解法的“最大公因數(shù)”,即尋找解題的“共性”,讓學(xué)生解題時有“法”可依、有“章”可循.通過解題提升學(xué)生的整體觀念,幫助學(xué)生總結(jié)運算求解過程中常用的方法,幫助學(xué)生尋找解題的一般路徑.解題過程貌似只是考查個別題目的解法,實則是考驗學(xué)生對知識的總體把握.厘清概念,準確運用運算法則,迅速找到解題方向、理清解題思路,熟練應(yīng)用解題技巧,讓學(xué)生擁有數(shù)學(xué)的眼光.

(2)注重把握特殊性質(zhì),讓學(xué)生擁有數(shù)學(xué)的思維

林崇德先生認為：思維品質(zhì)包括敏捷性、靈活性、創(chuàng)造性、批判性與深刻性[5].在強調(diào)通性通法的同時,也應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生準確捕捉信息的能力,如代數(shù)式之間的聯(lián)系、幾何圖形中隱含特殊的性質(zhì),都可能為解題提供良好的切入點,讓學(xué)生從“有聯(lián)系的程序”入手,發(fā)展到“做數(shù)學(xué)”.這是一個從“共性”的總體指導(dǎo),到尋找題目“個性”的過程,在這個過程中,主要就是引導(dǎo)學(xué)生“有邏輯地思考”,培養(yǎng)良好的思維品質(zhì),從而讓學(xué)生擁有數(shù)學(xué)的思維.

(3)注重數(shù)學(xué)思想指導(dǎo),讓學(xué)生擁有數(shù)學(xué)的語言

數(shù)學(xué)的解題,離不開數(shù)學(xué)思想的指引,方程思想、函數(shù)思想、模型思想、數(shù)形結(jié)合思想等能讓學(xué)生擁有科學(xué)的指導(dǎo)思想.如，數(shù)形結(jié)合是學(xué)生解題最重要的方法之一,“數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微”,數(shù)形結(jié)合,能夠讓學(xué)生實現(xiàn)圖形語言、符號語言與數(shù)學(xué)語言的熟練切換.模型思想,能讓學(xué)生建構(gòu)獨特的知識體系,讓學(xué)生更好地解題.因此，應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的模型思想、應(yīng)用意識,讓學(xué)生擁有數(shù)學(xué)的語言.

4 結(jié)束語

解題教學(xué)與知識教學(xué)不同,主要按運用已有的知識體系解決問題的數(shù)學(xué)范式進行[6].這種范式要求學(xué)生有大局觀，能把握“共性”,又要細致入微把握事物的“個性”,在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下進行發(fā)散性思維,在基本活動經(jīng)驗的幫助下提高解決問題的能力.

教學(xué)的本質(zhì)就是教會學(xué)生學(xué)會思維.通過一題多解,教師講課可以做到“少而精”,學(xué)生練習(xí)“時間足、手段廣”,在提高學(xué)生運算求解能力的同時,也會帶動邏輯推理能力、直觀想象能力、數(shù)學(xué)建模能力與創(chuàng)新能力的提高,從而全面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.