問題引領(lǐng)課堂 促進(jìn)思維生長*
——以“多邊形的內(nèi)角和”教學(xué)為例

?廣州開發(fā)區(qū)中學(xué) 黨小磊

1 背景介紹

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中提出：“課堂教學(xué)是全體師生共同參與、交流互動、共同成長的活動.”在教學(xué)實(shí)踐中，采用問題串的方式開展課堂教學(xué)就是教師與學(xué)生的一個互動溝通與課堂反饋的方式[1].下面以“多邊形的內(nèi)角和”為例，展示筆者的課堂教學(xué)實(shí)踐與反思，供同仁研討．

2 教學(xué)過程

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)探究欲望

問題1在2022年二月亞洲杯中，中國女足戰(zhàn)勝日本隊(duì)捧起了冠軍獎杯，成了中國人的驕傲.大家都知道足球表面由32個多邊形組成，一般是12塊黑色正五邊形和20塊白色正六邊形.請問正五邊形與正六邊形的內(nèi)角和分別為多少？

教學(xué)說明：足球是學(xué)生非常喜歡的一項(xiàng)運(yùn)動，也是中考體育考試選項(xiàng)之一.從學(xué)生最關(guān)心的問題出發(fā)，充分調(diào)動了學(xué)生探索問題的欲望.體現(xiàn)數(shù)學(xué)就在身邊的同時，設(shè)置懸念，找到知識的生長點(diǎn)，可以提升本節(jié)課的有效性.中國女足堪稱“鏗鏘玫瑰”，這是每一位中國人的光榮，由此在學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的同時，也潛移默化地激起他們的愛國主義情感.

2.2 溫故知新，發(fā)揮引導(dǎo)作用

問題2(1)三角形的內(nèi)角和等于多少度？

(2)正方形、長方形的內(nèi)角和各是多少度？

教學(xué)說明：本環(huán)節(jié)問題是鞏固已有的相關(guān)知識，給學(xué)生小小的成功感.“三角形的內(nèi)角和等于180°”，對接下來探究復(fù)雜多邊形內(nèi)角和的分割方法提供了方向.問題2(2)特殊四邊形的內(nèi)角和等于360°，有助于下面問題3(1)的猜想，并同時激勵著學(xué)生積極投入到一般四邊形內(nèi)角和的探究中，從而在課堂教學(xué)中產(chǎn)生正面效應(yīng).

2.3 漸次展開，提出數(shù)學(xué)問題

問題3(1)猜一猜：任意四邊形(如圖1)的內(nèi)角和等于多少度？

圖1

(2)你有哪些方法能夠證明你的猜測？你能找出幾種方法？

(3)對比并觀察這些分割方法有什么相同和不同？

教學(xué)說明：對于問題3，輔助線方法即連接對角線把四邊形劃分為兩個三角形，把四邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為兩個三角形的內(nèi)角和，化未知為已知，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種思想——轉(zhuǎn)化思想，筆者借助問題串達(dá)到了教學(xué)目標(biāo).問題3(1)可由正方形、長方形這兩種特殊的多邊形的內(nèi)角之和猜測出任意四邊形的內(nèi)角之和為360°.問題3(2)通過添加輔助線，只要把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形，就可以求出任意四邊形的內(nèi)角之和，“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思維方式已向?qū)W生全面滲透.教師在此引導(dǎo)學(xué)生通過多種分割四邊形成三角形的方式，感受解決方式的多樣化.

對于任意四邊形，可以利用以下方法分割：

(1)連接1條對角線，可以得2個三角形，如圖2，四邊形的內(nèi)角和為2×180°；

(2)連接兩條對角線且在四邊形內(nèi)部交于一點(diǎn)，得到4個三角形，如圖3，四邊形的內(nèi)角和為4×180°-360°；

(3)若在四邊形內(nèi)部任取一點(diǎn)，如圖4，也可以得到相應(yīng)的結(jié)論；

(4)也可在邊上任取一個點(diǎn)，如圖5，四邊形的內(nèi)角和為3×180°-180°；

(5)還可在四邊形的外部取一點(diǎn)，如圖6，四邊形的內(nèi)角和為3×180°-180°.

在此，教師引導(dǎo)學(xué)生通過不同的輔助線，合作探尋出多種方法，體現(xiàn)了此探索活動的多樣化和開放性.問題3(3)旨在通過觀察、思考、總結(jié)添加輔線的多種方式的共性與區(qū)別，促使學(xué)生體會：只要把四邊形劃分為已經(jīng)知道內(nèi)角和的圖形形狀，就可以求出其內(nèi)角和.一般方法是：從一點(diǎn)開始，通過連接各頂點(diǎn)，將四邊形分割為三角形來加以解決.但這個“一點(diǎn)”可以是平面內(nèi)的任何一點(diǎn).由此突破難點(diǎn)，將知識上升到思維方式，將未知轉(zhuǎn)化為已有思維方式.

2.4 探索公式，深化轉(zhuǎn)化思想

問題4(1)選擇一個你最喜歡的上述分割方法，能否解決問題1中足球表面的正五角形、六邊形各自的內(nèi)角和？

(2)n邊形的內(nèi)角和怎樣表示呢？

(3)幾種推導(dǎo)多邊形內(nèi)角和的方法中，你覺得哪一種辦法最佳？為什么？

(4)對于n邊形的內(nèi)角和,大家得到的算式可能不同，那么得到的結(jié)果能一樣嗎？

教學(xué)說明：問題4(1)為了使學(xué)生通過增加多邊形的邊數(shù)，再一次體驗(yàn)轉(zhuǎn)化的過程，從而提高學(xué)生對轉(zhuǎn)化思想的掌握程度.在正四邊形的基礎(chǔ)上，探討邊數(shù)為整數(shù)的正多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)之間的聯(lián)系.問題4(2)將任意多邊形轉(zhuǎn)化為三角形的方式，有助于鍛煉學(xué)生的想象能力.而通過對多邊形內(nèi)角和問題的思考，則能夠幫助學(xué)生總結(jié)出多邊形的內(nèi)角和的各種表達(dá)式，從而感知數(shù)形間的聯(lián)系，進(jìn)而體會從特殊到一般的邏輯推理過程.不同的方法可以得到不同的內(nèi)角和公式，如(n-2)×180°，180°n-360°，180°(n-1)-180°.問題4(3)是最優(yōu)化的思維，在日常生活中也往往會遇到同一個問題同時有多種處理方式的情形，因此指導(dǎo)學(xué)生要“三思而后行”，選擇最優(yōu)最有利于解決問題的方式后再行動.問題4(4)通過逆用乘法分配律進(jìn)行推理，促使學(xué)生感受化歸的基本思想，并通過公式的化歸過程，進(jìn)一步感受數(shù)形間的聯(lián)系以及各種方法之間的聯(lián)系.

180°n-360°=180°n-2×180°=(n-2)×180°，180°(n-1)-180°=180°(n-1)-180°×1=(n-2)×180°.

2.5 運(yùn)用新知，解決實(shí)際問題

問題5(1)八邊形的內(nèi)角和為______.

(2)已知一種多邊形的內(nèi)角和為1 980°，求這種多邊形的邊數(shù).

(3)已知一個多邊形的每個內(nèi)角均為150°，求這個多邊形的邊數(shù).

教學(xué)說明：該環(huán)節(jié)引導(dǎo)導(dǎo)學(xué)生利用多邊形內(nèi)角和公式解決問題，使他們體會n邊形內(nèi)角和公式在何時能夠順向使用，何時逆向使用，即已知邊數(shù)求多邊形的內(nèi)角和—直接使用公式，已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù)—逆向利用公式的方法.此環(huán)節(jié)筆者可以及時了解學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，讓學(xué)生經(jīng)歷用知識解決問題的過程.

2.6 學(xué)以致用，回歸生活情境

問題6關(guān)于小亮的一種設(shè)想：2024年奧林匹克運(yùn)動會將在法國舉行，他認(rèn)為設(shè)計(jì)一種內(nèi)角和是2 024°的多邊形圖案將會非常有趣，你覺得小亮的設(shè)想能做到嗎？

教學(xué)說明：多邊形的內(nèi)角和公式即為(n-2)×180°，由此可知多邊形的內(nèi)角之和是180°的正整數(shù)倍，顯然小亮的設(shè)想不成立.通過此環(huán)節(jié)，學(xué)生進(jìn)一步了解并靈活運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式，同時也感受到數(shù)學(xué)的趣味性以及數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切關(guān)系.

2.7 歸納總結(jié)，形成知識體系

問題7這節(jié)課你學(xué)會了什么？這節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容對你今后的學(xué)習(xí)有何啟發(fā)？

教學(xué)說明：本環(huán)節(jié)意在指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課程的知識內(nèi)容，把新學(xué)習(xí)的主要知識點(diǎn)納入新的知識體系，不斷豐富自己的知識.幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自身的進(jìn)步，為進(jìn)一步深入掌握新知識點(diǎn)形成正向遷移，也為以后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)[2].

3 教學(xué)反思

本節(jié)教學(xué)根據(jù)多邊形的內(nèi)角和情境，以問題串的方式指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，問題指向性清晰明確.課堂既圍繞著某一問題進(jìn)行，又生長了新的問題.從基礎(chǔ)知識層次逐步轉(zhuǎn)入能力素質(zhì)層次，將整堂課程的教學(xué)環(huán)節(jié)與問題串成一線，不同環(huán)節(jié)的過渡也更加自然，從而加深了前后問題的聯(lián)系，既啟發(fā)了學(xué)生的深度思維，又使學(xué)生樂此不疲地投入到了課堂學(xué)習(xí)之中，有效地提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

這節(jié)課的亮點(diǎn)就是整個課堂自始至終由問題貫穿，師生、生生互動也由始至終.學(xué)生在問題串的帶動下積極、踴躍、有效地學(xué)習(xí)，整節(jié)課充滿生機(jī)，實(shí)現(xiàn)了預(yù)定的教育任務(wù),達(dá)到了預(yù)期效果.本節(jié)課讓筆者感受頗深，也讓筆者對利用問題串形式開展課堂教學(xué)有如下思考.

3.1 問題串有助于建構(gòu)課堂的整體性

問題串既能較好地反映出整節(jié)課的內(nèi)容，也能較完整地展示整節(jié)課的“骨架”[3].本節(jié)課從七個問題勾勒出了這節(jié)課的整體架構(gòu)：問題1通過設(shè)計(jì)當(dāng)下學(xué)生關(guān)心的實(shí)際情境問題，調(diào)動他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，設(shè)置懸念，引入課題；問題2在問題1的情境下，有助于激活學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識；問題3在問題2的基礎(chǔ)上，從特殊到一般，提出與本節(jié)課相關(guān)的問題，引導(dǎo)學(xué)生對新問題進(jìn)行思考與猜想，通過親自動手探索多種途徑解決問題；問題4是問題3的深入研究，增加圖形的復(fù)雜性，使學(xué)生更深入地感受轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步了解轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)過程——將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，體會到將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為已有知識經(jīng)驗(yàn)的過程，并在小組學(xué)習(xí)交流中，共同整理出復(fù)雜多邊形的內(nèi)角和公式及最優(yōu)表達(dá)式，從而切身感受到學(xué)習(xí)的真諦；問題5靈活運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式解答問題；問題6運(yùn)用教學(xué)新知探討并解答生活中的具體問題，使學(xué)生對多邊形的內(nèi)角和公式有深入的認(rèn)識和了解，也感受到數(shù)學(xué)的魅力和簡潔美；用問題7歸納總結(jié)本節(jié)課的同時，順勢延伸學(xué)生的思維生長點(diǎn)，為接下來的學(xué)習(xí)做好鋪墊，也把本節(jié)課的知識內(nèi)容完整地整合在一起.

3.2 問題串有助于激發(fā)學(xué)生的思維生長

本節(jié)課通過精巧的問題設(shè)計(jì)，不斷追問，引導(dǎo)學(xué)生勇于猜想、勇敢探索，引導(dǎo)他們繼續(xù)探索、擴(kuò)大視野，不斷拓展思維[4].一系列問題串由淺至深、層層遞進(jìn)、循序激發(fā)學(xué)生的深度思考，推動了學(xué)生的思維進(jìn)程，師生之間的交流互動更是體現(xiàn)了探究的思維過程.問題3指導(dǎo)學(xué)生利用現(xiàn)有的知識與數(shù)學(xué)思想展開思維碰撞，生生間、小組間產(chǎn)生思想交流的火花；問題4指導(dǎo)學(xué)生把問題的實(shí)質(zhì)從復(fù)雜的圖形中剝離開來，化繁為簡；問題5為更好地挖掘?qū)W生的數(shù)學(xué)思維能力，從公式的順向與逆向理解多方位設(shè)置練習(xí)，以化解學(xué)生在公式運(yùn)用上的思想阻塞點(diǎn)；問題6引導(dǎo)學(xué)生拓展思維，直擊學(xué)生的思維深處.整節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)不是放在公式的大量練習(xí)上，而是定位在多邊形的內(nèi)角和公式形成的探索過程，這是注重培養(yǎng)學(xué)生思維能力的表現(xiàn)，對學(xué)生的思維提升大有裨益，也有助于更好地促進(jìn)學(xué)生的思維生長.