一道課本不定方程應(yīng)用題的運(yùn)用

?福建省三明市明溪縣城關(guān)中學(xué) 楊發(fā)寧

1 課本原題

(人教版七年級下冊第112頁)

例1現(xiàn)有1角、5角、1元硬幣各10枚，從中取出15枚，共值7元.1角、5角、1元硬幣各取多少枚[1]？

分析：先設(shè)三種硬幣的數(shù)量分別為x，y，z，再利用已知的等量關(guān)系列出三元一次方程組并解方程組，然后由整除性質(zhì)即可確定所求整數(shù)解問題的答案.

解法一：設(shè)1角、5角、1元的硬幣分別取x枚、y枚、z枚，那么

①

②

而x,y,z都為正整數(shù)，且z<7，1+9z是4的倍數(shù)，則z=3.此時(shí)y=7，x=5符合題意.

所以1角取5枚，5角取7枚，1元取3枚.

解法二：設(shè)1角、5角、1元的硬幣各取x枚、y枚、z枚，根據(jù)題意，得

③

④

由x，y，z都為不小于10的整數(shù)，可知x=5或10.

當(dāng)x=5時(shí)，y=7，z=3，符合題意.

當(dāng)x=10時(shí)，y=-2，z=7，不符合題意.

所以，1角取5枚、5角取7枚、1元取3枚.

下面主要以近年“中考題”為例作些剖析.

2 在選擇題中的應(yīng)用

例2(2020年黑龍江龍東中考)在一次知識競賽中，為嘉獎(jiǎng)成績突出的同學(xué)，主辦方計(jì)劃用200元采購a，b，c三種文具，其中a種文具的單價(jià)為每個(gè)10元，b種文具的單價(jià)為每個(gè)20元，c種文具的單價(jià)為每個(gè)30元，在所有錢都剛好用完且c種文具不多于兩個(gè)的情況下，有多少種采購方案( ).

A.8種 B.10種 C.12種 D.14種

分析：根據(jù)題目文字得到兩個(gè)關(guān)鍵信息——購買三種獎(jiǎng)品的總金額為200元；c種獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)為1或2.根據(jù)題目需要設(shè)出兩個(gè)未知數(shù)，得出一個(gè)二元一次方程，再根據(jù)二元一次方程的解都為整數(shù)及a，b，c的實(shí)際意義確定二元一次方程的解.

解：設(shè)購買a種獎(jiǎng)品m個(gè)，b種獎(jiǎng)品n個(gè).

當(dāng)c種獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)為1時(shí)，根據(jù)題意得10m+20n+30=200，即m+2n=17.

因?yàn)閙，n都是正整數(shù)，則0<2n<17，所以n=1，2，3，4，5，6，7，8.

當(dāng)c種獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)為2時(shí)，根據(jù)題意得10m+20n+60=200，即m+2n=14.

因?yàn)閙，n都是正整數(shù)，則0<2n<14，所以n=1，2，3，4，5，6.

綜上所述，共有8+6=14種購買方案.故選：D.

點(diǎn)評：解題的第一步應(yīng)該了解題目的含義，找出題目的關(guān)鍵信息；再根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)列出方程或方程組；最后根據(jù)實(shí)際意義，由方程的解為自然數(shù)，得出符合題意的解.

3 在填空題中的應(yīng)用

例3(2020年黃石中考改編)數(shù)學(xué)課上何老師講到我國古代的數(shù)學(xué)成就——《九章算術(shù)》，書中有這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問題：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊五，直金十六兩．問牛、羊各直金幾何？”翻譯成現(xiàn)代文：“今知道5頭牛和2只羊，加起來一共價(jià)值19兩銀子；2頭牛和5只羊，加起來一共價(jià)值16兩銀子問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”．如果某商人準(zhǔn)備用19兩銀子買牛和羊(要求既有牛也有羊，且銀兩須全部用完)，那么商人的購買方法共有種，列出所有的可能購買方案．

分析：先根據(jù)題意求出每頭牛、每只羊值的銀子數(shù)；再根據(jù)“19兩銀子購買牛、羊”列一個(gè)二元一次方程，求出這個(gè)二元一次方程的整數(shù)解即可.

解：設(shè)每頭牛值x兩銀子，每只羊值y兩銀子.

所以每頭牛值3兩銀子，每只羊值2兩銀子．

設(shè)19兩銀子購買a頭牛，b只羊.

因?yàn)閍，b都是正整數(shù)，所以a=5或3或1.即當(dāng)a=5時(shí)，b=2；當(dāng)a=3時(shí)，b=5；當(dāng)a=1時(shí)，b=8.

所以，商人共有三種購買方法.購買5頭牛，2只羊；購買3頭牛，5只羊；購買1頭牛，8只羊．

點(diǎn)評：本題主要考查了運(yùn)用二元一次方程(組)解決實(shí)際問題的能力.首先根據(jù)題意列出二元一次方程組并解之，求出牛與羊的單價(jià)；再根據(jù)題意列出一個(gè)二元一次方程即不定方程，根據(jù)實(shí)際意義與整除的性質(zhì)，求出不定方程的正整數(shù)解.

4 在解答題中的應(yīng)用

例4(2021年杭州模考)現(xiàn)有120 t口罩要運(yùn)輸?shù)缴虾？挂呔葹?zāi)，可供選擇的車型有甲、乙、丙三種，三種車的具體信息如表1所示：

表1 每輛車的運(yùn)載能力和運(yùn)費(fèi)信息

(1)為提高運(yùn)送效率，可以調(diào)用甲、乙、丙三種車型參與運(yùn)送，每輛車均滿載，已知它們的總輛數(shù)為16，你能使用方程組求出所有可能的運(yùn)送方案嗎?

(2)哪種方案的運(yùn)費(fèi)最少?最少是多少元?

分析：(1)設(shè)甲型車有x輛，乙型車有y輛，丙型車有z輛，列出方程組，再根據(jù)x，y，z均為非負(fù)整數(shù)，從而得出答案.

(2)根據(jù)(1)中方案得出運(yùn)費(fèi)，進(jìn)行比較即可.

所以有三種運(yùn)送方案：甲型車8輛，丙型車8輛；甲型車6輛，乙型車5輛，丙型車5輛；甲型車4輛，乙型車10輛，丙型車2輛.

(2)三種方案的運(yùn)費(fèi)分別為

400×8+600×8=8 000(元)；

400×6+500×5+600×5=7 900(元)；

400×4+500×10+600×2=7 800(元).

因?yàn)?000>7900>7800，所以調(diào)用甲型車4輛，乙型車10輛，丙型車2輛時(shí)運(yùn)費(fèi)最少，且最少是7 800元.

點(diǎn)評：本題涉及三個(gè)未知數(shù)，但只有兩個(gè)等量關(guān)系，只能列出兩個(gè)三元一次方程，可先消元，將兩個(gè)三元一次方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)二元一次方程，再用含一個(gè)未知數(shù)的式子表示另一個(gè)未知數(shù)，利用整體思想和篩選法討論未知數(shù)的實(shí)際意義解決問題.

從上面的例子可以看出：通過一道課本簡單習(xí)題的解決，引出多道較難的中考題，我們感到課本習(xí)題大有可為.正如美國著名數(shù)學(xué)教育家G.波利亞所說：“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧.”從簡單的題目中提煉解題方法，反思題目中的數(shù)學(xué)思想、解題策略，并變式研究是解題教學(xué)必不可少的環(huán)節(jié).我們要以課本習(xí)題為藍(lán)本，分析題目的特征，認(rèn)真研究解法，精選同類問題的變式進(jìn)行適當(dāng)訓(xùn)練，歸納同類問題的通法.特別是近年來的一些中考題，因?yàn)橹锌碱}有一定的導(dǎo)向性和啟發(fā)性，反映中考命題方向和命題規(guī)律.通過“做”題的過程，對“列方程解應(yīng)用題”進(jìn)行系統(tǒng)復(fù)習(xí)，讓學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立探究、思考、理性推理、深刻反思等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，形成感性認(rèn)識與理性思維的提升，培養(yǎng)學(xué)生語言文字與數(shù)學(xué)符號的轉(zhuǎn)化意識，構(gòu)建方程模型解決實(shí)際問題的模式，完成知識構(gòu)建，提升數(shù)學(xué)能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)核心素養(yǎng)，獲得適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.