大展弦比等剖面多段折疊翼顫振特性

田素梅， 張應鵬， 張賀銘， 祁武超

(1.沈陽航空航天大學 航空發(fā)動機學院， 遼寧 沈陽 110136；2.沈陽航空航天大學 遼寧省飛行器復合材料結構分析與仿真重點實驗室， 遼寧 沈陽 110136)

0 引言

為降低能源需求，高空長航時無人機通常采用大展弦比方案以追求高的升阻比。然而，隨著翼展的增大，機翼結構固有頻率會發(fā)生相應地降低，呈現(xiàn)出“長且柔”的特點,導致大展弦比無人機通常具有較低的顫振速度，且翼尖容易發(fā)生扭轉顫振。當飛行任務改變導致飛行速度增加，例如被追擊時，機翼較低的顫振速度將成為其成功逃脫的限制因素。另一方面，由于無人機結構形式的特殊性，常采用空中投放的方式進行起飛作業(yè)，較長的翼展會對裝載空間提出很高的要求，尤其是無人機在需要完成集群作業(yè)時，單次投放的無人機數(shù)量會受到空間限制。一種解決方案是通過結合適當?shù)你q鏈幾何結構，在飛行過程中將大展弦比機翼進行折疊和展開一定的角度以期獲得更好的飛行和操縱性能。

2009年，Sebastian等[1]建立了一種氣動彈性模型用于求解兩段均勻折疊機翼的顫振解析解，可通過調整該模型所設置的參數(shù)以觀察顫振解的變化，結果顯示，內側機翼和外側機翼之間的折疊角對于兩段折疊翼的氣動彈性行為具有重要影響。2010年，Attar等[2]研究了由機身、內側機翼和外側機翼組成的折疊機翼結構非線性氣動彈性效應，結構部分采用馮卡門幾何非線性動力學理論建模，而氣動模型則使用三維渦格法進行描述；將計算模型結果與風洞試驗結果進行了對比發(fā)現(xiàn)，極限環(huán)振蕩幅度和理論的主響應頻率結果相吻合；并且，具有最大外側折疊角的折疊機翼在極限環(huán)振蕩時翼尖位移要高于其他兩種配置。2011年，Wang等[3]基于梁理論提出一種預測多段折疊翼固有頻率的計算方法，結構模型通過在各段機翼之間添加約束條件得到，并基于Lagrange方程得到系統(tǒng)動力學方程，其將理論分析結果與試驗進行了對比，在分別考慮2段、3段、4段模型的情況下誤差不超過10%。Zhao等[4]研究了在不同參數(shù)配置下的折疊翼顫振特性并提出一種參數(shù)化氣動彈性模型，結構部分是在子結構綜合的基礎上建立，而氣動力模型采用偶極子格點法得到，算例結果顯示折疊翼的顫振特性對折疊角度是敏感的，隨著折疊角的增加會發(fā)生模態(tài)遷移的現(xiàn)象。Zhao等[5]還采用一種浮動框架法建立了一組控制折疊翼變形過程中隨時間演化的微分代數(shù)方程組，并計算了機翼變形過程中的瞬態(tài)響應，其所建立的方程組可以與計算流體力學(CFD)程序集成以對折疊機翼進行瞬態(tài)氣動彈性分析。

2016年，Hu等[6]考慮了折疊翼在變形過程中的氣動彈性現(xiàn)象，折疊翼結構使用柔性多體模型化，并通過偶極子格網(wǎng)法得到氣動影響系數(shù)矩陣；結果顯示折疊過程和展開過程對氣彈穩(wěn)定性有著相反的影響。同年，Castrichini等[7-8]研究了在飛行中利用折疊翼梢作為減少動態(tài)陣風載荷效應的裝置，其引入了被動非線性鉸鏈彈簧，僅在較大載荷情況下允許翼梢發(fā)生偏轉，結果表明，這種鉸鏈彈簧裝置對減少陣風載荷具有顯著效果。Yuan等[9]研究了飛行器折疊椅在低空高速展開的過程，這一過程伴隨有非定常流動，為了準確模擬非定常流動中的移動邊界問題，采用具有重疊非結構多面體網(wǎng)格的非定常CFD方法計算氣動力，得到的結構展開角度和角速度可用于機翼展開機構的設計過程。Hu等[10]研究了具有立方剛度非線性折疊機翼的氣動彈性特性，折疊翼的結構模型由拉格朗日方程描述，同時使用偶極子網(wǎng)格法計算不同折疊狀態(tài)下的氣動影響系數(shù)矩陣，并引入Kriging代理模型技術將系數(shù)矩陣插值為有理函數(shù)。具有立方剛度的折疊翼氣動彈性響應表明，折疊翼的變形過程對初始條件和折疊角是敏感的。范國芳等[11]針對飛行器翼面的高速展開過程，采用和非定常兩種方法對折疊翼面展開過程氣動載荷進行分析研究；研究發(fā)現(xiàn)，當翼面展開速度與來流速度相近時，展開過程的非定常效應不可忽略而必須采用非定常模擬方法。單繼祥等[12-13]對對稱折疊、順向折疊方式下折疊翼的氣動特性及展開運動過程進行數(shù)值模擬和動力學仿真，比較了折疊方式對折疊翼氣動特性、展開運動特性的影響，并分析了影響機制。

2019年，Hui等[14]研究了受鴿子翅膀結構啟發(fā)的仿生變形離散機翼，受變形骨架結構控制，機翼可主動變形為與鴿翼姿態(tài)相似的后掠翼構型，同時保持與鴿翼相似的離散翼面，結果表明，仿生機翼可在不同雷諾數(shù)下通過折疊變形保持最佳升阻比，并且可通過有效降低翼尖渦強度來實現(xiàn)無人機的誘導減阻，并提高無人機的橫向穩(wěn)定性。Cheung等[15-16]指出，通過允許在飛行過程中折疊翼尖，可以在一定程度上實現(xiàn)陣風載荷減緩，其基于折疊翼梢的概念設計了具有大幅降低彎曲剛度的大展弦比機翼，并將其置于帶有垂直陣風發(fā)生器的低速風洞中，發(fā)現(xiàn)機翼根部的彎矩峰值減少了11%；此外，其在折疊翼梢上安裝了一個可移動的二次空氣動力表面，該裝置能夠在穩(wěn)定的空氣動力條件下有效地控制折疊翼梢的方向，并通過主動控制進一步降低陣風過程中的機翼根部峰值彎矩。宋慧心等[17]基于多剛體動力學對折疊翼飛行器建模，并對其變形進行穩(wěn)定控制，通過氣動計算擬合出氣動參數(shù)與折疊角之間的函數(shù)關系，由此分析不同折疊角速度下飛行器的縱向動態(tài)特性，結果表明，折疊翼飛行器變形過程中速度、高度和扭轉角均會發(fā)生變化。徐偉等[18]對處于極端工況和強氣流環(huán)境下的折疊翼飛機進行模態(tài)和流固耦合分析，結果表明其所設計的折疊翼飛機能夠滿足極限工況環(huán)境下的強度和剛度要求。

2021年，Healy等[19]通過數(shù)值仿真和試驗手段研究了外展折疊翼尖對飛機機翼滾轉性能的影響，其設計、制造和測試了相應的滾動裝置，并對不同長度翼展和折疊翼尖的機翼進行了測試，結果表明在飛機機翼上使用外展折疊翼尖可以提高空氣動力性能，同時可顯著減低由于滾轉引起的空氣動力阻尼。Favel等[20]提出一種具有幾何非線性的飛機氣動彈性建模方法，其構建了用于三維非線性結構動力學的模態(tài)模型，將機翼的線性段與非線性耦合項聯(lián)系起來，模型的非線性是通過將機翼結構沿展向分成幾個部分引入，在分段的界面處使用虛擬質量以有效減少分段數(shù)量并獲得足夠的計算精度。詹玖榆等[21]提出一種基于流形切空間插值的可折疊式變體機翼參數(shù)化氣動彈性建模方法，并以一小展弦比折疊翼為研究對象，從折疊翼自由振動時的參變模態(tài)特性、顫振邊界預測兩方面進行了算例驗證。初雨田等[22]基于離散化的思想對折疊翼進行建模，并利用Fluent軟件對其進行數(shù)值計算，從升力系數(shù)和阻力系數(shù)變化及壓力分布分析艦載機折疊翼的氣動特性。Huang等[23]提出一種對具有雙線性鉸鏈剛度折疊翼的參數(shù)化建模方法，可在不同折疊角度下對機翼結構進行非線性參數(shù)化描述。Rafic[24]研究了外展鉸鏈式的折疊翼尖對窄體運輸機氣動導數(shù)和飛行動力學的影響，并評估了折疊角和翼尖尺寸對機翼載荷的影響。

本文將基于彎扭組合梁元構建大展弦比等剖面多段折疊翼的結構動力學模型，并根據(jù)修正的片條理論得到有限翼展升力面的氣動力，最后引入V-g法(V為機翼與未擾空氣之間的相對速度，g為人工結構阻尼)得到多段折疊翼的顫振速度和顫振頻率。

1 大展弦比等剖面多段折疊翼幾何模型

考慮如圖1所示的等剖面多段折疊翼，共分為n段，其中第k段的長度記為Lk，折疊角記為ηk，k=1,2,…,n。

圖1 等剖面多段折疊翼Fig.1 A multi-segment folding wing with equal section

與舒展狀態(tài)相比，機翼進行折疊后其整體剛性會發(fā)生較大改變，并且，結構幾何形狀的改變帶來了氣動力的重新分布，可以預料機翼的顫振特性將發(fā)生較大的改變。所以，有必要對等剖面多段折疊翼的顫振特性進行研究，以保證飛機結構的安全性。

2 基于彎扭組合梁元的結構動力學模型

2.1 局部坐標系中的彎扭組合梁元

基于有限元法對折疊翼的分段梁式結構模型進行離散，作用在梁單元上的載荷既包括面內橫向氣動升力，還包括氣動力對彈性軸產(chǎn)生的氣動力矩。這實際上是一個空間梁元問題，然而，在平面一般梁元的基礎上再疊加扭轉自由度也可模擬彎扭載荷共同作用下的梁式模型。在局部坐標系中，疊加了軸向位移和扭轉角的平面直梁單元每個節(jié)點的自由度有4個，包括軸向位移v、橫向撓度w和面內轉角θ和扭轉角α，如圖2所示。

圖2 局部坐標系中的彎扭直梁單元Fig.2 A beam element considering bending and torsion deformations in a local coordinate system

(1)

在局部坐標系中，彎扭組合梁元的勢能為

(2)

對于梁元的彎曲變形，選取2節(jié)點Hermite單元，其彎曲位移模式為

w=Nw·we=[Nw1,Nw2,Nw3,Nw4]·[wi,θi,wj,θj]T

(3)

式中：Nw1=1-3ξ2+2ξ3，Nw2=(ξ-2ξ2+ξ3)l，Nw3=3ξ2-2ξ3，Nw4=(ξ3-ξ2)l，ξ=yi/l為單元內的自然坐標，且有0≤ξ≤1。而對于梁元的軸向變形和扭轉變形，選取基于1維Lagrange插值多項式表示的位移模式，分別為

v=Nvve,α=Nααe

(4)

式中：Nv=Nα=[N1,N2]=[1-ξ,ξ]；ve=[vi,vj]T；αe=[αi,αj]T。

將(3)式和(4)式代入(2)式，彎扭梁元的勢能可重寫為

(5)

(6)

另外，圖1(b)所示機翼截面中任意一點的速度為

(7)

忽略彎扭梁元軸線方向的變形速度，其動能為

(8)

(9)

(10)

第k段機翼上非定常氣動力所做的虛功為

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

由(6)式、(10)式和(12)式，忽略結構阻尼，可得第k段機翼上局部坐標系中彎扭梁元的有限元方程

(16)

2.2 模態(tài)坐標系下的多段折疊翼動力學方程

(17)

式中：

(18)

(19)

對機翼根部施加約束，并進行模態(tài)分析得到振型矩陣Φ。采用模態(tài)截斷法，僅引入較低的前r階固有頻率和振型參與氣動彈性計算，記截斷后的振型矩陣為

Φ*=[φ(1)φ(2)…φ(r)]

(20)

主坐標列陣為

(21)

(22)

在(19)式兩端同時乘以Φ*T，可得到模態(tài)坐標系下的多段折疊翼整體結構動力學方程：

(23)

3 顫振計算

對于等剖面大展弦比機翼，在空氣動力學方面近似采用片條理論或修正的片條理論可得到有限翼展升力面的氣動力。所以，可將機翼沿展向劃分為若干氣動片條，將作用在每一個片條上的氣動力視為二維氣動力。在進行氣動彈性分析時，需要在結構和空氣動力之間提供相互連接的途徑，通常是將結構響應數(shù)據(jù)和空氣動力數(shù)據(jù)通過樣條插值實現(xiàn)相互傳遞。為方便起見，不失一般性地，可將空氣動力片條劃分規(guī)則與機翼結構彎扭梁元劃分規(guī)則取為一致。如此，作用在每一個彎扭梁元上的氣動載荷可視為是均勻分布的，可通過(12)式將氣動升力和氣動扭矩分配到彎扭梁元上的節(jié)點上。假設機翼和空氣的相對速度為V，空氣密度為ρa，根據(jù)Theodorsen非定常氣動力理論，單位展長機翼所受的氣動力為

(24)

(25)

式中：h為機翼的沉浮位移，向下為正；α為機翼攻角，抬頭為正；C(kR)為Theodorsen函數(shù)(以下簡記為C)；變元kR=ωb/V為折合頻率，ω為機翼作簡諧運動的角頻率。

(26)

(27)

根據(jù)(3)式和(4)式，(26)式和(27)式中的wk和αk分別為

wk=Nw(1/2)·we,αk=Nα(1/2)·αe

(28)

從而(15)式可重寫為矩陣形式：

(29)

式中：

將(29)式代入(16)式，可得第k段機翼在局部坐標系中的有限元方程為

(30)

(31)

(32)

式中：

(33)

由顫振方程得到特征值為

(34)

進一步得到

(35)

4 數(shù)值算例

考察一個等剖面三段式折疊機翼，完全舒展狀態(tài)時為一大展弦比機翼[25]，如圖3所示，其物理參數(shù)如表1所示，進行顫振計算時取空氣密度為1.225 kg/m3。取前2階彎曲模態(tài)(固有頻率分別為3.069 28 Hz、19.236 2 Hz)和前2階扭轉模態(tài)(固有頻率分別為45.782 7 Hz、137.348 Hz)參與計算，將該等剖面大展弦比機翼的顫振計算結果如圖4所示。

圖3 等剖面三段式折疊機翼Fig.3 A three-segment folding wing with equal section

表1 大展弦比機翼的物理參數(shù)

圖4 顫振計算結果Fig.4 Results of flutter analysis

由圖4可知，該機翼顫振現(xiàn)象出現(xiàn)在第1階扭轉模態(tài)上，顫振速度VF0=35.22 m/s，顫振頻率fF0=24.29 Hz。趙永輝等[25]使用與本文同樣的物理參數(shù)，并取前兩階彎曲模態(tài)和前兩階扭轉模態(tài)參與計算，得到的顫振速度為35.3 m/s，顫振頻率為24 Hz。與其相比，使用本文方法計算得到的顫振速度誤差為0.23%，顫振頻率誤差為1.21%。

4.1 多段折疊翼固有頻率特征

機翼折疊后，結構固有頻率可能發(fā)生大的變化，在原有的顫振速度下機翼從氣流中獲取的能量將不能維持其簡諧振動的要求，所以折疊后機翼的固有頻率會對顫振速度有重要影響。另一方面，機翼在折疊后，折疊部分機翼的升力將隨著折疊角的增大而減小，當折疊角增至90°時，折疊部分機翼不再產(chǎn)生升力。而當折疊角進一步增大時，其氣動特性將是復雜的，并可能會引起升力面的反效。所以，為保證翼面的可操縱性，在本文的工作中，對各段機翼折疊角的范圍進行限制，即令ηk∈[0°,90°)，這意味著各段機翼只能向上折疊且折疊角要小于90°。

約束機翼根部，由模態(tài)坐標系下的多段折疊翼整體結構動力學方程(23)式可知，機翼的固有頻率為

(36)

以三段式折疊翼為例，約束機翼折疊角向量為η=[0，η2，η3]，翼段長度向量為L=L/3×[1,1,1]T時，三段式折疊翼的前3階固有頻率隨折疊角的變化如圖5所示。

圖5 機翼結構前3階頻率隨折疊角的變化Fig.5 Changes of the first three order frequencies of the wing structure with folding angles

圖5中，折疊角η2由0°角開始，每隔15°均勻變化至75°，而折疊角η3則由0°角間隔10°均勻變化至80°。由圖5(a)可知，機翼的1階固有頻率f1隨著折疊角η2和η3的變化呈現(xiàn)出非線性變化的趨勢。當η2較小時(小于30°)，f1隨著η3的增大而單調遞增，且η2值越小，f1的增長速度越快，至η3為80°時，f1達到5.240 5 Hz，相比舒展狀態(tài)機翼增長了70.74%。而當η2較大時(大于45°)，η2越大則f1也越大，且f1隨著折疊角η3的增大會呈現(xiàn)先減小而后再增大的趨勢。有意思的是，機翼1階固有頻率曲線簇在η3為45°附近表現(xiàn)為“谷”。具體地，當兩段機翼的折疊角均為45°時，f1的值為3.301 8 Hz，僅比舒展狀態(tài)機翼增長7.58%，即單段機翼大的折疊角對其1階固有頻率的影響更為顯著。由圖5(b)可知，當η2不大于60°時，機翼2階固有頻率f2隨η3的增長呈遞減趨勢，且η2越大f2也越大。然而，這一現(xiàn)象在η2達到75°時發(fā)生了根本性的變化，在η3為0°時，f2的值低于η2為45°時的值，之后隨著η3的增長而快速變化，至40°時達到27.608 7 Hz。而隨著η3的進一步增大，f2開始減小，其規(guī)律與其他折疊角情形相同。由圖5(c)可知，當η3為0°時，f3隨著η2的增大而減小，這一現(xiàn)象在η2小于30°時并不明顯，但當η2超過45°時，f3開始急劇降低。隨著η3的增大，f3曲線簇開始聚集并集中在50 Hz附近。

由圖5可知，機翼結構的前3階固有頻率均在一定程度上呈現(xiàn)出非線性的增長規(guī)律，這是由于彎扭組合梁元在發(fā)生折疊時，單元剛度矩陣和單元質量矩陣需要經(jīng)過坐標變換才能組裝進整體剛度矩陣和整體質量矩陣。而坐標變換矩陣里面包含了折疊角的正弦或余弦值，若將坐標變換矩陣看作關于折疊角的函數(shù)矩陣，則該函數(shù)矩陣為一簇隨折疊角非線性變化的曲線。另一方面，圖5中折疊后機翼的固有頻率相比未折疊狀態(tài)具有一定程度地提高，這是由于大展弦比機翼總是呈現(xiàn)出較“柔”的特征，將機翼折疊后，大展弦比機翼在長度方向變短，提高了機翼結構的整體剛性。

4.2 折疊翼顫振計算

圖6 兩種不同折疊方式的機翼Fig.6 Wings with two different folding modes

考慮兩種不同折疊方式的機翼，如圖6所示。兩種情況下機翼的折疊角向量分別為[0°,0°,60°]和[0°,60°,0°]，第1種情況主要反映了翼尖折疊對機翼顫振帶來的影響，而第2種情況則主要考察折疊角沿y軸向后移給機翼顫振速度和顫振頻率帶來的影響。為此，將第1種折疊方式下的V-g圖和V-f圖如圖7所示，而將第2種折疊方式下的V-g圖和V-f圖如圖8所示。

圖7 第1種折疊方式下的V-g和V-f圖Fig.7 Diagrams of V-g and V-f under the first folding mode

圖8 第2種折疊方式下的V-g和V-f圖Fig.8 Diagrams of V-g and V-f under the second folding mode

由圖7(a)可知，折疊角向量為[0°,0°,60°]的機翼顫振速度為46.43 m/s，較未折疊前機翼的顫振速度35.22 m/s 提高了11.21 m/s，提高比例達到了31.83%。同時，由圖7(b)可知，在該顫振速度下，機翼對應的顫振頻率為30.95 Hz，同樣較未折疊前機翼的顫振頻率24.29 Hz提高了6.66 Hz，提高比例為27.42%。由此可見，折疊翼尖對機翼顫振速度和顫振頻率的提高具有積極意義。

然而，當機翼折疊角向量為[0°,60°,0°]時，機翼的顫振模態(tài)從第3階的扭轉模態(tài)遷移至第2階彎曲模態(tài)，致使顫振速度和顫振頻率都發(fā)生了相應地下降，分別為28.28 m/s和17.92 Hz。即當將機翼中部進行折疊而保持翼尖平直時，機翼易發(fā)生顫振模態(tài)跳轉而使得顫振速度和顫振頻率下降。

為更深入地考察折疊角η2和η3對機翼顫振速度VF和顫振頻率fF的影響性規(guī)律，令機翼翼尖折疊角η3從0°均勻變化至80°，而η2從0°間隔15°繪制顫振速度和顫振頻率的變化曲線，如圖9所示。

圖9 顫振速度和顫振頻率隨折疊角的變化曲線Fig.9 Changes of flutter velocities and frequencies with folding angles

由圖9可知，顫振速度和顫振頻率隨折疊角η2和η3的變化規(guī)律基本相同。當折疊角η3較小時，折疊角η2越大，機翼顫振速度和顫振頻率越小，并且這種遞減的趨勢是非均勻的。當η2不大于30°時，顫振速度和顫振頻率對η2的變化不敏感，而當η2大于45°時，顫振速度和顫振頻率隨η2的下降速度不斷增大。

另一方面，隨著翼尖折疊角η3的增大，機翼顫陣速度和顫振頻率均呈現(xiàn)遞增趨勢。而η2越大，機翼顫陣速度和顫振頻率的增速越大。當η2和η3均較大時，機翼顫振速度和顫振頻率也具有較大的數(shù)值。這相當于是將折疊翼尖帶來的增益效果向機翼中段進行了擴展。

4.3 折疊段數(shù)對顫振速度的影響

本節(jié)在各段機翼均勻折疊的情況下考察折疊段數(shù)對顫振速度的影響性規(guī)律。記第n段機翼的折疊角為ηn，則第k段機翼的折疊角為

(37)

當ηn分別為80°、60°和40°時，將機翼的顫振速度和顫振頻率隨機翼段數(shù)n的變化如圖10所示。

圖10 顫振速度和顫振頻率隨折疊段數(shù)的變化曲線Fig.10 Changes of flutter velocities and frequencies with the number of folding segments

由圖10(a)可以看出，機翼顫振速度隨著機翼段數(shù)n的增大而減小。當翼梢處折疊角為80°時，顫振速度從n=2時的63.8 m/s減小至n=10的56.7 m/s。并且，曲線斜率在n為2或3時較大，在大于3后曲線斜率變化較小。也就是說，在機翼段數(shù)大于3時，機翼段數(shù)對顫振速度的影響并不明顯。另一方面，隨著最大折疊角ηn的減小，機翼顫振速度明顯下降。在ηn為60°時，2段機翼的顫振速度下降為50.17 m/s，而在ηn為40°時，則下降為41.36 m/s。由圖10(b)可知，機翼顫振頻率隨折疊段數(shù)的變化規(guī)律與顫振速度的變化規(guī)律基本相同。

由此可見，當翼尖最大折疊角固定時，機翼的顫振速度隨折疊段數(shù)的增加而減小，但減小的幅度并不明顯。當僅有兩段機翼時，雖然可獲得較高的顫振速度，但兩段之間過大的折疊角可能會引起氣動方面的問題，同時在結構設計方面也會面臨更大的困難(例如折疊開縫問題)。而多段折疊機翼的顫振速度下降并不明顯，但可降低對折疊翼氣動和結構設計方面的要求。

5 結論

1)基于彎扭組合梁元構建的大展弦比等剖面多段折疊翼結構動力學模型能夠合理描述機翼彎曲和扭轉兩種變形形態(tài)，而根據(jù)修正片條理論得到的各梁段機翼上的頻域非定常氣動力被離散為氣動影響系數(shù)矩陣添加至顫振方程。

2)多段折疊翼的固有頻率隨折疊角的變化而發(fā)生改變，這種改變呈現(xiàn)出非線性形態(tài)。機翼的1階固有頻率曲線簇在外側機翼折疊角為45°附近表現(xiàn)為“谷”，且單段機翼較大的折疊角對其1階固有頻率的影響更為顯著。另外，第3階固有頻率的曲線簇聚集在50 Hz附近。

3)折疊翼尖對機翼顫振速度和顫振頻率的提高具有積極意義。當機翼折疊角變化時，顫振模態(tài)可能會發(fā)生跳轉和遷移，致使顫振速度和顫振頻率都發(fā)生相應地下降。另外，顫振速度和顫振頻率隨折疊角變化規(guī)律基本相同。

4)當翼尖最大折疊角固定時，機翼的顫振速度隨折疊段數(shù)的增加而減小，但減小的幅度并不明顯，這一現(xiàn)象可明顯降低對折疊翼在氣動和結構設計上的要求。