考慮乘客有限理性的城軌列車(chē)組合式停站方案優(yōu)化研究

成琳娜，朱昌鋒，王學(xué)貴，孫元廣，方勁皓，王 傑

（1.蘭州交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院，蘭州 730070；2.五邑大學(xué) 軌道交通學(xué)院，廣東 江門(mén) 529000；3.中鐵第一勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，西安 710043；4.廣州地鐵設(shè)計(jì)研究院股份有限公司，廣州 510010）

停站方案是城市軌道交通運(yùn)營(yíng)計(jì)劃的重要組成部分.為了提高服務(wù)質(zhì)量，城市軌道交通運(yùn)營(yíng)企業(yè)開(kāi)始探索組合式停站方案.然而，乘客出行選擇行為直接影響著城市軌道交通停站方案的優(yōu)化，因此，如何從乘客有限理性的角度研究城市軌道交通停站方案具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

近年來(lái)，有關(guān)學(xué)者就城市軌道交通停站方案開(kāi)展了相關(guān)研究.蔡蕓等［1］通過(guò)考慮客流的不確定性，建立了基于機(jī)會(huì)約束規(guī)劃的列車(chē)停站方案優(yōu)化模型；段凌林等［2］在考慮越行站設(shè)置的前提下，提出了以?xún)?yōu)化乘客出行時(shí)間的快慢車(chē)停站方案模型；蔣琦瑋等［3］通過(guò)引入灰色變權(quán)聚類(lèi)法，構(gòu)建了基于車(chē)站等級(jí)限制的快慢車(chē)停站優(yōu)化模型；孫元廣等［4］研究了快慢車(chē)開(kāi)行方案的設(shè)計(jì)與評(píng)價(jià)方法.上述研究的前提假設(shè)均是乘客出行選擇行為是在完全理性的狀態(tài)下進(jìn)行的.

但是，乘客在出行過(guò)程中的選擇行為受到主觀及客觀的多方面因素影響，很難做到在完全理性下進(jìn)行乘車(chē)選擇［5］.基于此，姚恩建等［6］深入探討了理性決策和固有選擇偏好對(duì)出行方式選擇的影響；Zhao等［7］分析了乘客的有限理性選擇行為，研究了有限理性用戶平衡狀態(tài)的性質(zhì)；徐紅利等［8］指出如果乘客感知到實(shí)際出行成本接近經(jīng)驗(yàn)出行成本時(shí)，不會(huì)更換原有出行方式，反之則會(huì)進(jìn)行調(diào)整.

既有研究較少關(guān)注乘客出行選擇的有限理性特征對(duì)停站方案的影響，部分學(xué)者也嘗試研究有限理性條件下的城市軌道交通停站方案，但僅研究了單參考點(diǎn)條件下的停站方案.基于此，本文通過(guò)引入前景理論，提出有限理性條件下基于出行時(shí)間和擁擠費(fèi)用雙參考點(diǎn)的乘客出行選擇決策理論，以出行時(shí)間前景值和擁擠費(fèi)用前景值最大化為目標(biāo)，構(gòu)建考慮乘客有限理性的城市軌道交通組合式停站方案優(yōu)化模型及其求解算法.

1 乘客有限理性選擇行為分析

假設(shè)站站停方案、組合式停站方案所需的出行時(shí)間分別為T(mén)q、Ts，擁擠費(fèi)用分別為θq、θs.以出行時(shí)間、擁擠費(fèi)用為“雙參考點(diǎn)”，通過(guò)Tq與Ts、θq與θs的對(duì)比即可獲得收益的乘車(chē)選擇.由此，乘客做出某種乘車(chē)選擇行為時(shí)，會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)可能的結(jié)果：

1）當(dāng)Ts≤Tq或θs≤θq時(shí)，該選擇所產(chǎn)生的實(shí)際成本不大于預(yù)期成本，獲得相對(duì)收益.

2）當(dāng)Ts＞Tq或θs＞θq時(shí)，該選擇所產(chǎn)生的實(shí)際成本大于預(yù)期成本，產(chǎn)生相對(duì)損失.

基于此，構(gòu)建有限理性條件下乘客出行時(shí)間價(jià)值函數(shù)和擁擠費(fèi)用價(jià)值函數(shù)，即：

式中：α為收益敏感系數(shù)；β為損失敏感系數(shù)；λ為損失規(guī)避系數(shù).三個(gè)參數(shù)共同描述乘客選擇行為中的有限理性特征，將其定義為行為參數(shù).出行時(shí)間價(jià)值函數(shù)、擁擠費(fèi)用價(jià)值函數(shù)如圖1所示.

圖1 價(jià)值函數(shù)Fig.1 Value function

圖1分別以凹函數(shù)與凸函數(shù)描述了收益和損失狀況.其中，ΔT、Δθ為獲得區(qū)域，表示乘客所選停站方案相比站站停方案能夠獲得出行時(shí)間的節(jié)省或擁擠費(fèi)用的降低，即Tq、θq不大于Ts、θs；-ΔT、-Δθ為損失區(qū)域，表示乘客所選停站方案相比站站停方案而言未能獲得出行時(shí)間的節(jié)省或擁擠費(fèi)用的降低，即乘客的心理預(yù)期參考值Tq、θq大于Ts、θs.

同時(shí)，有限理性條件下乘客對(duì)出行預(yù)期進(jìn)行主觀判斷，進(jìn)而以某種主觀概率做出不同的乘車(chē)選擇行為，由此構(gòu)建有限理性條件下乘客出行時(shí)間概率權(quán)重函數(shù)和擁擠費(fèi)用概率權(quán)重函數(shù)，即：

式中：pzT和pzθ為事件發(fā)生的主觀概率；γ為主觀概率函數(shù)的曲率.出行時(shí)間概率權(quán)重函數(shù)、擁擠費(fèi)用概率權(quán)重函數(shù)如圖2所示.

圖2 概率權(quán)重函數(shù)Fig.2 Probability weight function

圖2揭示了乘客會(huì)根據(jù)不同事件結(jié)果出現(xiàn)的概率進(jìn)行主觀判斷，反映出乘客可能會(huì)更加重視小概率事件的選擇傾向.

1）價(jià)值函數(shù)

乘客出行時(shí)間變化量包括三個(gè)部分：在途時(shí)間變化量、候車(chē)等待時(shí)間變化量及換乘等待時(shí)間變化量，即：

式中：ΔTz為組合式停站方案較站站停方案的在途時(shí)間變化量；ΔTd為組合式停站方案較站站停方案的候車(chē)等待時(shí)間變化量；ΔTh為組合式停站方案較站站停方案的換乘等待時(shí)間變化量；t為站站停方案下列車(chē)平均發(fā)車(chē)間隔；tAB為組合式停站方案下相鄰開(kāi)行LA類(lèi)列車(chē)和LB類(lèi)列車(chē)的時(shí)間間隔；tA∪B為組合式停站方案下相鄰開(kāi)行的兩列LA類(lèi)列車(chē)或相鄰開(kāi)行的兩列LB類(lèi)列車(chē)的時(shí)間間隔；Tt為列車(chē)停站引起的時(shí)間損失；∑QAB為SAB類(lèi)車(chē)站間客流量；∑QA∪B為在SA類(lèi)、SB類(lèi)車(chē)站上車(chē)的客流量與在SAB類(lèi)車(chē)站上車(chē)而在SA類(lèi)或SB類(lèi)車(chē)站下車(chē)的客流量之和；∑QA/B為L(zhǎng)A類(lèi)列車(chē)和LB類(lèi)列車(chē)在SAB類(lèi)車(chē)站的換乘客流量之和，各類(lèi)客流量計(jì)算可參考文獻(xiàn)［9］；S=｛Si|i=1，2，…，n｝為車(chē)站集合；SA、SB、SAB為車(chē)站的三個(gè)類(lèi)別，且S=SA∪SB∪SAB；L=｛Lj|j=1，2，…，m｝為開(kāi)行的列車(chē)集合；LA、LB為開(kāi)行列車(chē)的兩個(gè)類(lèi)別，且有L=LA∪LB，LA類(lèi)列車(chē)?？坑赟A類(lèi)及SAB類(lèi)車(chē)站，LB類(lèi)列車(chē)?？坑赟B類(lèi)車(chē)站及SAB類(lèi)車(chē)站.

本文以列車(chē)到站時(shí)的滿載率來(lái)計(jì)算擁擠費(fèi)用，即：

式中：xLASi和xLBSi為0-1變量，xLASi=xLBSi=1表示LA、LB類(lèi)列車(chē)在車(chē)站Si停車(chē)，xLASi=xLASi=0表示不停車(chē)；Q=｛qSiSj|Si，Sj∈S｝為各車(chē)站間客流OD集合；Qe為列車(chē)的額定載客量.

2）概率權(quán)重函數(shù)

假設(shè)出行時(shí)間近似服從正態(tài)分布［10］，即T～N（E（T），σ2），則乘客選擇第z種停站方案的出行時(shí)間主觀概率pzT為

運(yùn)用Si站客流量與區(qū)段總客流量的比值計(jì)算乘客選擇第z種停站方案的擁擠費(fèi)用主觀概率pzθ為

基于上述分析，可以得出出行時(shí)間前景值vzT和擁擠費(fèi)用前景值vzθ，即：

2 模型建立

本文以出行時(shí)間和擁擠費(fèi)用為雙參考點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)建價(jià)值函數(shù)和概率權(quán)重函數(shù)，可得出相應(yīng)的前景值.前景值越大，乘客乘車(chē)選擇行為的獲益越多.由此構(gòu)建出考慮乘客有限理性的城市軌道交通組合式停站方案優(yōu)化模型.

式（15）和式（16）分別為最大化出行時(shí)間前景值和擁擠費(fèi)用前景值.式（17）至式（20）為運(yùn)行起訖點(diǎn)約束，各類(lèi)列車(chē)在起點(diǎn)和終點(diǎn)車(chē)站均需停車(chē)；式（21）和式（22）為停站次數(shù)約束，各類(lèi)列車(chē)運(yùn)行一次的總停站次數(shù)小于線路車(chē)站總數(shù)；式（23）為列車(chē)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔約束；式（24）為客流約束，列車(chē)客流人數(shù)與線路客流需求總量一致；式（25）為列車(chē)定員約束，列車(chē)定員數(shù)不小于乘坐同一列車(chē)的乘客數(shù)；式（27）和式（28）為列車(chē)服務(wù)能力約束，當(dāng)其中一類(lèi)列車(chē)在某站不停車(chē)時(shí)，該站乘客應(yīng)在一次候車(chē)過(guò)程中能夠得到服務(wù)；式（29）為變量取值約束.

3 模型求解

針對(duì)本文模型有多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)且解空間較大的特點(diǎn)，提出多目標(biāo)優(yōu)化的改進(jìn)遺傳算法對(duì)模型進(jìn)行求解，即帶精英策略的非支配排序遺傳算法［11-13］.

1）編碼和解碼

采用0-1實(shí)數(shù)編碼，染色體長(zhǎng)度n對(duì)應(yīng)車(chē)站總數(shù)，基因座是線路的站序，基因?yàn)楸硎玖熊?chē)是否停站的變量，0表示列車(chē)在該站不停車(chē)，1表示列車(chē)在該站停車(chē).編碼方案如圖3所示.

圖3 城市軌道交通停站編碼方案Fig.3 Coding scheme of stop plan for urban rail transit

2）適應(yīng)度函數(shù)

以出行時(shí)間前景值vzT和擁擠費(fèi)用前景值vzθ為適應(yīng)度函數(shù)，計(jì)算每種停站方案的適應(yīng)度值，淘汰其小于0的停站方案，并確定其余停站方案的crank值，從而進(jìn)行快速非支配排序.操作過(guò)程如圖4所示.

圖4 快速非支配排序Fig.4 Fast non-dominated sorting

在此基礎(chǔ)上，為了使Pareto前沿中的非支配解均勻分布，形成父代種群Pc，采用擁擠度算法作為適應(yīng)度值共享方法，以擁擠距離cd作為擁擠度的判定標(biāo)準(zhǔn)，即：

式中：vzT，c+1，vzT，c-1和vzθ，c+1，vzθ，c-1分別為在目標(biāo)vzT（cz）和vzθ（cz）上的與個(gè)體c相鄰的兩個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度函數(shù)值.

3）交叉及變異算子

根據(jù)父代種群Pc中非支配次序關(guān)系和擁擠度值，通過(guò)錦標(biāo)賽法選擇個(gè)體進(jìn)行多點(diǎn)交叉和基本位變異操作，保留精英個(gè)體產(chǎn)生子代種群Qc.交叉及變異算子如圖5所示.

圖5 產(chǎn)生子代種群Fig.5 Offspring population

4）選擇算子

為了防止有效解丟失，確保父代中的優(yōu)良個(gè)體保留到下一代，運(yùn)用精英策略選擇出適應(yīng)度值較優(yōu)的個(gè)體.精英選擇算子如圖6所示.

圖6 精英選擇算子Fig.6 Elite selection operator

5）迭代檢驗(yàn)

重復(fù)上述操作，產(chǎn)生新的子代種群Qc+1，若滿足停止條件，保存Pareto前沿的非支配解集.

算法流程如圖7所示.

圖7 算法求解流程Fig.7 Solving process of algorithm

4 實(shí)例分析

本文以廣州地鐵14號(hào)線為例，該線路共設(shè)13座車(chē)站（編號(hào)1～13），列車(chē)采用8節(jié)編組，車(chē)輛定員240人，同類(lèi)列車(chē)與不同類(lèi)列車(chē)的最小追蹤間隔時(shí)間分別為2.5 min、10 min，采用工作日非高峰客流數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證.

問(wèn)題求解過(guò)程中，迭代次數(shù)G為400，種群大小N取50，交叉概率pc取0.8，變異概率pm取0.01.前景理論參數(shù)α=β=0.88，λ=2.25，γ收益時(shí)取0.61，損失時(shí)取0.69［14］.

運(yùn)用Matlab R2020b進(jìn)行優(yōu)化求解，當(dāng)算法迭代約160次時(shí)，前景值趨于靜止?fàn)顟B(tài)，計(jì)算得到三組Pareto解，分別對(duì)應(yīng)于三種組合式停站方案，各方案性能對(duì)比分析如表1所列.

由表1可知，三個(gè)組合式停站方案雖然都增加了車(chē)站等候時(shí)間和換乘等候時(shí)間，但是都較顯著減少了在途時(shí)間，因此均能夠獲得不同程度的總出行時(shí)間節(jié)省，分別節(jié)省了18 min、22 min和16 min.而且均能夠在一定程度上降低擁擠費(fèi)用，分別降低了5.5%、7.9%和10.9%.

表1 各方案性能對(duì)比分析Tab.1 Comparative performance analysis of each scheme

同時(shí)可知，vzT和vzθ呈現(xiàn)出負(fù)相關(guān)變化.方案Ⅰ的vzT和vzθ均處于計(jì)算結(jié)果中的次優(yōu)狀態(tài)，兩類(lèi)列車(chē)的擁擠均衡性能夠得到一定程度的改善，并且乘客能夠獲得出行時(shí)間的節(jié)省，對(duì)于同等注重出行時(shí)間和乘車(chē)舒適度的乘客而言，該方案是最佳選擇.方案Ⅱ的vzT最大，意味著乘客節(jié)省的出行時(shí)間最多，但此方案的vzθ最小，說(shuō)明兩類(lèi)列車(chē)的擁擠均衡性較差，在不同時(shí)段可能存在著運(yùn)能不足或運(yùn)能浪費(fèi)的情況，對(duì)于更加注重出行時(shí)間的乘客而言，該方案是最佳選擇.方案Ⅲ的vzθ最大，意味著兩類(lèi)列車(chē)的擁擠均衡性最優(yōu)，運(yùn)用車(chē)的使用均衡性較好，能夠更充分地利用列車(chē)使用成本，但此方案的vzT最小，說(shuō)明乘客能夠獲得的出行時(shí)間節(jié)省最少，對(duì)于更加注重乘車(chē)舒服度的乘客而言，該方案是最佳選擇.

優(yōu)化后的組合式停站方案示意圖如圖8所示，城市軌道交通運(yùn)營(yíng)企業(yè)可綜合考慮該線路客流出行情況和運(yùn)營(yíng)成本控制需求等，根據(jù)實(shí)際需要采用具有針對(duì)性的列車(chē)停站方案.

圖8 組合式停站方案示意圖Fig.8 Schematic diagram of skip-stop scheme

考慮到不同程度的有限理性對(duì)乘客選擇行為結(jié)果的影響，即行為參數(shù)對(duì)前景值的影響.Schwanen等［15］調(diào)查發(fā)現(xiàn)1.09≤α≤1.10、1.09≤β≤1.10、1.27≤λ≤1.37.Avineri等［16］研究發(fā)現(xiàn)各時(shí)段的λ值存在差異：早高峰為0.76；晚高峰為1.62；其它時(shí)段為1.28.基于此，本文以組合式停站方案Ⅰ為例，對(duì)α、β、λ等行為參數(shù)的取值進(jìn)行擾動(dòng)分析，得到前景值變化靈敏度如圖9～12所示.

圖9和圖10反映了收益敏感系數(shù)α、損失敏感系數(shù)β對(duì)方案Ⅰ出行時(shí)間前景值vzT和擁擠費(fèi)用前景值vzθ影響的對(duì)比分析.結(jié)果表明，vzθ和vzT幾乎不受β的影響；vzT隨著α的增加表現(xiàn)出穩(wěn)定的增長(zhǎng)趨勢(shì)，當(dāng)α＞0.55時(shí)方案Ⅰ開(kāi)始能夠獲得出行時(shí)間的節(jié)??；vzθ隨著α的增加表現(xiàn)出程度不定的起伏波動(dòng)，在α≈0.85時(shí)出現(xiàn)大幅度增加，表明此時(shí)兩類(lèi)列車(chē)的擁擠均衡性開(kāi)始得到明顯改善.說(shuō)明乘客在乘車(chē)選擇過(guò)程中，對(duì)能夠獲得的收益更加敏感.

圖9 α、β對(duì)方案ⅠvzT的影響Fig.9 Influence ofαandβon vzT of schemeⅠ

圖10 α、β對(duì)方案Ⅰvzθ的影響Fig.10 Influence ofαandβon vzθof schemeⅠ

圖11和圖12反映了損失敏感系數(shù)β、損失規(guī)避系數(shù)λ對(duì)方案Ⅰ出行時(shí)間前景值vzT和擁擠費(fèi)用前景值vzθ影響的對(duì)比分析.結(jié)果表明，vzθ和vzT幾乎不受β的影響；vzT隨著λ的增加表現(xiàn)出穩(wěn)定的增長(zhǎng)趨勢(shì)，0.55＜λ＜1.35范圍內(nèi)vzT具有較快的增長(zhǎng)速率，λ＞1.35時(shí)增長(zhǎng)速率開(kāi)始減緩，且λ＞1.65時(shí)方案Ⅰ開(kāi)始能夠獲得出行時(shí)間的節(jié)??；vzθ隨著λ的增加表現(xiàn)出程度不定的起伏波動(dòng)，在λ≈1.55時(shí)出現(xiàn)大幅度增加，表明此時(shí)兩類(lèi)列車(chē)的擁擠均衡性開(kāi)始得到明顯改善.說(shuō)明乘客雖然對(duì)乘車(chē)過(guò)程中產(chǎn)生的損失較為不敏感，但對(duì)可能面臨的損失仍會(huì)表現(xiàn)出強(qiáng)烈的規(guī)避心理.

圖11 β、λ對(duì)方案ⅠvzT的影響Fig.11 Influence ofβandλon vzT of schemeⅠ

圖12 β、λ對(duì)方案Ⅰvzθ的影響Fig.12 Influence ofβandλon vzθof schemeⅠ

5 結(jié)論

根據(jù)乘客選擇行為的有限理性特征，提出考慮乘客有限理性的城市軌道交通組合式停站方案優(yōu)化模型，可以從乘客所獲得的出行時(shí)間“收益”和產(chǎn)生的擁擠費(fèi)用“損失”等方面進(jìn)行選擇行為分析應(yīng)用，優(yōu)化結(jié)果可以用于客流需求動(dòng)態(tài)條件下城市軌道交通停站方案適應(yīng)性調(diào)整.

實(shí)例分析結(jié)果表明，本文設(shè)計(jì)的優(yōu)化模型與算法能在較短時(shí)間內(nèi)獲得可行解，得到的三種組合式停站方案將乘客出行時(shí)間平均減少了18.6 min、擁擠費(fèi)用平均減少了8.1%，具有更好的客流適應(yīng)性.通過(guò)行為參數(shù)的靈敏度分析可知，收益敏感系數(shù)和損失規(guī)避系數(shù)的變化會(huì)使得出行時(shí)間前景值和擁擠費(fèi)用前景值出現(xiàn)明顯波動(dòng)，從而對(duì)停站方案優(yōu)化結(jié)果產(chǎn)生影響；而出行損失敏感系數(shù)的變化所產(chǎn)生的影響較為微弱.

下一步研究可深入探討行為參數(shù)變化對(duì)停站方案優(yōu)化的影響，進(jìn)一步改進(jìn)前景理論在城市軌道交通停站方案優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用效果.同時(shí)，對(duì)該方法的優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行拓展研究后，將適用于不同優(yōu)化視角下停站方案的調(diào)整.