隨機(jī)多孔碳纖維紙的非線性面外壓縮本構(gòu)模型

石姍姍，呂航宇，呂超雨，蘇智博，孫 直

(1. 大連交通大學(xué)機(jī)車車輛工程學(xué)院，遼寧，大連 116028；2. 大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧，大連 116023)

碳纖維紙?jiān)谙冗M(jìn)能源以及先進(jìn)環(huán)境材料領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用前景，如功能材料、電化學(xué)材料和新能源材料等[1?6]，其主要服役狀態(tài)為面外壓縮。大量的實(shí)驗(yàn)和分析研究[7?12]表明，碳纖維紙的面外壓縮變形對其力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)性能以及流體性能具有顯著影響[7?15]。碳纖維紙不同于分布規(guī)則的碳纖維編織結(jié)構(gòu)[16?18]，具有隨機(jī)散亂的結(jié)構(gòu)特征，其微觀結(jié)構(gòu)由雜亂的短切碳纖維形成低密度多孔結(jié)構(gòu)，空間幾何分布類似于無紡布。這種散亂的多孔結(jié)構(gòu)與現(xiàn)有模型有很大差別，其性能隨微孔半徑大小而改變[19]，導(dǎo)致碳纖維紙的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系不同于常見的均勻材料或連續(xù)材料，并呈現(xiàn)出明顯的非線性特征。

目前，針對碳纖維紙的研究主要集中于化學(xué)處理和微納觀改性領(lǐng)域[20?24]，相關(guān)的力學(xué)研究較少。對于碳纖維紙的力學(xué)性能與耦合性能，多采用實(shí)驗(yàn)測量，并根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行初步的數(shù)值分析。高源等[25]使用隨機(jī)重構(gòu)技術(shù)建立三維微孔隙結(jié)構(gòu)模型，通過改變孔隙率、纖維直徑和燃料電池的氣體擴(kuò)散層厚度等參數(shù)觀測碳纖維紙的滲透率的變化趨勢。GARCíA-SALABERRI 等[26]充分考慮了碳纖維紙的非線性特點(diǎn)，通過大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，擬合了碳纖維紙的非線性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。該模型高度依賴于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的數(shù)量和有效性，不利于實(shí)際使用，尤其是碳纖維紙型號(hào)改變的時(shí)候，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系會(huì)隨著孔隙率、有機(jī)質(zhì)含量、單胞尺寸等參數(shù)劇烈變化。BAHRAMI 等[6]基于梁理論，預(yù)測壓縮載荷作用下碳纖維紙變形的力學(xué)解析模型。BAHRAMI 模型考慮了碳纖維紙的微觀纖維分布與纖維彎曲變形，但該模型是線性的，只能在很小的范圍內(nèi)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合。ZHANG 等[27]建立了碳纖維紙的隨機(jī)微觀結(jié)構(gòu)，研究發(fā)現(xiàn)接觸對和孔隙率是決定壓縮非線性的2 個(gè)關(guān)鍵因素。實(shí)際上，碳纖維紙?jiān)趬嚎s載荷下，內(nèi)部孔隙會(huì)不斷減小，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)孔隙率下降，實(shí)體率上升，微觀結(jié)構(gòu)逐漸密實(shí)，從而引發(fā)碳纖維紙的彈性模量隨壓縮應(yīng)變的增加而快速增加。針對碳纖維紙的非線性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，只有建立一種可以反映其特征的非線性本構(gòu)模型，才能準(zhǔn)確預(yù)測碳纖維紙的性能，進(jìn)而更準(zhǔn)確地分析碳纖維紙的力-電性能、力-熱性能、力-滲透性能等多場耦合性能。然而，目前尚缺少有效的非線性碳纖維紙本構(gòu)模型。

為建立有效的非線性本構(gòu)模型，本文針對碳纖維紙微結(jié)構(gòu)的隨機(jī)多孔特點(diǎn)，提出了兩種本構(gòu)模型，分別是全面考慮微結(jié)構(gòu)孔隙率、單胞尺寸變化及微結(jié)構(gòu)彎曲與接觸變形的對數(shù)型模型，以及忽略赫茲接觸變形的冪函數(shù)型簡化模型。首先選取典型六面體微結(jié)構(gòu)作為碳纖維紙的代表性單胞結(jié)構(gòu)，將碳纖維紙的壓縮變形分解為接觸變形和彎曲變形兩部分。分別使用赫茲接觸理論和彎曲梁理論分析典型纖維的接觸變形和彎曲變形，并考慮壓縮變形過程中，結(jié)構(gòu)的孔隙率變化，及其對纖維直徑、單胞長度、微結(jié)構(gòu)單元面積等相關(guān)幾何參數(shù)的影響，得到碳纖維紙的非線性本構(gòu)關(guān)系。基于三種商品化的碳纖維紙的應(yīng)力-應(yīng)變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分析對比本文提出的兩種本構(gòu)模型的適用范圍。

1 非線性面外壓縮模型

1.1 碳纖維紙的代表性六面體單胞

碳纖維紙的多孔結(jié)構(gòu)由雜亂且低密度的短切碳纖維組成，如圖1 所示。觀察俯視視角和橫截面視角的掃描電鏡圖片，可以發(fā)現(xiàn)碳纖維在平面內(nèi)的分布表現(xiàn)為隨機(jī)長度和隨機(jī)角度的四邊形(圖1(a))；在厚度方向的分布表現(xiàn)為較為規(guī)則的堆疊(圖1(b))。根據(jù)碳纖維紙中碳纖維的實(shí)際分布規(guī)律，本文選用六面體作為碳纖維紙的代表性單胞，如圖2 中虛線所示。六面體單胞四周為4 個(gè)矩形，高度是碳纖維直徑的4 倍；上、下表面為隨機(jī)四邊形，邊長、單胞面積等參數(shù)的統(tǒng)計(jì)值詳見表1。每個(gè)代表性六面體單胞包含2 根橫向纖維和2 根縱向纖維(第1 層含1 根完整的橫向碳纖維，第3 層含有2 個(gè)半根的橫向碳纖維。同理，第2 層、4 層各含有1 根縱向碳纖維)。

圖1 碳纖維紙掃描電鏡圖片F(xiàn)ig. 1 SEM images of commercial carbon fiber papers[8]

圖2 碳纖維紙的代表性六面體單胞示意圖Fig. 2 Schematics of the proposed typical hexahedral unit cell model for the carbon fiber papers

1.2 接觸變形

碳纖維紙最重要的力學(xué)行為是厚度方向上的壓縮變形。當(dāng)六面體單胞承受壓縮應(yīng)力時(shí)，水平方向纖維與相鄰的垂直纖維發(fā)生緊密接觸而產(chǎn)生非線性接觸變形，如圖3 所示。它是碳纖維紙的主要變形方式之一，也是碳纖維紙發(fā)生非線性力學(xué)響應(yīng)的重要原因。

圖3 碳纖維紙接觸變形模式示意圖Fig. 3 Schematics of contact deformation with use of Hertz's contact model

表1 給出了幾種商用碳纖維紙的力學(xué)性能和幾何參數(shù)。根據(jù)這些數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)碳纖維紙六面體單胞的平均長度(119 μm～136 μm)遠(yuǎn)大于平均纖維直徑(6.95 μm)。因此，六面體單胞內(nèi)纖維可以近似認(rèn)為無限長圓柱體，碳纖維間的接觸為無限長圓柱的正交(垂直)赫茲接觸。

表1 商用碳纖維紙的力學(xué)性能和幾何參數(shù)Table 1 Mechanical properties and geometric parameters of commercial carbon fiber papers

根據(jù)正交赫茲接觸[30]圓柱的載荷-位移關(guān)系，得到：

式中：P和u分別為單胞所承受的壓縮載荷和壓縮位移；E、D和ν分別代表碳纖維的彈性模量、單根纖維的直徑和碳纖維單絲的泊松比。由式(1)可以分別得到單胞平均壓縮應(yīng)力和赫茲接觸變形引起的平均壓縮應(yīng)變：

1.3 彎曲變形

如圖4 所示，碳纖維紙代表性單胞在受到壓縮載荷時(shí)，具有一定長度的纖維與纖維接觸點(diǎn)會(huì)構(gòu)成三點(diǎn)彎曲。因此，單胞內(nèi)除了會(huì)產(chǎn)生接觸變形外，還會(huì)產(chǎn)生彎曲變形。彎曲變形是碳纖維紙的另一種主要變形方式。

圖4 碳纖維紙彎曲變形模式示意圖Fig. 4 Schematics of bending deformation with use of beam bending model

對碳纖維紙結(jié)構(gòu)的彎曲變形，BAHRAMI 等[6]利用歐拉-伯努利梁理論成功地建立了碳纖維紙六面體單胞的彈性本構(gòu)模型。由于彎曲纖維所受彎矩和變形與纖維間的夾角無關(guān)，歐拉-伯努利梁理論同樣適用于六面體單胞中的交叉纖維。因此，壓縮載荷下六面體單胞的纖維彎曲變形引起的壓縮應(yīng)變[6]可以表示為：

1.4 考慮赫茲接觸影響的對數(shù)型模型

碳纖維紙代表性單胞在受到壓縮載荷時(shí)，主要發(fā)生2 種變形，即接觸變形和彎曲變形。其中，接觸變形主要發(fā)生在纖維之間的接觸點(diǎn)，如圖3 所示；彎曲變形主要體現(xiàn)為纖維軸線在厚度方向上發(fā)生撓度，如圖4 所示。在模型中，兩種變形同時(shí)發(fā)生，單胞的壓縮位移等于兩種變形位移之和。根據(jù)式(5)和式(8)，可以得到 dε 和 dσ之間的微分關(guān)系如下：

由式(10)計(jì)算得到的碳纖維占比均大于碳纖維紙的實(shí)測實(shí)體率，這說明碳纖維紙內(nèi)含有大量空隙?？紤]纖維分布的隨機(jī)性，假設(shè)空隙均勻分布，可以得到單胞的充盈率 η。若 η=1，則說明碳纖維紙被六面體單胞充滿；若 η＜0，則碳纖維紙內(nèi)含有 η的六面體單胞與1?η的空隙。單胞的充盈率 η可由碳纖維紙的實(shí)測孔隙率與單胞理論孔隙率之比得到：

隨著壓縮位移與應(yīng)變的增加，碳纖維紙會(huì)變得越來越密實(shí)(碳纖維的體積不變，碳纖維紙的體積減小)，即碳纖維紙的單胞充盈率會(huì)隨著壓縮應(yīng)變增加而增加。忽略泊松效應(yīng)對碳纖維紙單胞幾何尺寸的影響，單胞名義充盈率 η?可表示為：

式(12)顯示，在壓縮載荷下，隨著名義應(yīng)變( ε＜0)的減少，單胞名義充盈率η*可能會(huì)大于1，這表示厚度方向上原本未接觸的碳纖維發(fā)生了更多的接觸，導(dǎo)致單胞尺寸變小、數(shù)量增加。本文近似地認(rèn)為其對彈性模量的影響是線性的。

將式(12)代入式(9)，得：

通過對式(13)進(jìn)行兩邊積分，可得到碳纖維紙的對數(shù)型本構(gòu)關(guān)系：

1.5 同時(shí)考慮孔隙率和單胞尺寸的冪函數(shù)型模型

若進(jìn)一步考慮壓縮變形時(shí)，結(jié)構(gòu)堆疊將對單胞尺寸產(chǎn)生影響。隨著名義應(yīng)變 ε的變化，例如，當(dāng)名義應(yīng)變達(dá)到?0.5 時(shí)，單胞尺寸縮小為l· (1?0.5)，則單胞長度l可寫為：

式中，l0為壓縮變形發(fā)生前單胞長度。

由于接觸等效模量Ec和彎曲等效模量Eb與單胞尺寸的關(guān)系不一樣，若同時(shí)考慮兩種等效模量隨單胞尺寸的變化，微分方程將無法分離變量，會(huì)給求解帶來不便。而且隨著壓縮變形持續(xù)增加，接觸變形的影響會(huì)變小，壓縮變形導(dǎo)致的單胞尺寸變化對碳纖維紙應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的作用變得明顯。因此，本節(jié)只分析彎曲等效模量隨單胞尺寸的變化，并建立相應(yīng)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。

對彎曲等效模量，根據(jù)BAHRAMI 等[6]模型，可得：

同時(shí)考慮孔隙率的變化，由式(12)、式(15)和式(16)，可以得到：

即：

通過對式(18)進(jìn)行兩邊積分，可得到碳纖維紙的冪函數(shù)型本構(gòu)關(guān)系：

2 結(jié)果與討論

本節(jié)中，采用表1 給出的SGL24AA、SGL25AA和SGL10BA 三種商用碳纖維紙的力學(xué)性能和幾何參數(shù)，將1.4 節(jié)和1.5 節(jié)中提出的全面考慮微結(jié)構(gòu)孔隙率、單胞尺寸變化及微結(jié)構(gòu)彎曲與接觸變形的對數(shù)型模型和忽略赫茲接觸變形的冪函數(shù)型簡化模型，與這三種商用碳纖維紙實(shí)驗(yàn)所測應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線進(jìn)行對比分析。由于SGL10BA 這類碳纖維紙中含有聚四氟乙烯或熱塑性樹脂等有機(jī)物，這將對其力學(xué)本構(gòu)關(guān)系產(chǎn)生影響，因此本節(jié)將分別討論有、無額外有機(jī)物的碳纖維紙。

2.1 無有機(jī)物碳纖維紙的本構(gòu)模型驗(yàn)證

如圖5 所示，三角曲線分別代表了SGL 24AA 和 SGL 25AA 商業(yè)碳纖維紙應(yīng)力-應(yīng)變曲線的實(shí)驗(yàn)測試值；圓點(diǎn)曲線代表對數(shù)型本構(gòu)模型；方形曲線代表冪函數(shù)型本構(gòu)模型；直線代表線性本構(gòu)模型[6]?？梢钥闯?，針對SGL 24AA 和 SGL 25AA 這兩類碳纖維紙，冪函數(shù)型本構(gòu)模型與實(shí)驗(yàn)測量值呈現(xiàn)出高度吻合，冪函數(shù)型模型具有良好的非線性特征。對數(shù)型本構(gòu)模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)具有相似的模量強(qiáng)化趨勢，線性本構(gòu)模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相差最遠(yuǎn)。

圖5 對數(shù)型本構(gòu)模型、冪函數(shù)型本構(gòu)模型與線性本構(gòu)模型和實(shí)驗(yàn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的對比圖Fig. 5 Comparison of experimental stress-strain curves with the logarithmic-type model，the power-function-type model and the linear bending model

考慮到碳纖維紙最優(yōu)夾緊力為0.77 MPa[31]，為了有一個(gè)更全的覆蓋面，本文將討論的壓縮應(yīng)力區(qū)間設(shè)定在0.4 MPa～1.2 MPa。如圖6 所示，對于SGL 24AA 碳纖維紙，在其壓縮應(yīng)力為0.4 MPa～1.2 MPa 時(shí)，線性本構(gòu)模型分析得到的應(yīng)變值與實(shí)驗(yàn)測得的應(yīng)變平均值絕對誤差值區(qū)間為41.8%～76.6%，對數(shù)型本構(gòu)模型分析得到的應(yīng)變值與實(shí)驗(yàn)測得的應(yīng)變平均值絕對誤差值區(qū)間為2.0%～41.8%，而冪函數(shù)型本構(gòu)模型分析得到的應(yīng)變值與實(shí)驗(yàn)測得的應(yīng)變平均值絕對誤差值區(qū)間為0.1%～35.0%。對于SGL 25AA 碳纖維紙，對數(shù)型本構(gòu)模型分析得到的應(yīng)變值與實(shí)驗(yàn)測得的應(yīng)變平均值絕對誤差值區(qū)間降為0.1%～37.5%；冪函數(shù)型本構(gòu)模型與實(shí)驗(yàn)測得的應(yīng)變平均值吻合度最高，最大絕對誤差值為1.3%～33.1%；與SGL 24AA 碳纖維紙相比，線性本構(gòu)模型分析得到的應(yīng)變值與實(shí)驗(yàn)測得的應(yīng)變平均值之間誤差更大，絕對誤差值區(qū)間為41.5%～79.8%。

圖6 對數(shù)型本構(gòu)模型、冪函數(shù)型本構(gòu)模型與線性本構(gòu)模型和實(shí)驗(yàn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線誤差絕對值對比圖Fig. 6 Comparison of absolute error values with experimental stress-strain curves between the logarithmic-type model，the power-function-type model and the linear bending model

對比SGL24AA 和SGL25AA 碳纖維紙的應(yīng)力-應(yīng)變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與線性、對數(shù)型本構(gòu)及冪函數(shù)性本構(gòu)預(yù)測結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)：首先，本文提出的兩種本構(gòu)模型的相對誤差均遠(yuǎn)小于線性本構(gòu)模型[6]，其主要原因?yàn)榫€性本構(gòu)未考慮壓縮過程中纖維因接觸點(diǎn)增加而發(fā)生的應(yīng)變強(qiáng)化。其次，當(dāng)碳纖維紙孔隙率增加時(shí)(SGL25AA 的孔隙率大于SGL24AA)，本文提出的兩種非線性本構(gòu)模型的相對誤差也會(huì)增加。這可能是因?yàn)榭紫堵瘦^大時(shí)，微觀結(jié)構(gòu)隨機(jī)性更大，造成預(yù)測誤差的增加。最后，對比本文提出的兩種本構(gòu)模型，可以發(fā)現(xiàn)在較高應(yīng)變下，考慮接觸變形的對數(shù)型本構(gòu)模型和冪函數(shù)本構(gòu)模型模擬結(jié)果相差較大，這主要是碳纖維紙孔隙率和彈性模量隨應(yīng)變改變造成的。在壓縮應(yīng)變較低時(shí)，彎曲變形明顯大于接觸變形，忽略接觸變形的冪函數(shù)型簡化模型具有形式更簡單的優(yōu)點(diǎn)，且在壓縮應(yīng)變較低時(shí)與對數(shù)型本構(gòu)模型相差不大。隨著壓縮應(yīng)變的增加，碳纖維紙的孔隙率減少、彈性模量成倍增加。此時(shí)，忽略接觸變形與接觸剛度的影響隨著彈性模量的增加而增加，進(jìn)而導(dǎo)致對數(shù)型本構(gòu)模型和冪函數(shù)本構(gòu)模型模擬結(jié)果相差較大?？傮w而言，冪函數(shù)型模型的參數(shù)較少，在準(zhǔn)確性和便利性上更適合工程應(yīng)用。

2.2 含有有機(jī)物的碳纖維紙本構(gòu)模型驗(yàn)證

SGL10BA 等碳纖維紙中含有較大比例的聚四氟乙烯或其他熱塑性樹脂，這將對其力學(xué)本構(gòu)關(guān)系產(chǎn)生影響，本節(jié)將討論本文提出的本構(gòu)模型對這類碳纖維紙的適用性?？紤]到聚四氟乙烯或熱塑性樹脂的影響，需要在現(xiàn)有的對數(shù)型本構(gòu)模型和冪函數(shù)型本構(gòu)模型中引入修正因子 γ，其中 γ代表碳纖維紙中碳纖維含量比值。由于有機(jī)物的彈性模量均小于碳纖維模量，因此可認(rèn)為有機(jī)物對碳纖維紙模量貢獻(xiàn)較小，碳纖維紙的彈性模量主要由其碳纖維在實(shí)體材料的比例 γ決定，式(14)和式(19)可以分別修正為：

圖7(a)為SGL10BA 碳纖維紙的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。其中黑色三角為實(shí)驗(yàn)測試值[29]；圓點(diǎn)曲線代表對數(shù)型本構(gòu)模型；方形曲線代表冪函數(shù)型本構(gòu)模型；黑色直線代表線性本構(gòu)模型[6]。

圖7 SGL 10BA 碳纖維紙F(tuán)ig. 7 SGL 10BA carbon fiber paper

對于SGL10BA 型碳纖維紙，紙的一側(cè)存在5%的聚四氟乙烯薄膜，因此碳纖維的實(shí)際含量需要相應(yīng)減少5%，修正因子γ 為0.95。觀察圖7(b)所示的應(yīng)力-應(yīng)變曲線可以發(fā)現(xiàn)，本文所提出的對數(shù)型本構(gòu)模型與冪函數(shù)型本構(gòu)模型依舊具有一定的準(zhǔn)確性，兩種模型的準(zhǔn)確性均優(yōu)于傳統(tǒng)的線性本構(gòu)模型。

基于以上結(jié)果對比，可以發(fā)現(xiàn)碳纖維紙中的額外樹脂對其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系有比較明顯的影響。對比三種本構(gòu)模型的預(yù)測結(jié)果，全面考慮接觸變形、彎曲變形與孔隙率變化的對數(shù)型本構(gòu)模型具有較好的魯棒性，適用范圍較廣；簡化后的冪函數(shù)型本構(gòu)模型能夠較準(zhǔn)確的預(yù)測樹脂含量較低的碳纖維紙的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系；傳統(tǒng)的線性本構(gòu)模型[6]對各種碳纖維紙的預(yù)測均有較大的誤差。本文提出的兩種本構(gòu)模型的相對誤差均遠(yuǎn)小于線性本構(gòu)模型，其主要原因?yàn)榫€性本構(gòu)未考慮壓縮過程中纖維因接觸點(diǎn)增加而發(fā)生的應(yīng)變強(qiáng)化。對比本文提出的兩種本構(gòu)模型，可以發(fā)現(xiàn)對數(shù)型模型的誤差最小，更適合含有機(jī)物碳纖維紙的理論與數(shù)值分析。

不過，在有額外有機(jī)物的條件下，三種本構(gòu)模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的相對誤差均高于無有機(jī)物碳纖維紙，說明雖然有機(jī)物在碳纖維紙中含量較低，仍對其微觀變形機(jī)制和壓縮本構(gòu)關(guān)系有較大影響。有必要根據(jù)碳纖維紙內(nèi)的有機(jī)物分布，進(jìn)行更深入的研究。

3 結(jié)論

本文針對碳纖維紙微結(jié)構(gòu)隨機(jī)多孔的特點(diǎn)，提出了兩種非線性面外壓縮本構(gòu)模型，分別是全面考慮微結(jié)構(gòu)孔隙率、單胞尺寸變化及微結(jié)構(gòu)彎曲與接觸變形的對數(shù)型模型，以及忽略赫茲接觸變形的冪函數(shù)型簡化模型。基于三種商品化碳纖維紙的應(yīng)力-應(yīng)變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，將本文提出的兩種本構(gòu)模型與傳統(tǒng)的線性本構(gòu)模型進(jìn)行分析對比，得到以下結(jié)論：

(1) 對于本文涉及的多種典型碳纖維紙，作者提出的冪函數(shù)型本構(gòu)模型與對數(shù)型本構(gòu)模型均能夠描述材料的非線性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。兩種本構(gòu)模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相對誤差均明顯小于傳統(tǒng)的線性本構(gòu)模型，可以為相關(guān)結(jié)構(gòu)的仿真分析提供有效的本構(gòu)模型基礎(chǔ)。

(2) 對于含樹脂等有機(jī)物較少的碳纖維紙，冪函數(shù)型本構(gòu)模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相對誤差最小，在最優(yōu)加緊應(yīng)力附近的相對誤差可低至0.1%。同時(shí)，由于冪函數(shù)型本構(gòu)模型具有參數(shù)少的特點(diǎn)，僅通過一對應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)即可建立冪函數(shù)型本構(gòu)，比較便于通過實(shí)驗(yàn)測試得到。

(3) 對于含樹脂等有機(jī)物較多的碳纖維，由于這些隨機(jī)分布有機(jī)物的模量較低，降低了碳纖維紙的等效模量。本文引入了體積分?jǐn)?shù)修正因子 γ，以考慮有機(jī)物雜質(zhì)對碳纖維紙本構(gòu)模型的影響。與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對比顯示，修正后的兩種本構(gòu)模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相對誤差仍明顯小于傳統(tǒng)的線性本構(gòu)模型，但其相對誤差的離散性較大，仍有待于進(jìn)一步修正。