地下結(jié)構(gòu)整體式反應(yīng)位移法的改進(jìn)

寶 鑫，劉晶波，李述濤,2，陸喜歡，王 菲

(1. 清華大學(xué)土木工程系， 北京 100084；2. 軍事科學(xué)院國防工程研究院，北京 100036)

大型地下工程是重要的國家基礎(chǔ)設(shè)施，由于財(cái)富集中度高，人員密集，其安全性至關(guān)重要。強(qiáng)震作用可能會(huì)使隧道、地鐵車站等地下結(jié)構(gòu)發(fā)生嚴(yán)重破壞及次生災(zāi)害[1?5]，因此，進(jìn)行地下結(jié)構(gòu)的抗震研究已成為一項(xiàng)緊迫的國家需求。

合理可靠的地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析方法是開展地下結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)和地震災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)評估的基礎(chǔ)。目前常用的地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析方法主要包括動(dòng)力時(shí)程法和簡化的實(shí)用分析方法。其中基于動(dòng)力有限元法的時(shí)程分析方法可有效模擬土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用、截?cái)噙吔缣幍牟▌?dòng)輻射效應(yīng)[6?10]以及不同類型和入射角度的地震波動(dòng)輸入問題[11?14]，是當(dāng)前土-結(jié)構(gòu)相互作用分析中最為全面、可信的數(shù)值模擬方法之一。但該方法涉及的計(jì)算模型通常較為復(fù)雜，實(shí)施難度較大，計(jì)算效率偏低。為解決實(shí)用性問題，研究人員在震害觀測、模型試驗(yàn)、數(shù)值模擬和理論分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行簡化，提出了包括反應(yīng)位移法[15?16]、反應(yīng)加速度法[17]、地下結(jié)構(gòu)Pushover 分析方法[18?19]及不同方法的衍生方法[20?30]在內(nèi)的多種地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)實(shí)用分析方法。其中，反應(yīng)位移法具有較為嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)和清晰明確的物理意義，在保證計(jì)算精度的前提下，計(jì)算效率優(yōu)勢突出，在實(shí)際工程問題中得到廣泛應(yīng)用。近年來，劉晶波等[31?32]在反應(yīng)位移法的基礎(chǔ)上，采用地下結(jié)構(gòu)-巖土介質(zhì)整體力學(xué)模型代替地基彈簧，提出了地下結(jié)構(gòu)抗震分析的整體式反應(yīng)位移法。該方法能夠直接反映巖土介質(zhì)與地下結(jié)構(gòu)的相互作用，且不需考慮應(yīng)力場在結(jié)構(gòu)邊界面上的分解與合成，適用于具有復(fù)雜橫斷面的地下結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析，其有效性與準(zhǔn)確性已被大量相關(guān)研究驗(yàn)證[22,33?35]，并已被我國《地下結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)》(GB/T 51336?2018)[36]采納。

在采用整體式反應(yīng)位移法求解等效輸入地震荷載的過程中，需計(jì)算對應(yīng)于結(jié)構(gòu)位置處的土體介質(zhì)自由場加速度，根據(jù)土層性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為慣性力，判斷其作用方向，并逐一施加到土-結(jié)構(gòu)交界面所包圍的土體單元之上，處理過程相對復(fù)雜。本文基于有限元離散模型，從理論上證明了整體式反應(yīng)位移法中由結(jié)構(gòu)周邊應(yīng)力引起的等效地震荷載可通過僅由一層土體單元構(gòu)成的子結(jié)構(gòu)模型的一次靜力分析獲得，且此時(shí)土體慣性力對等效地震荷載的影響可以忽略。在此基礎(chǔ)上提出地下結(jié)構(gòu)整體式反應(yīng)位移法的改進(jìn)方法。改進(jìn)方法在保證計(jì)算精度的前提下，避免了土層介質(zhì)自由場慣性力的計(jì)算與施加，從而有效簡化了整體式反應(yīng)位移法的實(shí)施流程。

1 地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析的整體式反應(yīng)位移法

地下結(jié)構(gòu)-巖土介質(zhì)相互作用模型如圖1 所示，將土-結(jié)構(gòu)交界面記為S。采用整體式反應(yīng)位移法進(jìn)行計(jì)算分析時(shí)，需建立如圖2 所示的輔助自由場模型，其中結(jié)構(gòu)所在位置由自由場地基介質(zhì)填充。

圖1 土-結(jié)構(gòu)相互作用模型Fig. 1 Model of soil-structure interaction system

圖2 自由場模型Fig. 2 Model of free wave field

根據(jù)整體式反應(yīng)位移法的基本理論[37]，地下結(jié)構(gòu)所承受的地震作用由以下三部分構(gòu)成：

1)巖土地基變形引起的荷載fE：等效于在去除結(jié)構(gòu)的土層有限元模型中將土-結(jié)構(gòu)界面拉至自由場變形位置處所需的荷載，如圖3(a)所示；

圖3 整體式反應(yīng)位移法中的等效地震荷載Fig. 3 Equivalent seismic loads in the integral response deformation method

2)由結(jié)構(gòu)外側(cè)的周邊自由場應(yīng)力產(chǎn)生的作用于結(jié)構(gòu)之上的荷載fS0：在對應(yīng)于結(jié)構(gòu)位置處的自由場介質(zhì)模型邊界上施加自由場位移，并對內(nèi)部自由場介質(zhì)施加自由場慣性力，通過靜力計(jì)算求解得到的界面S處的節(jié)點(diǎn)反力，如圖3(b)所示。

3)結(jié)構(gòu)自身的慣性力，如圖3(c)所示。

其中前兩項(xiàng)之和稱為等效輸入地震荷載，記為FS。

在實(shí)際求解等效輸入地震荷載的過程中，內(nèi)部土體介質(zhì)自由場慣性力的施加是一個(gè)相對復(fù)雜，且容易出錯(cuò)的過程，由于結(jié)構(gòu)所在位置處每一層土體單元的土層性質(zhì)和自由場加速度分布均不相同，因此，在實(shí)際計(jì)算時(shí)，首先，需提取最不利時(shí)刻的土層場地自由場加速度分布，判斷其作用方向，然后，根據(jù)對應(yīng)位置處的土層性質(zhì)，逐一計(jì)算等效慣性力，并施加在每一土體單元上。鑒于此，本文重點(diǎn)研究整體式反應(yīng)位移法中等效地震荷載的簡化求解方法。

2 整體式反應(yīng)位移法的改進(jìn)

2.1 改進(jìn)方法一

整體式反應(yīng)位移法中由結(jié)構(gòu)周邊自由場應(yīng)力引起的等效地震荷載fS0本質(zhì)上是自由場中土-結(jié)構(gòu)界面對應(yīng)位置處的土層應(yīng)力?？山⑷鐖D4 所示的對應(yīng)于結(jié)構(gòu)位置處的自由場巖土介質(zhì)模型，并對其進(jìn)行受力分析。按空間位置將模型節(jié)點(diǎn)分成三類，分別是土-結(jié)構(gòu)界面節(jié)點(diǎn)S(用實(shí)心圓符號(hào)●表示)、與土-結(jié)構(gòu)界面相鄰的內(nèi)部結(jié)點(diǎn)N(用實(shí)心方框表示■)和其余內(nèi)部節(jié)點(diǎn)I(用空心圓符號(hào)○表示)。

圖4 結(jié)構(gòu)所在位置處的自由場巖土介質(zhì)模型Fig. 4 Free field model of soil medium corresponding to the structure location

根據(jù)上述節(jié)點(diǎn)分類，可建立結(jié)構(gòu)所在位置處的自由場巖土介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)方程：

式中：M、C和K分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；、和u分別為加速度、速度和位移向量；f為節(jié)點(diǎn)力向量；下標(biāo)S、N 和I 代表圖4中的節(jié)點(diǎn)分類。

根據(jù)隔離體理論，對于如圖4 所示的巖土介質(zhì)模型，在土-結(jié)構(gòu)界面S 上施加荷載，即可使模型內(nèi)部的土體介質(zhì)滿足自由場運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：

式中，上標(biāo)0 代表自由場運(yùn)動(dòng)。

將對應(yīng)于地下結(jié)構(gòu)頂、底板位置處，自由場發(fā)生最大相對位移的時(shí)刻，即最不利時(shí)刻，記作tm，此時(shí)自由場運(yùn)動(dòng)方程表示為：

圖5 內(nèi)部土層子結(jié)構(gòu)模型Fig. 5 Model of internal soil-layer substructure

該內(nèi)部土層子結(jié)構(gòu)模型的運(yùn)動(dòng)方程可表示為：

式中，上標(biāo)sub 代表內(nèi)部土層子結(jié)構(gòu)。

與傳統(tǒng)的整體式反應(yīng)位移法類似，由于該方法對內(nèi)部土層子結(jié)構(gòu)模型的土-結(jié)構(gòu)界面節(jié)點(diǎn)施加了自由場變形，相應(yīng)的位移邊界條件與計(jì)算巖土地基變形引起的荷載fE時(shí)，挖除結(jié)構(gòu)的自由場土層模型的土-結(jié)構(gòu)界面邊界條件一致，因此兩者的計(jì)算可進(jìn)行合并處理，即直接建立如圖6 所示的由結(jié)構(gòu)周邊土體及內(nèi)部土層子結(jié)構(gòu)構(gòu)成的自由場土層有限元模型，并在全部土層子結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)上施加最不利時(shí)刻的自由場位移向量，同時(shí)對內(nèi)部土層子結(jié)構(gòu)單元施加自由場慣性力，忽略阻尼力的影響，采用靜力學(xué)方法計(jì)算得到土-結(jié)構(gòu)界面處的反力，即為進(jìn)行地下結(jié)構(gòu)擬靜力分析的等效地震荷載，將該方法記為整體式反應(yīng)位移法的改進(jìn)方法一。

圖6 地下結(jié)構(gòu)整體式反應(yīng)位移法的改進(jìn)方法一Fig. 6 The first improved method of the integral response deformation method for underground structure

2.2 改進(jìn)方法二

由于改進(jìn)方法一仍然需要在與土-結(jié)構(gòu)界面相連的一層內(nèi)部土體單元上施加慣性力，使得分析工作中仍需計(jì)算土層自由場慣性力，為此可以對改進(jìn)方法一進(jìn)行簡化。

1)求解自由場地震反應(yīng)：采用等效線性化分析軟件或自編程序，完成地震波豎直輸入下的土層場地地震反應(yīng)分析，可同時(shí)獲得土層模型中相應(yīng)于結(jié)構(gòu)位置處最不利時(shí)刻的自由場位移和加速度；

2)求解等效輸入地震荷載：建立僅包含結(jié)構(gòu)周邊土體及土-結(jié)構(gòu)界面內(nèi)側(cè)一層土體單元的自由場土層有限元模型，在土-結(jié)構(gòu)界面節(jié)點(diǎn)及內(nèi)部節(jié)點(diǎn)位置處施加步驟1)中獲得的土層變形，如圖7(a)所示，計(jì)算土-結(jié)構(gòu)交界面上的節(jié)點(diǎn)反力，即為等效輸入地震荷載；

圖7 地下結(jié)構(gòu)整體式反應(yīng)位移法的改進(jìn)方法二Fig. 7 The second improved method of the integral response deformation method for underground structure

3)求解結(jié)構(gòu)慣性力：取步驟1)中得到的對應(yīng)于結(jié)構(gòu)位置處的最不利時(shí)刻自由場土層加速度，以慣性力的形式施加于結(jié)構(gòu)自身；

4)完成整體模型的靜力計(jì)算：建立土-結(jié)構(gòu)相互作用模型，將外邊界固定，施加等效輸入地震荷載和結(jié)構(gòu)自身慣性力，如圖7(b)所示，通過靜力計(jì)算得到地下結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)。

3 方法驗(yàn)證

建立如圖8(a)所示的單層雙跨地下結(jié)構(gòu)-土體相互作用模型。地下結(jié)構(gòu)采用梁單元建模，其截面尺寸如圖8(b)所示，結(jié)構(gòu)跨度LS為10 m，高度HS為5 m，埋深D為10 m。結(jié)構(gòu)材料采用C30混凝土，密度為2500 kg/m3，彈性模量為30 GPa，泊松比為0.15。土體采用四節(jié)點(diǎn)平面應(yīng)變單元建模，單元尺寸為0.5 m×0.5 m，近場有限域的長度L取為80 m，土層厚度H為50 m。土體分為7 層，各層土體參數(shù)由表1 給出。選用圖9 所示的Kobe波、Loma Prieta 波和Northridge 波作為輸入地震動(dòng)，并將入射波的峰值加速度調(diào)幅為0.1g。

圖8 地下結(jié)構(gòu)及土-結(jié)構(gòu)相互作用系統(tǒng)計(jì)算模型Fig. 8 Calculation model of underground structure and soil-structure system

圖9 輸入地震動(dòng)時(shí)程Fig. 9 Time histories of input seismic waves

表1 土層物理性質(zhì)Table 1 Physical properties of soil layers

3.1 不同輸入地震動(dòng)

采用傳統(tǒng)的整體式反應(yīng)位移法、改進(jìn)方法一和改進(jìn)方法二計(jì)算三條地震動(dòng)作用下的等效地震荷載和結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)。對比采用不同方法計(jì)算得到的地下結(jié)構(gòu)側(cè)墻與頂?shù)酌娴钠骄刃У卣鸷奢d、典型截面A、B、C、D 處的彎矩和以中柱頂?shù)撞课灰撇畋硎镜慕Y(jié)構(gòu)變形。以傳統(tǒng)整體式反應(yīng)位移法的結(jié)果為基準(zhǔn)，計(jì)算不同方法的相對誤差，結(jié)果分別如表2 和表3 所示。

表2 不同地震波作用下地下結(jié)構(gòu)的等效地震荷載Table 2 Equivalent seismic loads of underground structure under different seismic waves

計(jì)算結(jié)果顯示，采用考慮內(nèi)部土層子結(jié)構(gòu)慣性力影響的改進(jìn)方法一計(jì)算得到的地下結(jié)構(gòu)不同位置處的等效地震荷載與傳統(tǒng)整體式反應(yīng)位移法的計(jì)算結(jié)果極為接近，最大相對誤差不超過1.33%，利用該地震荷載計(jì)算得到的截面彎矩和結(jié)構(gòu)變形的最大誤差分別為0.17%和0.33%，以上結(jié)果證明了第2.1 節(jié)理論推導(dǎo)的正確性。當(dāng)忽略內(nèi)部土層子結(jié)構(gòu)的慣性力時(shí)，改進(jìn)方法二仍提供了良好的計(jì)算精度，在本文三條地震動(dòng)作用下，該方法計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)側(cè)面平均壓力的相對誤差不超過1.41%，側(cè)面及頂?shù)酌娴钠骄袅φ`差最大不超過1.08%。另外，由于忽略了作用方向通常與自由場變形方向相同的內(nèi)部土層子結(jié)構(gòu)慣性力，改進(jìn)方法二計(jì)算得到的等效地震荷載整體而言略大于傳統(tǒng)整體式反應(yīng)位移法的計(jì)算結(jié)果。由表3 結(jié)果可見，將該等效地震荷載應(yīng)用于地下結(jié)構(gòu)的抗震計(jì)算時(shí)，典型截面彎矩和結(jié)構(gòu)變形的最大相對誤差分別為0.73%和0.68%，計(jì)算結(jié)果在保證精度的前提下略為保守。將該方法應(yīng)用于抗震設(shè)計(jì)時(shí)，可使地下結(jié)構(gòu)更為安全，從而驗(yàn)證了改進(jìn)方法二的合理性和良好的適用性。

表3 不同地震波作用下地下結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)計(jì)算結(jié)果Table 3 Seismic responses of underground structure under different seismic waves

3.2 不同結(jié)構(gòu)埋深

由于地下結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)與結(jié)構(gòu)的埋深、土體的動(dòng)力特性及結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能密切相關(guān)，為驗(yàn)證不同情況下本文改進(jìn)方法的計(jì)算精度，以Loma Prieta 波輸入情況為例，將結(jié)構(gòu)頂部埋深D分別取為2 m、5 m、10 m 和15 m，保持其它模型與材料參數(shù)不變，采用傳統(tǒng)的整體式反應(yīng)位移法、本文改進(jìn)方法一和改進(jìn)方法二進(jìn)行計(jì)算。對比不同方法計(jì)算得到的地下結(jié)構(gòu)典型截面處的彎矩和結(jié)構(gòu)變形，并以傳統(tǒng)整體式反應(yīng)位移法的結(jié)果為基準(zhǔn)，計(jì)算不同方法的相對誤差，結(jié)果由表4 給出。

表4 不同埋深情況下地下結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)計(jì)算結(jié)果Table 4 Seismic responses of the underground structure under different burial depths

整體而言，隨著結(jié)構(gòu)埋深的增加，不同方法的計(jì)算誤差均逐漸減小。其中，采用考慮內(nèi)部土層子結(jié)構(gòu)慣性力影響的改進(jìn)方法一計(jì)算得到的地下結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)與傳統(tǒng)整體式反應(yīng)位移法的計(jì)算結(jié)果最為接近，在不同埋深情況下截面彎矩的最大相對誤差均不超過0.18%，結(jié)構(gòu)變形的相對誤差均為0。忽略內(nèi)部土層子結(jié)構(gòu)的慣性力影響時(shí)，本文改進(jìn)方法二保持了良好的計(jì)算精度，當(dāng)埋深為2 m時(shí)，結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的相對誤差最大不超過3.4%，當(dāng)埋深大于等于5 m 時(shí)，相對誤差最大不超過1.1%。

3.3 不同土層剛度

保持結(jié)構(gòu)埋深為10 m，在表1 給出的土層參數(shù)的基礎(chǔ)上，分別將土體波速整體放縮為原始模型的0.5 倍、1 倍、1.5 倍和2 倍，即將土層剛度放縮為原始模型的0.25 倍、1 倍、2.25 倍和4 倍，采用Loma Prieta 波作為輸入地震動(dòng)，對比不同方法計(jì)算得到的地下結(jié)構(gòu)典型截面彎矩和結(jié)構(gòu)變形，結(jié)果如表5 所示。

表5 不同土層波速情況下地下結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)計(jì)算結(jié)果Table 5 Seismic responses of the underground structure under different soil wave velocities

由計(jì)算結(jié)果可見，對于不同的土體剛度，本文兩種改進(jìn)方法仍能保持較高的計(jì)算精度。其中，考慮內(nèi)部土體子結(jié)構(gòu)的慣性力時(shí)，改進(jìn)方法一計(jì)算得到的截面彎矩的最大相對誤差不超過0.47%，結(jié)構(gòu)變形的相對誤差均為0；忽略內(nèi)部土體子結(jié)構(gòu)慣性力時(shí)，改進(jìn)方法二在不同土體剛度條件下計(jì)算得到的截面彎矩和結(jié)構(gòu)變形的相對誤差最大分別不超過0.74%和1.20%。此外，對于不同的計(jì)算方法，隨著土體剛度的增大，結(jié)構(gòu)變形和內(nèi)力均呈減小趨勢，相對于傳統(tǒng)整體式反應(yīng)位移法的計(jì)算誤差也逐漸減小。

3.4 不同結(jié)構(gòu)剛度

保持其他模型與材料參數(shù)不變，分別將結(jié)構(gòu)剛度放縮為原始模型的0.5 倍、1 倍、1.5 倍和2 倍，采用Loma Prieta 波作為輸入地震動(dòng)，對比不同方法計(jì)算得到的地下結(jié)構(gòu)典型截面彎矩和結(jié)構(gòu)變形，結(jié)果如表6 所示。

由表6 結(jié)果可見，在不同結(jié)構(gòu)剛度的條件下，本文改進(jìn)方法一和改進(jìn)方法二在計(jì)算結(jié)構(gòu)內(nèi)力及變形時(shí)均具有良好的計(jì)算精度，與傳統(tǒng)整體式反應(yīng)位移法相比，最大計(jì)算誤差分別不超過0.41%和0.80%。其中，改進(jìn)方法二的計(jì)算結(jié)果在不同情況下均略大于整體式反應(yīng)位移法，將其應(yīng)用于地下結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)時(shí)，可使結(jié)構(gòu)偏于安全。此外，隨著結(jié)構(gòu)剛度的增大，各典型截面處的內(nèi)力均逐漸增大，結(jié)構(gòu)變形逐漸減小，不同方法的計(jì)算誤差則基本不隨結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生變化。

表6 不同結(jié)構(gòu)剛度情況下地下結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)計(jì)算結(jié)果Table 6 Seismic responses of the underground structure under different structure stiffness

4 結(jié)論

本文基于整體式反應(yīng)位移法的基本原理和有限元理論，提出了兩種整體式反應(yīng)位移法的改進(jìn)方法。通過理論推導(dǎo)和算例分析，得到以下結(jié)論：

(1)基于有限元離散模型，從理論上證明了整體式反應(yīng)位移法中由結(jié)構(gòu)周邊應(yīng)力引起的等效地震荷載可通過僅由一層土體單元構(gòu)成的內(nèi)部子結(jié)構(gòu)模型的一次靜力分析獲得，由此提出了一種基于土體內(nèi)部子結(jié)構(gòu)的地下結(jié)構(gòu)整體式反應(yīng)位移法，即改進(jìn)方法一。

(2)進(jìn)一步論證了改進(jìn)方法一中內(nèi)部土體子結(jié)構(gòu)的慣性力對等效地震荷載的影響可以忽略，在此基礎(chǔ)上提出地下結(jié)構(gòu)整體式反應(yīng)位移法的改進(jìn)方法二。改進(jìn)方法二在保證計(jì)算精度的前提下，避免了土層介質(zhì)自由場慣性力的計(jì)算與施加，從而有效簡化了整體式反應(yīng)位移法的實(shí)施流程。

(3)通過與傳統(tǒng)整體式反應(yīng)位移法的數(shù)值對比分析，驗(yàn)證了本文兩種改進(jìn)方法計(jì)算得到的等效地震荷載和結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)具有良好的計(jì)算精度。

(4)由于改進(jìn)方法二的計(jì)算結(jié)果在保證精度的前提下偏于安全，且實(shí)施流程更為簡單便捷，更適用于地鐵車站、地下隧道等地下結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析與抗震性能研究。