數(shù)形結(jié)合：一種常用的解題技巧
——由一組不等式組例題的教學(xué)引發(fā)的思考

駱建華

(江蘇省如皋市白蒲鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)，江蘇南通，226511)

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)解題中常用的數(shù)學(xué)思想，“數(shù)”抽象而形式化，“形”具體而形象化，它們?cè)跀?shù)學(xué)解題中相互作用互為補(bǔ)充.現(xiàn)結(jié)合一組不等式組考題的解答及教學(xué)談?wù)劰P者的做法，以期提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)問題的能力．

1 一道例題及網(wǎng)絡(luò)解法分析

1.1 例題呈現(xiàn)

1.2 網(wǎng)絡(luò)解法分析

由x-a≥0得x≥a，由5-2x>1得x<2．∵不等式組只有四個(gè)整數(shù)解，∴其整數(shù)解為-2，-1，0，1，∴-3

網(wǎng)絡(luò)解法分三步：第一步，解兩個(gè)不等式；第二步，結(jié)合整數(shù)解的個(gè)數(shù)確定具體解；第三步，給出結(jié)論．網(wǎng)絡(luò)解法為教學(xué)提供了可以參照的解題過程，但缺少了探索具體解題路徑的思維過程，因此將網(wǎng)絡(luò)解法直接運(yùn)用于教學(xué)是不妥的.

2 題組教學(xué)及簡(jiǎn)析

2.1 題組教學(xué)片斷

教師投影例題，請(qǐng)學(xué)生讀題．

教師：題目要我們求什么？

學(xué)生1：求字母a的取值范圍．

教師：那怎么解決這個(gè)問題呢？

(學(xué)生先在小組中探索解法)

學(xué)生2：既然是根據(jù)解的情況來求a的取值范圍，那就一定與題中兩個(gè)不等式的解集有關(guān)，我們應(yīng)把這兩個(gè)不等式先解出來．

教師：為什么？

學(xué)生3：不等式組的解在組成不等式組的不等式解集的公共部分．

(學(xué)生活動(dòng)：自主解答，3分鐘后，全班交流)

教師：說說具體解法.

學(xué)生4：我們先求出兩個(gè)不等式的解集為x≥a，x<2．把x<2先在數(shù)軸表示在圖1中，再把a(bǔ)落在2的左邊．

圖1

教師：怎么不可以落在2的右邊或2上？

學(xué)生5：不等式組有四個(gè)整數(shù)解，所以不等式組是有解的，而標(biāo)在2的右邊或2上，不等式組就無解了.

教師：好的！那接下來呢？

學(xué)生6：由于只有四個(gè)整數(shù)，所以在解集a≤x<2中，只能包含四個(gè)整數(shù)1，0，-1，-2，所以a應(yīng)介于-2，-3之間(可以等于-2)，所以，-3

教師：a為什么不可以等于-3呢？

學(xué)生7：a取-3的話，就有-3，-2，-1，0，1五個(gè)整數(shù)解了．

教師：a可以不取-2嗎？

學(xué)生8：不行！這樣會(huì)漏了一種符合題目要求的情形的．

教師：好的！一起來小結(jié)一下．

學(xué)生9：解答此類問題要用好數(shù)形結(jié)合思想，要用好數(shù)軸這個(gè)工具．

學(xué)生10：在用數(shù)軸前，不管三七二十一，先把不等式的解集逐一求出來．

學(xué)生11：對(duì)！求好解集后再去把能確定的解集在數(shù)軸上先表示出來，然后根據(jù)給的解或解集的情況去確定另一個(gè)解集的表示方法，進(jìn)而得到字母或含字母的式子的取值范圍．

教師：你們總結(jié)得都很棒！希望大家在解決這類問題時(shí)，把數(shù)軸用好，讓數(shù)形結(jié)合的價(jià)值充分發(fā)揮出來．

2.2 過程簡(jiǎn)析

關(guān)于不等式組的解或解集的問題，一直是考試的熱點(diǎn)和學(xué)生解題的難點(diǎn)．其實(shí)，問題之所以難解，主要還是方法欠缺，沒有解題抓手．而上面的講評(píng)就是給予學(xué)生解題方法和解題抓手的過程．從最后的總結(jié)看，教師的預(yù)期已經(jīng)達(dá)到，學(xué)生通過反復(fù)思考與交流發(fā)現(xiàn)數(shù)軸是解決此類問題極好的工具，而數(shù)形結(jié)合則是解題的根本方法．為了引出數(shù)軸，教師先讓學(xué)生自己審題思考，在首次交流中明確了題目的條件和所求，步步追問引導(dǎo)學(xué)生回憶出“確定不等式組的解集時(shí)，可借助于數(shù)軸來確定兩解集的公共部分”，進(jìn)而提出用數(shù)軸來解決問題的思路.在自主解答后，學(xué)生呈現(xiàn)了完整的分析和求解過程，給所有同學(xué)以示范.最后的小結(jié)提升，學(xué)生不僅用好了解題工具，明確了求解步驟，總結(jié)了解題方法，甚至還有了利用數(shù)形結(jié)合思想解答題目的意識(shí)．

3 教學(xué)感悟

3.1 重視發(fā)揮數(shù)軸的工具價(jià)值

對(duì)數(shù)軸的認(rèn)知，學(xué)生在小學(xué)就有所接觸，只不過當(dāng)時(shí)并未明確概念而已．到了初中后，為了彰顯數(shù)形結(jié)合的學(xué)段價(jià)值，人教版教材在七年級(jí)新授課第4課時(shí)便安排了數(shù)軸教學(xué)，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)和點(diǎn)之間還可以存在這樣一種關(guān)系．而隨著平面直角坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)，兩根數(shù)軸就撐起了一個(gè)平面，構(gòu)建了更大空間內(nèi)的數(shù)形對(duì)應(yīng)關(guān)系．顯然，數(shù)形結(jié)合的重要工具就是數(shù)軸，因而，數(shù)學(xué)教學(xué)中我們務(wù)必要高度重視數(shù)軸的工具價(jià)值挖掘，只要可以借助數(shù)軸解決的問題就一定要抓住機(jī)遇，讓學(xué)生體會(huì)基于數(shù)軸的數(shù)形結(jié)合，體會(huì)到數(shù)軸在問題解決的價(jià)值所在，形成用數(shù)軸解決問題的自覺意識(shí).以不等式組的解集確定為例，背口訣來確定固然是一種方法，但借助數(shù)軸確定對(duì)學(xué)生的發(fā)展促進(jìn)是全方位的，是符合教材的編寫意圖和學(xué)生發(fā)展的現(xiàn)實(shí)需要．

3.2 重視數(shù)形對(duì)接的細(xì)節(jié)辨析

在數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)中，數(shù)形結(jié)合緊密與否要看數(shù)形對(duì)接時(shí)細(xì)節(jié)的處置，處理得好，兩者無縫結(jié)合，可形成完善的思路和成果，處理得不好，就會(huì)產(chǎn)生“裂縫”，形成偏離實(shí)際的結(jié)果和思路．所以，數(shù)形結(jié)合教學(xué)要特別重視數(shù)、形對(duì)接時(shí)細(xì)節(jié)的辨析．以本文中的例題為例，要先根據(jù)有四個(gè)整數(shù)解推出不等式組是有解，接下來，就是數(shù)形對(duì)接.此時(shí)，就要反復(fù)推敲x≥a中的a與2的位置關(guān)系了.有整數(shù)解，就一定有解，自然a應(yīng)落在2的左邊了.隨之是對(duì)“只有四個(gè)整數(shù)解”的數(shù)形確認(rèn)，這四個(gè)整數(shù)應(yīng)是a≤x<2的解，比2小且最靠近2的4個(gè)整數(shù)是1，0，-1，-2．這時(shí)，就到了推敲a與-2，-3的位置關(guān)系了．借助數(shù)軸，畫圖推演“等于-2行不行”，“比-2小行不行”，“比-3小行不行”，“等于-3行不行”等諸多的問題，當(dāng)通過細(xì)節(jié)的逐一辨析確定下a的位置后，本題的結(jié)果也就出來了．顯然，數(shù)形結(jié)合的細(xì)節(jié)辨析對(duì)思路的形成和結(jié)果的得出影響巨大，教學(xué)中要予以高度重視．

3.3 重視網(wǎng)絡(luò)資源的教學(xué)開發(fā)

現(xiàn)如今，大量的教學(xué)資源充斥在網(wǎng)絡(luò)空間，只要你能想到的教學(xué)資源，網(wǎng)上幾乎都有.于是乎，拿來主義盛行于當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)中，不少老師直接從網(wǎng)上把資源下載下來，投放到自己的教學(xué)之中．殊不知，網(wǎng)絡(luò)資源未必接地氣，未必能適用于你所教的班級(jí)，如果不加工地直接應(yīng)用，有時(shí)會(huì)適得其反，不利于學(xué)生形成規(guī)范的數(shù)學(xué)思維．以本文中的例題為例，網(wǎng)上給出的解法對(duì)數(shù)軸只字未提，只是按部就班地給出了推理過程，而這個(gè)推理過程中，怎樣由“只有四個(gè)整數(shù)解”去確定a的取值范圍并未有詳細(xì)的過程．如果教學(xué)時(shí)，把由解或解集的情況直接得到a的范圍的過程拋給學(xué)生，他們是不可能獲得如本文中的這種數(shù)形結(jié)合的解題策略的．今后，想要他們獨(dú)自化解遇到的同類問題幾乎是不太可能的．所以，筆者從網(wǎng)上獲取到了例題及其解法后，首先進(jìn)行了教學(xué)開發(fā)，利用教材給出的工具對(duì)網(wǎng)絡(luò)解法進(jìn)行補(bǔ)充，將例題探究的思路納入到數(shù)形結(jié)合的軌道中來，為今后相同問題的解答提供了可以借鑒的便捷通道．