考試命題視角下的試題探究
——以空間中距離之和最小值問題為例

劉祥云，黃小燕

(江蘇省興化中學(xué)，江蘇泰州，225700)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開試題的訓(xùn)練，但純粹的刷題已無法適應(yīng)新高考要求，數(shù)學(xué)試題探究活動是提升試題效能的一個重要手段.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》在對數(shù)學(xué)高考的考試命題說明中，要求在命題中，需要突出內(nèi)容主線和反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的核心概念、主要結(jié)論、通性通法、數(shù)學(xué)應(yīng)用和實際應(yīng)用.在命題中，應(yīng)特別關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中思維品質(zhì)的形成，關(guān)注學(xué)生會學(xué)數(shù)學(xué)的能力.考試命題的視角主要是從試題的通性通法、高階的數(shù)學(xué)思維、會學(xué)數(shù)學(xué)的能力三個方面來進行試題研究，旨在尋求試題研究的一般方法，引導(dǎo)學(xué)生深入思考試題的本質(zhì)，豐富試題的內(nèi)涵和外延，提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng).

1 試題呈現(xiàn)、代數(shù)試解

圖1

本題是2022年武漢二模試題填空壓軸題最后一問(分值3分)，參考答案是建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解，類似于解法1的求解過程(求導(dǎo)過程省略).空間向量是判斷空間位置關(guān)系、計算空間距離、計算空間角的通性通法，若在考試過程中，試題所處的位置和分值，不適合計算量大的方法求解，若在平時的習(xí)題訓(xùn)練中，空間向量會掩蓋空間想象能力，無法掌握圖形與圖形、圖形與數(shù)量之間關(guān)系的基本方法，更加無法借助圖形性質(zhì)探索數(shù)學(xué)規(guī)律，達不到培養(yǎng)空間想象能力的要求.

2 本質(zhì)探尋、另辟蹊徑

圖2

通過題海搜索，發(fā)現(xiàn)早在2006年，江西的高考(題目2)就已經(jīng)考察過空間中兩距離和的最小值問題.本題的解法可以從代數(shù)和幾何兩個角度來求解，代數(shù)方法就是用空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點P坐標(biāo)，利用距離公式表示出兩線段之和，再用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性求出最小值；幾何方法是利用平面化的思想，將平面A1BC1和平面BCC1平移到同一個平面，在同一平面中利用余弦定理求出CA1的長度.從考試命題的角度看，命題者想要考查的是幾何方法，通過特殊幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進一步考查空間想象能力及平面化的思想.那么對于題目1，命題者是不是也有同樣的意圖呢？能否構(gòu)造出兩個新平面，從平面化的思想入手呢？

圖3

圖4

3 舉一反三、提升思維

通過幾何條件的融合運用，將平面化思想得到有效的遷移，幾何方法的成功解決，降低了立體幾何中距離、角等問題對空間向量的依賴程度，大大減少了計算量.在提高解題效率的同時，加深了對問題本質(zhì)的理解，訓(xùn)練了數(shù)學(xué)思維的收斂性.為了進一步發(fā)展數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性和廣闊性，仔細審視幾何條件，思考探究，又可以得到以下兩種幾何解法.

圖5

圖6

解法3是空間問題中常見的“補形”思想，將不規(guī)則的幾何體通過“割”或者“補”的方式變?yōu)橐?guī)則的幾何體.問題的解決，促進了學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)與數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提升，一題多解，讓學(xué)生掌握了解決相似情境下同類型問題的“高層次思維”，而這些“高層次思維”，使得“數(shù)學(xué)知識塊”不斷被強化，并納入學(xué)生的記憶庫中，成為認知解決的一部分.

4 命題探究，內(nèi)化素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)并不是數(shù)學(xué)問題之間簡單的疊加關(guān)系，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)問題解決過程中，提升數(shù)學(xué)思維，生成高階思維，再次運用數(shù)學(xué)思維解決問題，再不斷提升，再次運用提升的結(jié)果，總而言之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在運用思維與提升思維不斷聯(lián)結(jié)融合的過程.命題探究就是提升核心素養(yǎng)的一種重要方式.每道題可以根據(jù)題根，仔細揣摩命題者的所想所思，思考問題的來龍去脈，認清問題本質(zhì).下面就以題目2為題根，揣摩一下命題者的意圖，旨在提供一個提升素核心養(yǎng)的案例.(見下圖)

改編思路在長方體ABCD-A1B1C1D1中題目條件解題思路分析打磨原因?qū)㈩}目2中立體圖補充成長方體點P是BC1上動點,求PC+PD1的最小值最小值為CD1的長度題根模型將表面上的直線BC1換成空中間直線B1D點P是B1D上動點,求PC+PD1的最小值最小值為CD1的長度盡管點P由表面上的點變?yōu)榭臻g中點,但是解題思維不變,計算難度下降將到兩個定點距離換成一動一定F是AD1中點,P,E分別是B1D和A1B1上動點,求PE+PF的最小值E'為E關(guān)于直線BD的對稱點,最小值為E'F的長度E,F變?yōu)橐粍右稽c,增加思維難度,可保留對稱思維,將E,F點朝兩個動點變化的思路將一動一定換成兩個動點上下底面是正方形,P是B1D上動點,E是A1B1上動點,F是動平面ADD1A1上動點,求PE+PF的最小值由于該長方體是關(guān)于平面BDD1B1對稱的,PE=PE'(E'為B1C1上的點),所以最小值為過E'作平面ADD1A1的距離,最小值即為邊B1A1的長E,F點都變?yōu)閯狱c,但本題最小值就是B1A1的長,故將平面ADD1A1換成一個斜平面將表面ADD1A1換成空間平面MND1A1上下底面是正方形,M,N分別是AB,CD的中點,Q是B1D與平面MND1A1的交點Q,P是B1Q上動點,E是A1B1上動點,F是動平面MND1A1上動點,求PE+PF的最小值由于該長方體是關(guān)于平面BDD1B1對稱的,PE=PE'(E'為B1C1上的點),所以過E'作平行于ABB1A1的平面,與平面MND1A1相交于GH,過點E'作GH的垂線,垂足為F,最小值即為邊E'F的長點P在QB上運動,條件不夠簡潔,可以將長方體截取部分,形成新的幾何體,提煉條件,最終形成題目1