“由內(nèi)而外”理論下教師角色的改變
——以多邊形的外角和為例

林建華

(福建省長樂第二中學(xué)，福建福州，350200)

一線教學(xué)中往往存在這樣的現(xiàn)象，教師在教學(xué)中傳授不少解題技巧，而且認(rèn)為自己教得越細(xì)致，學(xué)生訓(xùn)練得越多，越有助于形成教學(xué)成果；與此同時，學(xué)生花大量時間做大量配套訓(xùn)練，遇到新題型卻常出現(xiàn)“其實知道，只是當(dāng)時沒想到”的卡殼情況，原因在于學(xué)生沒有形成有效的決策機(jī)制，只是模式化地進(jìn)行知識性的學(xué)習(xí).從某種程度上說，這樣的教學(xué)方式制約了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，也與當(dāng)下的教育教學(xué)環(huán)境嚴(yán)重不適應(yīng).教師應(yīng)該積極轉(zhuǎn)變角色，不再將學(xué)生按照預(yù)設(shè)的模樣去雕琢，而是要致力于營造學(xué)生成長的學(xué)習(xí)氛圍，提供有營養(yǎng)的學(xué)習(xí)素材，幫助學(xué)生自我建設(shè)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維、提升數(shù)學(xué)能力、培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).筆者以探究多邊形的外角和為例，探索教師角色的轉(zhuǎn)變.

1 教學(xué)理論依據(jù)

在解釋“學(xué)習(xí)”的神經(jīng)生理機(jī)制時，傳統(tǒng)的白板理論認(rèn)為大腦的復(fù)雜性是由外而內(nèi)隨著經(jīng)驗的增加而增加.在白板理論中，教師的角色是“木匠”.而大腦意識機(jī)制的最新研究成果提出了由內(nèi)而外的理論.經(jīng)驗并不是大腦復(fù)雜性的主要緣由.相反地，學(xué)習(xí)是大腦通過自組裝，將預(yù)先存在的神經(jīng)元軌跡與外部事件相匹配而發(fā)生[1].該理論認(rèn)為：“感知是一種主動行為而非被動接受，學(xué)習(xí)也不再主要依賴于經(jīng)驗的積累，而是大腦活動與外部世界相匹配的過程.[1]”“由內(nèi)而外”的大腦意識機(jī)制與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡稱2022年版標(biāo)準(zhǔn))提出的“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者”[2]的課程理念高度契合，教師的角色不再是“木匠”而是“園丁”.

2 教材內(nèi)容解讀

人教版數(shù)學(xué)教材八年級上冊第十一章《三角形》先從小學(xué)生已有的認(rèn)識三角形內(nèi)角和為180°開始，通過平行線的性質(zhì)與平角的定義推導(dǎo)出三角形的內(nèi)角和定理，并且得出推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和.然后再由特殊推廣到一般，探索并證明了多邊形的內(nèi)角和公式.最后在章末通過一道例題研究六邊形的外角和：利用相鄰內(nèi)外角互補(bǔ)的關(guān)系推導(dǎo)出六邊形的內(nèi)角和為360°，接著提出：能否將這一結(jié)論推廣至所有多邊形.再給出這樣的解釋：從多邊形的一個頂點(diǎn)A出發(fā)(如圖1)，沿多邊形的各邊走過各頂點(diǎn)，再回到點(diǎn)A，然后轉(zhuǎn)向出發(fā)時的方向.在行程中所轉(zhuǎn)的各個角的和等于一個周角，所以多邊形的外角和等于360°.

圖1

數(shù)學(xué)大師陳省身曾指出，對于多邊形不應(yīng)只看內(nèi)角，還應(yīng)該看外角.多邊形的內(nèi)角和隨著多邊形的邊數(shù)的變化而變化.而任意多邊形的外角和卻始終是360°，與多邊形的邊數(shù)無關(guān)，這才是多邊形的本質(zhì)屬性.那么應(yīng)如何處理多邊形的外角和這部分教學(xué)內(nèi)容呢？不少教師是安排在多邊形的內(nèi)角和這一課時，用幾個問題快速帶出結(jié)論，這樣的教學(xué)處理是認(rèn)為多邊形的外角和為360°簡單易掌握，好記好用并且相關(guān)考點(diǎn)的試題易得分，不必要更不值得花時間深究.其實這樣的處理忽視了多邊形外角和的教學(xué)價值.筆者認(rèn)為教師應(yīng)根據(jù)學(xué)情，專門安排一至兩課時來組織多邊形外角和的探索活動.

3 教學(xué)活動的實施

3.1 創(chuàng)設(shè)情境

【角度史話】角度概念來自美索不達(dá)米亞的巴比倫文明.眾所周知，兩河流域誕生了人類諸多文化遺產(chǎn)，角度就是其中之一.巴比倫人擅長天文學(xué)，他們制定角度的靈感，就來源于長期的天文觀測.巴比倫人發(fā)現(xiàn)：從春分日到秋分日，太陽劃過半個周形成的軌跡，恰好等于180個太陽的直徑，受此啟發(fā)，他們定義圓周角為360度，平角為180度.1度就是一個太陽直徑形成的角的度數(shù)，角度的符號“°”，最早就是代表太陽.

設(shè)計意圖：2022年版標(biāo)準(zhǔn)提出：“抽象能力包括數(shù)感、量感、符號意識.[2]”角度史話呈現(xiàn)出古人對角度概念的定義過程，學(xué)生可以在如何用數(shù)學(xué)的眼光觀察一類事物、定義一個幾何對象要完成那些事情(背景——定義——表示——分類)、如何確定分類標(biāo)準(zhǔn)[3]等方面獲得營養(yǎng)，同時為學(xué)生研究多邊形的外角和，將各個外角集中成一個整體周角以及圓出于方做了預(yù)設(shè).

3.2 探究新知

初步感知

【問題1】在本單元我們已探究發(fā)現(xiàn)了三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角和以及多邊形的內(nèi)角和公式后，我們繼續(xù)探索多邊形的角的世界，對于多邊形，還有什么元素可以研究呢？

設(shè)計意圖：作為教學(xué)的組織者，教師應(yīng)積極創(chuàng)設(shè)和諧自然的數(shù)學(xué)語言環(huán)境，搭建數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的研究平臺，注重開放性提問方式的使用.村鎮(zhèn)學(xué)校的學(xué)生家庭語言環(huán)境偏于簡單，學(xué)生數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力明顯單薄，特別需要教師足夠耐心和守候，需要教師給學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的空間.筆者自起始年級就開始注重引導(dǎo)學(xué)生、鼓勵多形式的合作交流，以激發(fā)學(xué)生回答問題的熱情.因此在這個環(huán)節(jié)，學(xué)生思考的角度很多，發(fā)散性思維活躍、課堂討論比較充分，達(dá)到了正向反饋.茲選取有代表性的學(xué)生回答如下：

學(xué)生甲：還有外角；

學(xué)生乙：可是多邊形的外角沒有規(guī)律，內(nèi)角有大有小，外角也有大有小；

學(xué)生丙：可是多邊形的內(nèi)角和有規(guī)律啊，三角形的內(nèi)角和為180°，四邊形的內(nèi)角和為360°，那可能多邊形的外角和也會增加；

學(xué)生?。何抑懒?，多邊形的外角和為360°，比如等邊三角形的內(nèi)角都為60°，外角都為120°，三個外角和為360°，正方形的每個內(nèi)角都為90°，四個外角和也是360°，我相信，多邊形的外角和就是360°；

學(xué)生丙：丁的例子特殊；

學(xué)生?。禾厥獾睦右彩抢樱葲]有舉例好.

3.3 操作發(fā)現(xiàn)

【問題2】那么用什么方法找反例？

學(xué)生：可以用量角器畫圖，再測量角度計算.

【學(xué)生操作】這里我們一起來使用幾何畫板測量并計算多邊形的外角和.

讓學(xué)生按照一定的操作流程選取邊數(shù)不同的多邊形，使用軟件測量并計算多邊形的外角和.讓所有學(xué)生形成強(qiáng)烈的共識：多邊形的外角和無論邊數(shù)如何變化，外角和的大小始終不變，是定值360°.

設(shè)計意圖：2022年版標(biāo)準(zhǔn)提出：“創(chuàng)設(shè)合理的信息化學(xué)習(xí)環(huán)境，提升學(xué)生的探究熱情[2].”幾何畫板是高效的數(shù)學(xué)研究工具，這一信息技術(shù)工具的應(yīng)用提升了課堂觀測效率，讓學(xué)生在更具普遍性的例子中歸納、發(fā)現(xiàn)多邊形的外角和定理.同時，學(xué)生在觀察、探究過程中形成良好的學(xué)習(xí)交流氛圍，獲得必要的數(shù)學(xué)體驗.

3.4 嚴(yán)謹(jǐn)證明

【問題3】我們利用幾何畫板軟件發(fā)現(xiàn)了多邊形的外角和是360°，你還有什么想對自己說的嗎？

學(xué)生表達(dá)各自觀點(diǎn)，有學(xué)生提出我們要證明.

設(shè)計意圖：學(xué)生在本節(jié)之前對角有一定的推理計算能力，本環(huán)節(jié)設(shè)計的核心依然是教師搭建課堂學(xué)生共學(xué)共研的平臺，不明示、不塑造，做一位傾聽者、與學(xué)生一起成長的陪伴者，讓學(xué)生作為課堂教學(xué)活動的主體.在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步鼓勵學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，進(jìn)行數(shù)學(xué)推理；學(xué)生在聆聽同齡人的觀點(diǎn)時，產(chǎn)生自己的理解，激蕩出思維的火花.

筆者所任教的氣質(zhì)、稟賦不同的兩班村鎮(zhèn)學(xué)生以及借班上課的城區(qū)優(yōu)質(zhì)學(xué)校的學(xué)生在這一環(huán)節(jié)亮點(diǎn)頻現(xiàn)，下文是這三個班級相當(dāng)精彩的證明思路(實際課堂學(xué)生表達(dá)的內(nèi)容完整度和先后順序并不相同，他們的典型轉(zhuǎn)化有借助平行線的性質(zhì)和周角定義推理或利用相鄰內(nèi)外角互補(bǔ)來計算三角形的外角和，再類推到多邊形的外角和，或者直接研究多邊形，從構(gòu)型或從代數(shù)計算切入證明多邊形的外角和為360°).

如圖2，利用相鄰的內(nèi)外角互為補(bǔ)角列關(guān)系式，由∠1+∠BAC=180°，∠2+∠ABC=180°，∠3+∠ACB=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，得∠1+∠2+∠3=3×180°-180°=360°.

圖2

或利用三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角列關(guān)系式，由∠1=∠ABC+∠ACB，∠2=∠BAC+∠ACB，∠3=∠BAC+∠ABC，得∠1+∠2+∠3=2×180°=360°.

如圖3，過點(diǎn)A作AD∥BC，則∠3=∠4，∠2=∠5，所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠4+∠5，即三角形的外角和為一個周角360°.

圖3

實際上，只要通過平移將三角形分散的三個外角頂點(diǎn)集中，就能證明三角形的外角和為一個周角.集中的頂點(diǎn)位置不限，可以在三角形內(nèi)(如圖4)，也可以在三角形外(如圖5).

圖4

圖5

過程和方法推廣到n邊形.

圖6

方法一：如圖，將多邊形的各個外角通過平移集中到一個點(diǎn)周圍，易得多邊形的外角和為360°.

方法二：N邊形的外角和=n對相鄰的內(nèi)外角和-n邊形的內(nèi)角和=n·180°-(n-2)·180°=360°.

3.5 課堂延伸：圓出于方

通過幾何畫板的迭代功能制作正多邊形.演示邊數(shù)增加下的動態(tài)變化(如圖7)，中國古書《周髀算經(jīng)》早已揭示圓出于方.

圖7

設(shè)計意圖：此素材為本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的延伸，根據(jù)學(xué)情靈活選用.借助幾何畫板的動態(tài)演示，讓學(xué)生充分感知正多邊形隨著邊數(shù)的增加無限趨近于圓，自然發(fā)現(xiàn)方與圓的聯(lián)系.根據(jù)平角定義和三角形的內(nèi)角和可得正多邊形的一個外角大小恰為一個圓心角的度數(shù)，從而再次解釋正多邊形的外角和為360°.希爾伯特曾說，數(shù)學(xué)之道在于找出一個這樣的特例，它包含普遍原則的全部萌芽.多邊形外角和定理的特例是正多邊形，正多邊形與圓的關(guān)系滲透類比與極限思想，曲化直的微分內(nèi)涵.

3.6 總結(jié)提升

教師問：回顧整節(jié)課，你的收獲是什么？

設(shè)計意圖：最后回顧反思環(huán)節(jié)往往也是學(xué)生沉淀升華的重要環(huán)節(jié)，學(xué)生在課堂上充分參與，精神愉悅.通過回顧環(huán)節(jié)用自己的語言組織表達(dá)自己的所思所想，強(qiáng)化教學(xué)內(nèi)容的核心落點(diǎn).在課后，有學(xué)生圍著筆者要繼續(xù)操作使用幾何畫板軟件進(jìn)行觀察、驗證，有學(xué)生則繼續(xù)討論相關(guān)證法.

4 結(jié) 語

縱觀整個探究多邊形外角和的教學(xué)實施過程，筆者借鑒“由內(nèi)而外”的大腦意識機(jī)制的理論，并沒有把教學(xué)環(huán)節(jié)的重心放在教授知識上，而是以組織者、引導(dǎo)者、合作者的身份力求為學(xué)生營造有助于激發(fā)學(xué)生思維活躍度、參與度的課堂氛圍，讓他們做課堂活動的主人，觀察、思考、表達(dá)，使他們內(nèi)在的思維活動與教學(xué)內(nèi)容互相匹配，在交流互動中實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).當(dāng)下，在實際教學(xué)中，教師或多或少存在教學(xué)焦慮，習(xí)慣于將眼光聚焦在解題技巧、解題策略上，忽視學(xué)生內(nèi)生性數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的挖掘、培養(yǎng).如何在教學(xué)效率、效果、效益三方面追求優(yōu)化與平衡，我們還是應(yīng)該積極轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，將教師的角色從塑造者轉(zhuǎn)變?yōu)楹献髡撸尭嗟膶W(xué)生產(chǎn)生良好的心流體驗，激發(fā)潛能.