指向數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)與關(guān)鍵能力的情境教學(xué)探究
——以“導(dǎo)數(shù)在可樂的外形設(shè)計(jì)中的應(yīng)用”為例

張振超

(南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)，江蘇蘇州，215122)

1 情境教學(xué)中的學(xué)科素養(yǎng)與關(guān)鍵能力

高考評(píng)價(jià)體系是“一體兩面”的綜合體系.首先，它是評(píng)價(jià)考生素質(zhì)的理論體系，以“四層”為考察內(nèi)容，評(píng)價(jià)考生素質(zhì)內(nèi)涵.在“四層”中，學(xué)科素養(yǎng)是指進(jìn)入高等學(xué)校的學(xué)習(xí)者在面對(duì)生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索問題情境時(shí)，能夠在正確的思想評(píng)價(jià)觀念指導(dǎo)下，合理運(yùn)用科學(xué)的思維方法，運(yùn)用學(xué)科相關(guān)能力，有效整合學(xué)科相關(guān)知識(shí)，高質(zhì)量地認(rèn)識(shí)問題、分析問題、解決問題的綜合品質(zhì).關(guān)鍵能力是指進(jìn)入高等學(xué)校的學(xué)習(xí)者在面對(duì)與學(xué)科相關(guān)的生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索問題情境時(shí)，高質(zhì)量地認(rèn)識(shí)問題、分析問題、解決問題所必須具備的能力.[1]

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說明》中指出，基于情境或情境活動(dòng)的命題要求，結(jié)合考查要求、考查載體及考查內(nèi)容，將情境活動(dòng)分為四大類：基于基本層面要求學(xué)生可利用單一知識(shí)或技能解決的情境活動(dòng)；基于綜合層面要求學(xué)生可利用多種知識(shí)與技能解決的情境活動(dòng)；基于生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索問題情境要求學(xué)生可運(yùn)用多種知識(shí)與技能來解決生活實(shí)踐中的應(yīng)用性問題；基于開放性的生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探究問題情境要求學(xué)生創(chuàng)造性地解決問題，形成創(chuàng)造性的結(jié)果或結(jié)論.[2]

2 教學(xué)中的問題情境與學(xué)科素養(yǎng)及關(guān)鍵能力對(duì)應(yīng)關(guān)系

情境教學(xué)中，首先設(shè)計(jì)好一連串的情境，附帶層層深入的問題串.利用各個(gè)情境之間的縱向與橫向延伸和遞進(jìn)，串聯(lián)知識(shí)的同時(shí)，把學(xué)科素養(yǎng)與關(guān)鍵能力也進(jìn)行考查與考驗(yàn).

通過閱讀滿足數(shù)學(xué)對(duì)象的必要因素和必要形式的生活或?qū)嵺`情境提煉數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，將情境“數(shù)學(xué)化”[3]，最后利用學(xué)生的認(rèn)知能力與數(shù)學(xué)綜合知識(shí)解決實(shí)際問題.

表1 問題情境與學(xué)科素養(yǎng)及關(guān)鍵能力[1]對(duì)應(yīng)關(guān)系

3 情境教學(xué)實(shí)例——導(dǎo)數(shù)在可樂的外形設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

情境一

圖1 A種200 mL每灌2元

圖2 B種330 mL每灌2.5元

問題提出：以上A、B兩種可樂，單位毫升哪一種更貴一點(diǎn)呢？

模型建立：該問題可提煉為單位容量飲料的價(jià)格比較.

問題結(jié)論：包裝小的A種可樂單位毫升更貴一些.

問題提出：能否用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋一下？飲料瓶越大，商家利潤(rùn)就越大嗎？

下面通過例1來尋求問題的答案.

例1(選自人教A版選擇性必修第二冊(cè)例題)

某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料.瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(單位：cm)是瓶子的半徑.已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大的半徑為6 cm.試討論瓶子半徑多大時(shí)，該制造商的利潤(rùn)最大？

解答設(shè)利潤(rùn)為f(r)，則由題意可知，

所以

f′(r)=0.8π(r2-2r).

令f′(r)=0，解得r=2.

通過表格列出函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系：

表2

結(jié)論： 可樂的利潤(rùn)是與材料的大小是有關(guān)的，首先隨著球形瓶裝的半徑的增大而減少，接著隨著半徑的增大而增大.因此，并不是飲料瓶越大，商家利潤(rùn)就越大.

素養(yǎng)與能力：該情境是一個(gè)基礎(chǔ)層面的教學(xué)情境，以學(xué)生愛喝的可樂作為載體引入，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升了學(xué)生的課堂參與度.通過對(duì)可樂的有關(guān)信息捕捉與獲取，利用一連串的問題，引出與利用導(dǎo)數(shù)來研究的可樂利潤(rùn)問題，讓學(xué)生深刻體會(huì)問題的本質(zhì)，利用學(xué)生已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行整合，考查學(xué)生的信息整理、閱讀理解等知識(shí)獲取能力.

情境二

圖4 C種330 mL每灌2.5元

問題提出：如圖3、4，同等價(jià)格、同樣容積的330 mL圓柱形灌裝可樂，哪一種更節(jié)約材料？

圖3 B種330 mL每灌 2.5元

模型建立：近似圓柱體(用圓柱體替代)金屬飲料罐的容積(體積)一定時(shí)，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最省，從而降低成本來增大利潤(rùn)？

圖5

通過表格列出函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系：

表3

問題結(jié)論：在圓柱體金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高是底面半徑的2倍時(shí)，才能使所用的材料最省.

素養(yǎng)與能力：該問題情境是一個(gè)基礎(chǔ)層面的情境，利用學(xué)生熟知的圓柱體引入，對(duì)學(xué)生符號(hào)理解、語言解碼、信息轉(zhuǎn)化等關(guān)鍵能力提出要求.難度在于通過信息的獲取與語言信息的轉(zhuǎn)化，利用熟知的綜合知識(shí)及建模等思想方法解決問題.

情境三

問題提出：既然可樂的利潤(rùn)與材料有關(guān)，在材料多少一定的情況下，如何設(shè)計(jì)才能使得體積最大，進(jìn)而使同樣多的材料儲(chǔ)存更多的飲料？

模型建立：近似圓柱體(用圓柱體替代)金屬飲料罐的使用材料(表面積)一定時(shí)，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使體積最大？

那么列表如下：

表4

問題結(jié)論：在圓柱體金屬飲料罐的使用材料(表面積)一定時(shí)，它的高是底面半徑的2倍時(shí)，才能使體積最大，使同樣多的材料儲(chǔ)存更多的飲料，進(jìn)而節(jié)約材料成本，提高利潤(rùn).

素養(yǎng)與能力：該情境是情境二的縱向延伸，知識(shí)層面是導(dǎo)數(shù)及體積的平行遷移，對(duì)現(xiàn)有知識(shí)進(jìn)行重組、整合及對(duì)模型進(jìn)行二次建模與求解，運(yùn)用熟悉的數(shù)學(xué)符號(hào)語言加以表述與運(yùn)算，注重獨(dú)立性與發(fā)散性思維的培養(yǎng).在情境中思考數(shù)學(xué)問題，在問題中反饋必備知識(shí)，在結(jié)論中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想.該情境對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)素養(yǎng)與思維認(rèn)知能力有一定的要求.

情境四

問題提出：在材料多少(表面積)一定的情況下，將飲料瓶設(shè)計(jì)成為熟悉的怎樣的幾何體(柱、錐、臺(tái)、球)，才能使得飲料瓶的容積(體積)最大？

模型建立：金屬飲料罐的使用材料(表面積)一定時(shí)，把它設(shè)計(jì)為圓柱體、球體以及正四棱柱這三類，哪一種幾何體體積最大？

圖6

圖7

圖8

問題解析：

那么列表如下：

表5

問題結(jié)論：以上三種幾何體(球體、圓柱體以及正四棱柱)在表面積一定并且相等時(shí)，分別算出了它們體積的最大值：

對(duì)三個(gè)體積進(jìn)行比較得到(V2)max>(V1)max>(V3)max.因此，金屬飲料罐的使用材料(表面積)一定時(shí)，球體體積最大，其次是圓柱體，最小的是正四棱柱.

素養(yǎng)與能力：此情境是一個(gè)綜合層面的問題情境.根據(jù)該問題情境的需要，需合理組織、調(diào)動(dòng)各種相關(guān)知識(shí)與能力，系統(tǒng)化、多角度、多層面整合加工信息.通過幾何體體積、導(dǎo)數(shù)等必備知識(shí)的運(yùn)算與運(yùn)用，運(yùn)用聯(lián)想、類比、引申、對(duì)比等思維方法，對(duì)批判性思維要求較高.

情境五

問題提出：在飲料瓶總體積一定的情況下，將飲料瓶設(shè)計(jì)成為熟悉的怎樣的幾何體(柱、錐、臺(tái)、球)，才能使得飲料瓶的表面積最??？進(jìn)而節(jié)約材料成本來提高利潤(rùn).

模型建立：金屬飲料罐的體積一定時(shí)，把它設(shè)計(jì)為圓柱體、球體以及正四棱柱這三類，選擇哪一種幾何體才能使得表面積最?。?/p>

問題解析：

那么列表如下：

表6

問題結(jié)論：以上三種幾何體(球體、圓柱體以及正四棱柱)在體積一定并且相等時(shí)，分別算出了它們表面積的最小值：

對(duì)三個(gè)表面積進(jìn)行比較得到(S2)min<(S1)min<(S3)min.因此，金屬飲料罐的體積一定時(shí)，球體表面積最小，其次是圓柱體，最大的是正四棱柱.

素養(yǎng)與能力：此情境同樣是一個(gè)綜合層面的問題情境，是情境四的縱向延伸，知識(shí)層面是導(dǎo)數(shù)及表面積的平行遷移，對(duì)現(xiàn)有知識(shí)進(jìn)行重組、整合及對(duì)模型進(jìn)行二次建模與求解，運(yùn)用聯(lián)想、類比、引申、對(duì)比等思維方法，考查學(xué)生利用綜合知識(shí)與能力的水平，對(duì)批判性、創(chuàng)新性及辯證性思維要求較高.

4 數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)與關(guān)鍵能力導(dǎo)向下的教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)策略

4.1 情境創(chuàng)設(shè)的有效性與必要性

教學(xué)情境可以取自于天文、地理、歷史、文化、藝術(shù)等等，也可以取自于生活中的事件，合理的情境創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生根據(jù)知識(shí)點(diǎn)的來龍去脈準(zhǔn)確把握知識(shí)內(nèi)容.通過精讀情境提取有效信息，進(jìn)行數(shù)學(xué)建構(gòu)，也就是情境的“數(shù)學(xué)化”.教學(xué)情境在新課知識(shí)引入、舊知遷移應(yīng)用、課堂內(nèi)容消化等方面可增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的接受度與承受力. 例如在高中數(shù)學(xué)《數(shù)列》一章中，引入斐波那契數(shù)列、歐拉求和、大臣與國(guó)王在棋盤上放米粒的故事等等，這些情境的創(chuàng)設(shè)減輕了數(shù)學(xué)問題的 “直白與無趣”，增加數(shù)學(xué)趣味性，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性與參與感，幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容. 創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境并非教學(xué)活動(dòng)的內(nèi)在需要[4]，情境一定是為教學(xué)內(nèi)容服務(wù)的，而不是增加教師的教學(xué)負(fù)擔(dān)以及學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，好的情境是學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)習(xí)效果上的高達(dá)成度的催化劑.

4.2 情境創(chuàng)設(shè)的可選擇性與指向性

數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)更像是對(duì)于客觀事件的具體表達(dá)，這種表達(dá)是數(shù)字化的、符號(hào)化的、公式化的、圖形化的，正如史寧中教授說過：“數(shù)學(xué)是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系、空間形式和變化規(guī)律進(jìn)行抽象，通過概念和符號(hào)進(jìn)行邏輯推理的科學(xué).我們要會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.”學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，需要發(fā)展哪些學(xué)科素養(yǎng)，需要培養(yǎng)哪些關(guān)鍵能力，這是情境創(chuàng)設(shè)中首先要明確的.情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)該以激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣為導(dǎo)向，以分解數(shù)學(xué)難點(diǎn)為目的，以培養(yǎng)素養(yǎng)與能力為重心.因此，在情境的選擇上要有指向性，明確情境創(chuàng)設(shè)的意圖.

4.3 情境創(chuàng)設(shè)的多樣性與復(fù)雜性

根據(jù)問題的需要，在創(chuàng)設(shè)情境時(shí)需要對(duì)情境問題進(jìn)行明確，然后根據(jù)問題選擇所需要的情境.可把情境問題分為兩大類，第一類是概念性的情境，此類情境把相對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念放在“情”與“境”中，獲得數(shù)學(xué)概念與感受知識(shí)生成的過程，而不是“填鴨式”的灌輸.第二類是過程性情境，此類情境是在綜合情境下，把比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的、有明確數(shù)據(jù)的、可進(jìn)行數(shù)學(xué)建構(gòu)的問題，再利用數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng)解決數(shù)學(xué)問題.