生活中的“一元一次方程”

劉媛

一元一次方程的應(yīng)用是本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)。應(yīng)用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵要“抓住基本量，找出相等關(guān)系”。下面，我們以實(shí)際情境為例，體會(huì)一元一次方程在生活中的應(yīng)用。

情境1? 小紅寫(xiě)一本暑假作業(yè)，已經(jīng)寫(xiě)了5天，每天寫(xiě)2頁(yè)。家里決定一段時(shí)間后出去旅游，所以小紅想在旅游前完成作業(yè)。如果以后每天寫(xiě)3頁(yè)，則還剩9頁(yè)未完成；如果以后每天寫(xiě)5頁(yè)，則提前一天完成。這本暑假作業(yè)共有多少頁(yè)？距離旅游還有幾天？

這個(gè)問(wèn)題屬于“一種事情，兩種情況”（一種情況是每天寫(xiě)3頁(yè)，還剩9頁(yè)；另一種情況是每天寫(xiě)5頁(yè)，提前一天完成），其中有兩個(gè)不變量（一個(gè)不變量是旅游前剩的天數(shù)，另一個(gè)不變量是暑假作業(yè)本的總頁(yè)數(shù)）。我們可以將一個(gè)不變量看作未知數(shù)，另一個(gè)不變量看作相等關(guān)系。本題需要注意的是總頁(yè)數(shù)包括前5天已完成的頁(yè)數(shù)，隱含的相等關(guān)系是：前5天完成的作業(yè)量+每天寫(xiě)3頁(yè)完成的作業(yè)量+9=前5天完成的作業(yè)量+每天寫(xiě)5頁(yè)完成的作業(yè)量。

解：設(shè)旅游前還剩x天，根據(jù)題意，得5×2+3x+9=5×2+5（x-1），解得x=7，所以，暑假作業(yè)總頁(yè)數(shù)為5×2+3×7+9=40。答略。

情境2 小紅完成暑假作業(yè)后，全家去杭州自駕游。汽車(chē)先以100km/h的速度從南京出發(fā)，行駛一段時(shí)間后，在服務(wù)區(qū)休息了45分鐘，然后再以80km/h的速度繼續(xù)行駛。已知剩余的路程是已行駛路程的一半，到達(dá)杭州一共用了4小時(shí)。求兩地之間的距離。

這是一個(gè)行程問(wèn)題。行程問(wèn)題需要掌握的基本關(guān)系式是：路程=速度×?xí)r間。本題的已知量是速度和時(shí)間，未知量是路程，所以顯而易見(jiàn)，需要設(shè)兩地之間的距離為未知數(shù)x。根據(jù)“剩余的路程是已行駛路程的一半”，得出剩余路程是[13x]，已行駛路程是[23x]。需要特別注意的是總時(shí)間“4小時(shí)”包括三部分：休息前的行駛時(shí)間、休息時(shí)間、休息后的行駛時(shí)間。因此，隱含的相等關(guān)系式為：休息前的行駛時(shí)間+休息時(shí)間+休息后的行駛時(shí)間=4小時(shí)。

解：設(shè)兩地之間的距離為xkm，根據(jù)題意，得[23x100][+13x80]=4[-34]，解得x=300。答略。

情境3 小紅爸爸是某建筑公司負(fù)責(zé)人，現(xiàn)接到甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書(shū)，從投標(biāo)書(shū)中得知：甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要30天，乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要60天。

（1）該工程若由甲隊(duì)先做6天，剩下的工程再由甲、乙兩隊(duì)合作完成，求剩下的工程甲、乙兩隊(duì)合作多少天可完成？

（2）已知甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為67萬(wàn)元，乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為33萬(wàn)元，該工程預(yù)算的施工費(fèi)用為1900萬(wàn)元。為縮短工期，擬安排甲、乙兩隊(duì)同時(shí)開(kāi)工合作完成這項(xiàng)工程，問(wèn)：該工程預(yù)算的施工費(fèi)用是否夠用？若不夠用，需要追加預(yù)算多少萬(wàn)元？請(qǐng)說(shuō)明理由。

這是一個(gè)工程問(wèn)題。如果設(shè)全部工作量為單位1，那么全部工作量分哪幾部分完成？顯而易見(jiàn)，若按完成時(shí)間的工作量去分，則甲做6天的工作量+甲、乙合作的工作量=全部工作量；若按工程隊(duì)去分，則甲完成的工作量+乙完成的工作量=全部工作量。因工程問(wèn)題的基本關(guān)系式：工作量=工作效率×工作時(shí)間，故需先求出兩隊(duì)的工作效率。因?yàn)楣ぷ骺偭繛?，所以甲、乙兩隊(duì)的工作效率分別為[130]、[160]，進(jìn)而根據(jù)上述相等關(guān)系可列出方程。

解：（1）設(shè)剩下的工程甲、乙兩隊(duì)合作x天。

（方法一）由題意，得[630]+（[130][+160]）x=1，解得x=16。答略。

（方法二）由題意，得[6+x30][+x60]=1，解得x=16。答略。

（2）設(shè)甲、乙兩隊(duì)合作完成這項(xiàng)工程需要y天。根據(jù)題意，得（[130][+160]）y=1，解得y=20，需要的施工費(fèi)用為20×（67+33）=2000（萬(wàn)元）。

因?yàn)?000＞1900，2000-1900=100，所以該工程預(yù)算的施工費(fèi)用不夠用，需追加預(yù)算100萬(wàn)元。答略。

（作者單位：江蘇省建湖縣秀夫初級(jí)中學(xué)）