數(shù)學(xué)里的繪畫(huà)大師——函數(shù)

心形線(xiàn)（供圖/ 張浩）

函數(shù)的由來(lái)

函數(shù)作為數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)是德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨在17世紀(jì)首次使用的，是指在某一變化過(guò)程中，兩個(gè)變量x、y，對(duì)于某一范圍內(nèi)的x 的每一個(gè)值，y都有確定的值和它對(duì)應(yīng)，y就是x的函數(shù)。例如：一次函數(shù)——y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠ 0）； 二次函數(shù)——y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，≠0）。除此以外，數(shù)學(xué)中還存在很多隱含定義的函數(shù)，它們可以寫(xiě)成F（x，y）=0的形式，即無(wú)法明顯地用一個(gè)變量的代數(shù)式表示另一個(gè)變量，但能確定y 是x 的函數(shù)，這些函數(shù)被稱(chēng)為隱函數(shù)。它們通常都有與之對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)。

圓錐與圓錐曲線(xiàn)

生活里的函數(shù)圖像

生活中的許多事物都有與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)。例如，我們購(gòu)物時(shí)總價(jià)與數(shù)量間的關(guān)系，就是數(shù)學(xué)中最基本的一次函數(shù)；還有筆直的馬路、豎立的旗桿的走向，都可以用一次函數(shù)來(lái)表示。炙熱的太陽(yáng)的輪廓是圓形，投籃時(shí)籃球的軌跡是拋物線(xiàn)，行星運(yùn)行的軌道近似橢圓，發(fā)電廠冷卻塔的外觀近似雙曲線(xiàn)，它們都可以用二次隱函數(shù)來(lái)表達(dá)，也被稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)。

顧名思義，圓錐曲線(xiàn)與圓錐有關(guān)。如果用平面去截一個(gè)圓錐，所截得的曲線(xiàn)可能是圓、橢圓、雙曲線(xiàn)或者拋物線(xiàn)，這些就統(tǒng)稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)。在公元前3—4世紀(jì)，古希臘的數(shù)學(xué)家們就研究過(guò)這類(lèi)曲線(xiàn)，其中的阿波羅尼奧斯是研究圓錐曲線(xiàn)的集大成者。

那些圓潤(rùn)柔美的函數(shù)曲線(xiàn)

茉莉花瓣曲線(xiàn)

笛卡兒雖然沒(méi)有寫(xiě)下心形線(xiàn)，但他發(fā)現(xiàn)了另一條美麗的曲線(xiàn)——葉形線(xiàn)。1638年，笛卡兒首次得到葉子形狀的曲線(xiàn)為x³+y³-3xay=0，有數(shù)學(xué)家認(rèn)為這條美麗的曲線(xiàn)很像茉莉花瓣的樣子，所以也被稱(chēng)為茉莉花瓣曲線(xiàn)。

笛卡兒葉形線(xiàn)（供圖/ 張浩）

玫瑰曲線(xiàn)

數(shù)學(xué)中還有著名的玫瑰曲線(xiàn)，它對(duì)應(yīng)的函數(shù)為ρ=cos（kθ），當(dāng)取不同的值時(shí)，可以得到不同花瓣、不同形狀的玫瑰曲線(xiàn)。

對(duì)數(shù)螺線(xiàn)

笛卡兒還給出了對(duì)數(shù)螺線(xiàn)ρ=ae^kθ，因?yàn)檫@條曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)和中心的連線(xiàn)與曲線(xiàn)上這點(diǎn)的切線(xiàn)所形成的角是一個(gè)定角，所以也被稱(chēng)為等角曲線(xiàn)。鸚鵡螺的外殼、蜘蛛網(wǎng)的形狀就呈現(xiàn)出對(duì)數(shù)螺線(xiàn)形。

對(duì)數(shù)螺線(xiàn)（供圖/ 張浩）

鸚鵡螺

玫瑰曲線(xiàn)（供圖/ 張浩）

伯努利的墓碑

17世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利（概率論先驅(qū)之一，最早使用“積分”術(shù)語(yǔ)的人，較早使用極坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)家之一）醉心于研究對(duì)數(shù)螺線(xiàn)，他的遺囑里要求在其墓碑上刻上一正一反兩條對(duì)數(shù)螺線(xiàn)，并附以一語(yǔ)雙關(guān)的墓志銘“Eadem mutata resurgo（ 縱然變化， 我依如故）”。

“怪異”曲線(xiàn)里的奧妙

魏爾斯特拉斯函數(shù)

科赫雪花曲線(xiàn)

在魏爾斯特拉斯函數(shù)的影響下，許多“怪異”曲線(xiàn)涌現(xiàn)出來(lái)。瑞典數(shù)學(xué)家科赫給出了著名的科赫曲線(xiàn)，它是人為構(gòu)造的第一個(gè)具有局部和整體相似結(jié)構(gòu)的曲線(xiàn)。

為什么說(shuō)是人為構(gòu)造的？你可以在紙上畫(huà)一條線(xiàn)段，將線(xiàn)段分成三等份，取中間一段為邊向外作一個(gè)正三角形，并把中間一段擦掉，再分別對(duì)得到的每條線(xiàn)段重復(fù)上面的過(guò)程，畫(huà)出更小的正三角形后擦掉中間的一段，按此步驟一直迭代（即在前一步的基礎(chǔ)上，重復(fù)相同的操作）下去，得到的就是科赫曲線(xiàn)。由3 條科赫曲線(xiàn)可以得到科赫雪花曲線(xiàn)。科赫曲線(xiàn)可被用來(lái)模擬海岸線(xiàn)。值得注意的是，科赫曲線(xiàn)在任意小的尺度上都具有精細(xì)結(jié)構(gòu)，即不管怎么放大總能發(fā)現(xiàn)新世界。

科赫雪花曲線(xiàn)迭代過(guò)程

科赫曲線(xiàn)（供圖/ 張浩）

科赫雪花曲線(xiàn)（供圖/ 張浩）

魏爾斯特拉斯函數(shù)的近似圖形（供圖/ 張浩）

希爾伯特曲線(xiàn)構(gòu)造示意圖（供圖/ 張浩）

皮亞諾曲線(xiàn)和希爾伯特曲線(xiàn)

意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾和德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特都構(gòu)造出一條能填滿(mǎn)正方形的曲線(xiàn)：通過(guò)恰當(dāng)選擇參數(shù)函數(shù)得到一條連續(xù)的參數(shù)曲線(xiàn)，當(dāng)參數(shù)變化時(shí)，曲線(xiàn)能經(jīng)過(guò)一個(gè)正方形內(nèi)的所有點(diǎn)，相當(dāng)于能填滿(mǎn)一個(gè)正方形！

以希爾伯特曲線(xiàn)為例：取一個(gè)正方形并且把它分出4 個(gè)相等的小正方形，然后從左下角的正方形開(kāi)始至右下角的正方形結(jié)束，依次把小正方形的中心用線(xiàn)段連接起來(lái)；下一步把每個(gè)小正方形分成4 個(gè)相等的正方形，然后依照相同的方式把它們的中心連接起來(lái)……將這種操作無(wú)限進(jìn)行下去，最終得到的極限情況的曲線(xiàn)就可以填滿(mǎn)整個(gè)平面。

“分形”創(chuàng)造出的奇妙函數(shù)曲線(xiàn)

分形一詞是數(shù)學(xué)家曼德勃羅創(chuàng)造的，他系統(tǒng)深入地研究了銀河系中天體分布、月球表面、地貌的生成、海岸線(xiàn)的結(jié)構(gòu)等自然界中的分形現(xiàn)象。從一個(gè)簡(jiǎn)單的迭代函數(shù)f（z）z²+c（z和c都是復(fù)數(shù)）出發(fā)，就能得到許多漂亮的分形圖。

讓c固定，令z變化起來(lái)，能夠使函數(shù)值不發(fā)散的初始值z(mì)的集合，即在迭代的過(guò)程中使函數(shù)值能夠穩(wěn)定在一個(gè)范圍內(nèi)z的集合，就叫作朱利亞集。當(dāng)取不同的c時(shí)，對(duì)應(yīng)的朱利亞集就是許多美妙的圖形。

如果固定迭代的初始值z(mì)₀，讓參數(shù)c變化起來(lái)，能夠使函數(shù)值不發(fā)散的c的集合，就叫作曼德勃羅集。如取初始值z(mì)₀=0時(shí)，曼德勃羅集中也會(huì)出現(xiàn)一個(gè)“心形”圍成的曲線(xiàn)，若把圖形放大，會(huì)在圖中看到無(wú)限多個(gè)類(lèi)似的心形！

作為刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界最重要的數(shù)學(xué)模型，函數(shù)當(dāng)之無(wú)愧是數(shù)學(xué)里的繪畫(huà)大師。也許現(xiàn)在的你對(duì)它還有很多難以理解的地方，但不要緊，先看到它的美，再試著去探索它的奧秘吧！還有更多美麗的圖形等待你的發(fā)現(xiàn)。

（責(zé)任編輯 / 張麗靜 美術(shù)編輯 / 周游）

知識(shí)鏈接 分形

分形具有以非整數(shù)維形式充填空間的形態(tài)特征，通常被定義為“一個(gè)粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數(shù)個(gè)部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小后的形狀”，即具有自相似的性質(zhì)。

c≈-0.12+0.74i 的朱利亞集，形似一只兔子（供圖/ 張浩）

曼德勃羅集