基于新高考的解析幾何命題特點(diǎn)及教學(xué)策略研究

羅彥東，金 瑩，裴照雪

（遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧大連 116029）

2020—2021 年全國各省市地區(qū)陸續(xù)開始使用新高考試卷，在“3+2+1”的新高考模式下，為了更好地完善“一核、四層、四翼”的新高考評價(jià)體系，數(shù)學(xué)試卷呈現(xiàn)出了特有的命題特點(diǎn)。解析幾何作為高考數(shù)學(xué)中尤為重要的一環(huán)，其命題也有著一定的規(guī)律。

高中解析幾何包含直線與圓錐曲線兩部分，是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容之一?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》的命題建議中已經(jīng)明確指出考查內(nèi)容應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容主線，聚焦學(xué)生對重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性；注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法，淡化解題技巧［1］。在《考試說明》中為C 級要求，在高考中屬于偏難問題。

一、新高考解析幾何命題特點(diǎn)

總體來看，解析幾何在新高考中所占的比例大都是“2+1”模式，即兩道選擇填空題，一道解答題，分值約為30分，占總分值20%左右。對于支撐解析幾何支線的主干知識做到了考查全面且突出重點(diǎn)，保持著較高的比例和必要深度；突出知識的重新組合，體現(xiàn)了解析幾何知識的實(shí)際應(yīng)用性；符合高考評價(jià)體系中的“立德樹人、服務(wù)選拔、導(dǎo)向教學(xué)”這一高考核心立場。在此基礎(chǔ)上，解析幾何試題呈現(xiàn)出特有的命題特點(diǎn)。

（一）考查基礎(chǔ)，重點(diǎn)突出

《考試說明》關(guān)于解析幾何部分的知識點(diǎn)由原來的33 個縮減為19 個，試卷中考查的知識點(diǎn)一般超過50%，對于直線、圓、圓錐曲線的基本知識點(diǎn)考查更是幾乎無遺漏。試題重點(diǎn)突出了直線、圓、圓錐曲線的定義與基本公式，圍繞基本性質(zhì)展開分析，進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算。

分析：此題考查雙曲線焦點(diǎn)公式、漸近線表達(dá)式和點(diǎn)到直線距離公式，難度中等，屬于解析幾何基礎(chǔ)知識點(diǎn)。通過題目所給的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，求出雙曲線的焦點(diǎn)F 的坐標(biāo)，將焦點(diǎn)F 的坐標(biāo)代入點(diǎn)到直線距離公式即可得出結(jié)果。需要注意題目中右焦點(diǎn)這一提示，突出雙曲線的焦點(diǎn)公式與點(diǎn)到直線距離公式的重要性。

（二）滲透幾何與代數(shù)的轉(zhuǎn)化思想

總結(jié)發(fā)現(xiàn)，新高考數(shù)學(xué)試卷對于解析幾何知識的考查滲透了幾何與代數(shù)的轉(zhuǎn)化思想，尤其在解答題中，將題目的幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)解答通常是解決問題的關(guān)鍵，即用代數(shù)語言描述幾何問題，進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算和化簡，最后解答幾何問題。

（1）求橢圓的方程；

（2）直線l 與橢圓有唯一的公共點(diǎn)M，與Y 軸的正半軸交于點(diǎn)N，過N 與BF 垂直的直線交X 軸于點(diǎn)P，若MP//BF，求直線l 的方程。

分析：此題考查學(xué)生對于幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)化的掌握程度，難度中等偏上。主干題目條件清晰簡單，第一個小問比較簡單，考查橢圓方程，運(yùn)用橢圓離心率的基本性質(zhì)與兩點(diǎn)之間距離公式解答；第二個小問完全用幾何語言描述，重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)化思想，對于M 點(diǎn)和直線l的處理很關(guān)鍵，將直線MN 即直線l 設(shè)為+y0y=1 是本題的第一個難點(diǎn)，考查學(xué)生對于直線與橢圓位置關(guān)系的靈敏度，聯(lián)立方程后，對于題目中NP 與BF 垂直、MP//BF 這兩個幾何條件的處理是第二個難點(diǎn)，由于B、F 兩點(diǎn)的特殊性，BF的斜率可以有橢圓的基本性質(zhì)得出，所以可以將垂直與平行的幾何條件轉(zhuǎn)化為方程的代數(shù)語言，求出N、P 的坐標(biāo)，已知M 的坐標(biāo)，即可得出關(guān)于x0和y0的方程，進(jìn)而求出x0和y0的具體值，最后根據(jù)+y0y=1，求出直線l 的方程。整個過程中最重要的是垂直與平行兩個幾何條件與代數(shù)方程之間的轉(zhuǎn)化。

（三）鍛煉數(shù)學(xué)思維

1.聯(lián)想思維。分析新高考數(shù)學(xué)試卷，我們發(fā)現(xiàn)解析幾何試題越來越靈活，不再是固定模式下的換湯不換藥，而是將知識有機(jī)融合起來，泛式出題。這樣的數(shù)學(xué)試題可以很好地鍛煉學(xué)生的聯(lián)想思維，包括縱向聯(lián)想和橫向聯(lián)想?？v向聯(lián)想考查解析幾何知識的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，需要學(xué)生將知識的產(chǎn)生、發(fā)展和結(jié)果聯(lián)系起來；橫向聯(lián)想考查解析幾何知識與其他分支的融合，需要學(xué)生尋找數(shù)學(xué)各個分支之間的聯(lián)系，將解析幾何問題放到別的分支中解決。同時聯(lián)想離不開猜想，解題過程中的“不妨設(shè)”便是聯(lián)想思維很重要的一個體現(xiàn)。

2.逆向思維。新高考的解析幾何試題同樣鍛煉學(xué)生的逆向思維，從結(jié)論出發(fā)經(jīng)過分析尋找初始條件，是近年來解析幾何試題常用方法之一?；谀壳暗纳鐣蟊尘昂退刭|(zhì)教育的要求，逆向思維在新高考數(shù)學(xué)試卷中體現(xiàn)得越來越明顯，同時也是人才發(fā)展的必備思維。在解析幾何試題中，條件相對復(fù)雜，結(jié)論相對簡單，是很通常的命題方式，逆向思維則是解決此類題目的關(guān)鍵。

例3（2021 年全國甲卷第20 題）拋物線C 的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在X 軸上，直線l：x=1 交C 于P、Q 兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，已知點(diǎn)M（2，0），且圓M 與l 相切。

（1）求C、圓M 的方程；

（2）設(shè)A1、A2、A3是C 上的三個點(diǎn)，直線A1A2、A1A3均與圓M 相切，判斷直線A2A3與圓M 的位置關(guān)系，并說明理由。

解：（1）由題意可得：C：y2=2px（p＞0），點(diǎn)因?yàn)镺P⊥OQ，所以1-2p=0，所以2p=1。所以拋物線C：y2=x，因?yàn)镸（2，0）且l：x=1 與圓M 相切，所以圓M 方程為：（x-2）2+y2=1。

（2）直線A2A3與圓M 相切，理由如下：

綜上所述，即證。

分析：此題既考查了學(xué)生的聯(lián)想思維又考查了學(xué)生的逆向思維。通過數(shù)形結(jié)合判斷直線A2A3與圓M 相切，再通過直線與圓相切這個結(jié)論逆向推導(dǎo)所需的條件是圓心到直線的距離為半徑1；在進(jìn)行分類討論時運(yùn)用了聯(lián)想思維，假設(shè)討論A1A2的斜率問題，在求解點(diǎn)的坐標(biāo)時將坐標(biāo)與方程的根進(jìn)行聯(lián)想，利用韋達(dá)定理寫出坐標(biāo)的表達(dá)式。此題的聯(lián)立方程區(qū)別于以往的題目，更加體現(xiàn)新高考解析幾何命題的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理，通過點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行聯(lián)立，深度鍛煉學(xué)生的聯(lián)想思維。

（四）培養(yǎng)核心素養(yǎng)

1.邏輯推理。解析幾何試題最重要的是考查學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。在素質(zhì)教育的背景下，新高考的解析幾何命題也著重培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。題目所給條件需要學(xué)生進(jìn)行一定的邏輯推理，同時一些隱藏條件是在推理的過程中發(fā)現(xiàn)的；幾何問題與代數(shù)語言之間也需要學(xué)生的邏輯推理，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)密邏輯。

2.數(shù)學(xué)運(yùn)算。數(shù)學(xué)運(yùn)算一直是解析幾何試題的特點(diǎn)之一，尤其是聯(lián)立解方程時，關(guān)于根的運(yùn)算往往比較復(fù)雜。這樣的數(shù)學(xué)運(yùn)算過程能夠很好地鍛煉學(xué)生的耐心與細(xì)致程度。

例4（2021 年全國乙卷第21 題）已知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，且F 與圓M：x2+（y+4）2=1 上點(diǎn)的距離的最小值為4。

（1）求p；

（2）若點(diǎn)P 在M 上，PA、PB 是C 的兩條切線，A、B 是切點(diǎn)，求△PAB 面積的最大值。

分析：此題重點(diǎn)考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，題目條理清晰，環(huán)節(jié)緊扣。由直線與拋物線的聯(lián)立推導(dǎo)直線AB 距離，接著推導(dǎo)拋物線在點(diǎn)A、B 處的切線方程，再由兩直線聯(lián)立和點(diǎn)P 在圓上推導(dǎo)P 的坐標(biāo)，這里要注意k 和b 的取值范圍，然后得出點(diǎn)P 到直線AB 的距離公式，從而推導(dǎo)三角形面積公式，得出函數(shù)解析式，由取值范圍求解最值。此題在方程聯(lián)立方面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。最值問題是解析幾何題目常考的題目之一，邏輯性很強(qiáng)，重點(diǎn)在于函數(shù)解析式的推導(dǎo)和取值范圍的確定，能夠很好地培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

二、教學(xué)策略

（一）深挖

基于以上分析，解析幾何的教學(xué)不能再浮于表面，對于定義的講解必須足夠深刻，尤其是圓錐曲線的定義。三種圓錐曲線定義的形成過程、幾何意義、關(guān)鍵點(diǎn)的關(guān)系等都要進(jìn)行詳細(xì)的講解。教師要充分利用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法，通過高考原題舉例教授學(xué)生解析幾何知識的實(shí)際運(yùn)用，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)基本性質(zhì)、基礎(chǔ)公式，幫助學(xué)生梳理各個公式之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)、應(yīng)用范圍等。教師要合理安排課時，將課堂時間重點(diǎn)放在基礎(chǔ)知識講解上，深挖基礎(chǔ)知識，保證學(xué)生學(xué)習(xí)的深度與廣度。

（二）互通

由于新高考的解析幾何命題靈活，形式多樣，教師在進(jìn)行解析幾何教學(xué)時更要學(xué)會變通，有意識地打開學(xué)生的思維模式，鍛煉學(xué)生的知識融合能力。比如，在例題講解時，重點(diǎn)講解題目條件與所學(xué)知識的融合方法，減少運(yùn)算過程的講解。在習(xí)題教學(xué)時要幫助學(xué)生建立多樣的審題思路，給學(xué)生提供新穎的出題模式。教師的授課要更加機(jī)動，互通數(shù)學(xué)的各個分支，建構(gòu)解析幾何的知識網(wǎng)絡(luò)，例如在復(fù)習(xí)課時繪制思維導(dǎo)圖，將與解析幾何有關(guān)的知識全部連接起來，重點(diǎn)講解兩個知識之間的連接方式（例解三角形和直線與圓錐曲線位置關(guān)系的融合方法）。

（三）精準(zhǔn)練習(xí)

練習(xí)是解析幾何教學(xué)的必要手段，但是練習(xí)貴在精而不是多。針對新高考解析幾何命題趨勢，進(jìn)行精準(zhǔn)的練習(xí)是教師的重要教學(xué)策略。能夠培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的習(xí)題，能夠鍛煉學(xué)生分析問題、解決問題的習(xí)題，能夠突出考查學(xué)生基礎(chǔ)知識、滲透數(shù)形結(jié)合思想的習(xí)題，題目新穎、結(jié)合其他數(shù)學(xué)分支的習(xí)題等，才是教師應(yīng)該教授的習(xí)題。教師在習(xí)題課上要準(zhǔn)確地梳理解題步驟、思路、方法，明晰解題所需的知識點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)審題思維模式。

總之，新高考模式下的解析幾何命題趨勢已經(jīng)有所改變，教師也應(yīng)該創(chuàng)新教學(xué)策略，緊跟新高考的腳步。