環(huán)Fp×Fp[v]/〈vm ?v〉上的線性碼及其MacWilliams恒等式

劉家鳳,施敏加

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽合肥 230601)

§1 引言

編碼理論中最有名的成就之一就是MacWilliams恒等式[1-2],它給出了線性碼及其對(duì)偶碼之間關(guān)于漢明重量計(jì)數(shù)器的關(guān)系.Pinheiro在文獻(xiàn)[3]中給出了有限域Fq上線性碼C的MacWilliams恒等式.近些年,越來越多的編碼學(xué)者將研究興趣從有限域轉(zhuǎn)移到有限環(huán)上來.如在文獻(xiàn)[4]中,施敏加等人給出了Shiromoto在文獻(xiàn)[5]中研究的環(huán)Zl上關(guān)于Lee-重量計(jì)數(shù)器和Euclidean-重量計(jì)數(shù)器及其MacWilliams恒等式的反例.文獻(xiàn)[6]給出了環(huán)Zl上關(guān)于Lee-重量計(jì)數(shù)器和Euclidean-重量計(jì)數(shù)器及其MacWilliams恒等式存在的充分必要條件.Abdelghany在文獻(xiàn)[7]中表明在環(huán)Zm上,當(dāng)m ≥5時(shí)關(guān)于Lee-重量計(jì)數(shù)器及其MacWilliams恒等式不存在.在文獻(xiàn)[8] 中,zen研究了一個(gè)更大的環(huán),有限交換的Frobenius環(huán),研究了該環(huán)上關(guān)于m-spotty Rosenbloom-Tsfasman重量計(jì)數(shù)器的恒等式.對(duì)于非鏈環(huán)上的線性碼及其對(duì)偶碼之間的各種重量計(jì)數(shù)器及其MacWilliams恒等式同樣也引起了編碼學(xué)者的興趣.文獻(xiàn)[9]研究了環(huán)F2+vF2+v2F2(v3=v)上線性碼及其對(duì)偶碼之間的各種重量計(jì)數(shù)器及其MacWilliams恒等式.在文獻(xiàn)[10]中,施敏加等人在一個(gè)特殊的有64個(gè)元素的環(huán)F2[u,v]/〈u2?1,v3=v,uv=vu〉上研究了線性碼的重量計(jì)數(shù)器及其MacWilliams恒等式.在文獻(xiàn)[11]中,研究了ZpZpk-加性碼的象的重量計(jì)數(shù)器并且建立了MacWilliams恒等式.這些結(jié)果隨后在文獻(xiàn)[12]中得以推廣.文獻(xiàn)[13]研究了非鏈環(huán)F2×(F2+vF2)(v2=v)上線性碼及其對(duì)偶碼的MacWilliams恒等式.

本文將文獻(xiàn)[13]中的結(jié)果推廣到最一般化的情況,假設(shè)p是素?cái)?shù).§2研究了階為pm+1的環(huán)Fp ×Fp[v]/〈vm ?v〉及環(huán)上線性碼的結(jié)構(gòu).為了得到主要的結(jié)果,首先需要引入從環(huán)Fp ×Fp[v]/〈vm ?v〉到的兩個(gè)Gray映射,并由此給出Lee-重量和Gray-重量的定義.§3研究了該環(huán)上線性碼的Gray象并基于這兩個(gè)Gray象分別討論了這些線性碼在兩個(gè)不同內(nèi)積的對(duì)偶碼.§4得到了環(huán)Fp×Fp[v]/〈vm ?v〉上的三種重量計(jì)數(shù)器: 完全重量計(jì)數(shù)器,對(duì)稱重量計(jì)數(shù)器和Lee重量計(jì)數(shù)器以及三種重量計(jì)數(shù)器之間的關(guān)系,同時(shí)通過一些例子來驗(yàn)證所得到的結(jié)果.

§2 環(huán)R上線性碼的結(jié)構(gòu)

這一節(jié)給出一些基本的定義并研究了環(huán)Fp×Fp[v]/〈vm ?v〉及環(huán)上線性碼的特征.

R上的一個(gè)線性碼C可以定義如下.

定義2.1如果C是Rn的R-子模,則Rn的一個(gè)非空子集C被稱為長(zhǎng)度為n的線性碼.

引理2.1在環(huán)中,長(zhǎng)度為n的線性碼C可以被認(rèn)為是兩個(gè)長(zhǎng)度均為n的線性碼C1和C2的直積,即C是C1×C2的等價(jià)置換,其中C1在域Fp上,而C2在環(huán)Rp上.

例2.1設(shè)p=2,m=3.則R=F2×(F2+vF2+v2F2),R2的子集C為

則C是環(huán)R的線性碼且|C|=32.考慮F2上的線性碼C1={(0,0),(0,1),(1,1),(1,0)}以及F2+vF2+v2F2上的線性碼C2={(0,0),(0,1),(0,v),(0,1+v),(0,v2),(0,1+v2),(0,v+v2),(0,1+v+v2)},可以發(fā)現(xiàn)C置換等價(jià)于C1×C2.

§2.1 環(huán)R上線性碼的Gray映射

本節(jié)首先給出從環(huán)R到的兩個(gè)不同的Gray映射,然后基于這兩個(gè)映射定義了環(huán)R上碼的Lee-重量和Gray-重量.

若C是R上長(zhǎng)為n的線性碼,則φ1(C)是長(zhǎng)為(m+1)n的線性碼,且這一映射可自然擴(kuò)展到Rn.

命題2.1.1Gray映射φ1是Fp線性的.

例2.1.2考慮例2.1中的線性碼C,則

是一個(gè)長(zhǎng)度為8的二元線性碼.

對(duì)任意x ∈R,定義x的Lee-重量

命題2.1.6Gray映射φ2是Fp線性的.

例2.1.7考慮例2.1中的線性碼C,則

是一個(gè)長(zhǎng)度為8的二元線性碼.

定義2.1.8環(huán)R上的Gray-重量wG定義為

例2.1.10考慮例2.1中的線性碼C中的碼字,x=(1,0)(1,1 +v2)的Lee-重量WL(x)=WL(1,0)+WL(1,1+v2)=3.y=(1,0)(1,1+v+v2) 和z=(0,0)(1,v+v2)之間的Lee-距離dL(y,z)=2.碼C的Lee-重量和Lee-距離是相等的,即wL(C)=dL(C)=1.

例2.1.11設(shè)C是例2.1中的線性碼,則它的最小Gray-重量是2.φ2(C)是長(zhǎng)度為8,最小Hamming-重量為2的線性碼.

§2.2 環(huán)R上線性碼的內(nèi)積

本節(jié)基于上述兩個(gè)不同的Gray映射,在環(huán)R上定義了兩個(gè)不同的內(nèi)積.

引理2.2.1環(huán)Rn上的歐幾里得內(nèi)積是R-線性的.

定義2.2.2設(shè)C是R上長(zhǎng)度為n的線性碼.定義C關(guān)于歐幾里得內(nèi)積的對(duì)偶碼C⊥為

根據(jù)歐幾里得內(nèi)積的定義可知,C⊥也是Rn上長(zhǎng)度為n的線性碼.

例2.2.3考慮例2.1中的線性碼C.則

引理2.2.6環(huán)Rn中的厄爾米特內(nèi)積是R-線性的.

定義2.2.7如果C是R上長(zhǎng)度為n的線性碼,則可以定義C在厄爾米特內(nèi)積下的對(duì)偶碼C?:

例2.2.8考慮例2.1中的線性碼C.有

定理2.2.9若p=2,則Gray映射φ2關(guān)于厄爾米特內(nèi)積是一個(gè)保正交性的映射.

下面推論的證明與推論2.2.5相似,所以在這里省略.

推論2.2.10φ2(C?)=(φ2(C))⊥當(dāng)且僅當(dāng)p=2,其中C?是線性碼C的對(duì)偶碼,且(φ2(C))⊥是φ2(C)的對(duì)偶.此外,如果C是一個(gè)自對(duì)偶碼,那么φ2(C)也是一個(gè)自對(duì)偶碼.

§3 MacWilliams恒等式及重量計(jì)數(shù)器