帶翼緣截面混凝土受壓區(qū)等效應(yīng)力圖系數(shù)研究

任 偉，李敬泉，李曉路

(1. 長(zhǎng)安大學(xué)舊橋檢測(cè)與加固技術(shù)交通運(yùn)輸行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安 710064； 2. 廣東省交通運(yùn)輸規(guī)劃研究中心，廣東廣州 510101)

0 引 言

鋼筋混凝土壓彎構(gòu)件正截面極限承載力的計(jì)算方法是基于平截面假定的計(jì)算理論得出的，在實(shí)用計(jì)算中，受壓混凝土的應(yīng)力分布可以通過引入矩形應(yīng)力圖系數(shù)α(等效應(yīng)力圖應(yīng)力與混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線峰值應(yīng)力的比值)和β(等效應(yīng)力圖高度與中和軸到受壓邊緣距離的比值)將其等效為矩形應(yīng)力圖。該方法概念清晰，易于建立平衡方程，不需要了解混凝土應(yīng)力分布的準(zhǔn)確形狀。

《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》中直接給出了不同強(qiáng)度等級(jí)混凝土受壓區(qū)等效矩形應(yīng)力圖系數(shù)α和β的取值[1]。相關(guān)文獻(xiàn)也對(duì)其計(jì)算方法進(jìn)行了說明，并對(duì)某些強(qiáng)度等級(jí)的等效矩形應(yīng)力圖系數(shù)進(jìn)行了試算，如過鎮(zhèn)海[2]在《鋼筋混凝土原理》中推導(dǎo)并給出了C50以下的混凝土受壓區(qū)等效矩形應(yīng)力圖系數(shù)表達(dá)式。張樹仁等[3]在理論分析和試驗(yàn)研究的基礎(chǔ)上,針對(duì)鋼筋混凝土圓、環(huán)形截面偏心受壓構(gòu)件提出了在強(qiáng)度計(jì)算中采用混凝土矩形應(yīng)力塊換算系數(shù)的設(shè)計(jì)建議。王文煒[4]從混凝土正截面受彎承載力基本假定出發(fā)，推導(dǎo)出了C50以下混凝土受壓區(qū)等效矩形應(yīng)力圖系數(shù)表達(dá)式。王慶華等[5]采用MATLAB數(shù)學(xué)工具給出了三角形截面、圓形截面的受壓區(qū)等效矩形應(yīng)力圖系數(shù)。劉鳳翰[6]對(duì)正截面設(shè)計(jì)中α和β等系數(shù)進(jìn)行分析研究，并提出非矩形四邊形梁等其他形式截面采用α和β等系數(shù)的計(jì)算方法。丁亞進(jìn)等[7]采用力的等效原理，通過不定積分計(jì)算器推導(dǎo)出普通和高強(qiáng)混凝土受壓區(qū)等效矩形應(yīng)力圖系數(shù)通用表達(dá)式。朱莉萍等[8]對(duì)圓形截面偏心受壓構(gòu)件的壓區(qū)混凝土等效應(yīng)力圖形的特征參數(shù)做了詳細(xì)計(jì)算分析,提出了參數(shù)取值的建議。孫鐵鋒等[9]利用換元積分等方法,對(duì)矩形、圓形、等腰三角形截面的壓區(qū)混凝土等效矩形應(yīng)力圖特征參數(shù)計(jì)算方法的簡(jiǎn)化進(jìn)行了探討。Naaman[10]對(duì)T形截面進(jìn)行了討論，重點(diǎn)對(duì)何時(shí)可以將T形截面簡(jiǎn)化成矩形截面進(jìn)行了論述。Singh等[11]提出在IS 456—2000中，對(duì)于等級(jí)高于M55的混凝土，給定的設(shè)計(jì)參數(shù)可能不適用，他通過試驗(yàn)應(yīng)變值計(jì)算應(yīng)力塊參數(shù)K(強(qiáng)度折減系數(shù))和k2(合壓力深度系數(shù))，并給出了等效應(yīng)力塊參數(shù)的計(jì)算方法。

然而，大量的混凝土橋梁多采用帶翼緣的T形、箱形、π形和工字形截面，該類截面與矩形截面相比，幾何形狀明顯復(fù)雜了許多[12-17]。系數(shù)α和β與諸多因素有關(guān)，其中截面形狀的幾何要素為主要敏感變量之一[18-19]，因此上述截面的計(jì)算不能盲目按規(guī)范建議的矩形截面取值。

因此，本文基于矩形截面的靜力等效算法，借助MATHEMATICA強(qiáng)大的符號(hào)運(yùn)算功能，對(duì)帶翼緣截面混凝土受壓區(qū)等效應(yīng)力圖系數(shù)α和β進(jìn)行解析分析，并針對(duì)解析解答過于冗長(zhǎng)的問題，采取了數(shù)據(jù)變換擬合的方法，給出了簡(jiǎn)化計(jì)算公式。本文推薦的簡(jiǎn)化公式為相關(guān)工程技術(shù)人員提供了直接可用的簡(jiǎn)化算法，也可為規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)的修訂提供科學(xué)支撐。

1 帶翼緣截面等效應(yīng)力圖系數(shù)

1.1 矩形截面等效應(yīng)力圖系數(shù)

在混凝土正截面強(qiáng)度計(jì)算中，混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系被簡(jiǎn)化為曲線段和直線段，為進(jìn)一步簡(jiǎn)化計(jì)算，又采用α和β對(duì)混凝土應(yīng)力分布進(jìn)行了矩形等效替換。等效應(yīng)力圖的換算原則為：①等效前后合力大小不變；②等效前后合力作用位置不變。

現(xiàn)有成果顯示，當(dāng)正截面混凝土極限壓應(yīng)變?chǔ)與u=0.003 3，混凝土壓應(yīng)力達(dá)到抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值且壓應(yīng)變?chǔ)?=0.002時(shí)，α=0.969，β=0.824。當(dāng)混凝土強(qiáng)度等級(jí)大于C50時(shí)，可按表1取值。

表1 等效矩形應(yīng)力圖系數(shù)Table 1 Equivalent Rectangular Stress Diagram Coefficients

1.2 帶翼緣截面等效應(yīng)力圖系數(shù)

1.2.1 截面簡(jiǎn)化

從已有的研究成果來看，現(xiàn)在的截面等效應(yīng)力圖系數(shù)主要針對(duì)矩形截面、圓形截面和三角形截面[5-9,20]，對(duì)于橋梁結(jié)構(gòu)中常用的帶翼緣截面應(yīng)力圖系數(shù)未見相關(guān)研究報(bào)道。目前常見的帶翼緣截面有：T形截面(矮T梁)、箱形截面、π形截面、工字形截面等。在進(jìn)行正截面承載力分析時(shí)，由于受拉區(qū)混凝土不計(jì)入工作，因此可將上述截面一并簡(jiǎn)化為T形截面進(jìn)行正截面受力分析。

截面簡(jiǎn)化的基本假定包括：

(1)平截面假定：截面的平均應(yīng)變始終較好地保持平面假定。

(2)不考慮受拉區(qū)混凝土的作用。

(3)混凝土本構(gòu)關(guān)系依據(jù)《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》[1]取值。

(4)鋼筋應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系采用理想雙折線本構(gòu)模型。

(5)忽略翼緣有效工作寬度的影響，按初等梁理論進(jìn)行分析。

1.2.2 截面分析

混凝土的受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系按式(1)～(5)取用[1]。

當(dāng)εc≤ε0時(shí)

(1)

當(dāng)ε0<εc≤εcu時(shí)

σc=fc

(2)

(3)

ε0=0.002+0.5(fcu,k-50)×10-5

(4)

εcu=0.003 3-(fcu,k-50)×10-5

(5)

式中：σc為混凝土壓應(yīng)變?yōu)棣與時(shí)的混凝土壓應(yīng)力；fc為混凝土軸心抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；ε0為混凝土壓應(yīng)力達(dá)到fc時(shí)的混凝土壓應(yīng)變，當(dāng)ε0小于0.002時(shí)，取0.002；εcu為正截面混凝土極限壓應(yīng)變，εcu計(jì)算值大于0.003 3時(shí)，取0.003 3；fcu,k為混凝土立方體抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值；n為系數(shù)，計(jì)算值大于2時(shí)，取2。

根據(jù)圖1中的截面應(yīng)力、應(yīng)變及幾何關(guān)系，將截面劃分區(qū)域進(jìn)行分析，圖中εs為鋼筋應(yīng)變。受壓區(qū)腹板為區(qū)域①，翼緣部分為區(qū)域②。區(qū)域①的合力F1為

(6)

區(qū)域②的合力分兩種情況，分別為F2和F3。

當(dāng)x0在腹板時(shí)

F2=fc(bf-b)hf

(7)

當(dāng)x0在翼板時(shí)

(8)

式中：hf為T梁翼緣板厚度；bf為翼緣板寬度。

區(qū)域①的合力矩M1為

(9)

區(qū)域②的合力矩分兩種情況，分別為M2和M3。

當(dāng)x0在腹板時(shí)

(10)

當(dāng)x0在翼板時(shí)

(11)

1.2.3 等代荷載分析

圖2為等代荷載作用截面應(yīng)力、應(yīng)變及幾何關(guān)系，分析時(shí)根據(jù)等代壓應(yīng)力圖的分布范圍分兩種情況討論。

當(dāng)X=βxc在腹板時(shí)

F4=αfcXb

(12)

F5=αfchf(bf-b)

(13)

(14)

(15)

當(dāng)X=βxc在翼緣時(shí)

F6=αfcXbf

(16)

(17)

式中：F4、M4分別為區(qū)域①的合力、合力矩；F5、M5分別為區(qū)域②的合力、合力矩；F6、M6分別為合力、合力矩。

1.2.4 求 解

方程求解也分情況進(jìn)行。

當(dāng)x0在腹板，即x0

(18)

當(dāng)x0在翼緣，即x0≥xc-hf時(shí)

(19)

(20)

2 參數(shù)分析

2.1 有效解

根據(jù)圖1可以得出

(21)

(22)

取ε0為0.002，εcu為0.003 3，εs為0.001 675，得

x0=0.402 414h0

(23)

xc=0.663 984h0

(24)

將常規(guī)截面幾何構(gòu)造尺寸代入式(23)、(24)，并繪制出圖3?？梢钥闯鰔0

式(18)有兩組解，根據(jù)公路橋梁T梁標(biāo)準(zhǔn)圖的取值h=1 750～2 500 mm，bf=2 200mm，b=160 mm，翼緣板平均厚度hf=180 mm。將式(18)得到的α和β的兩組解繪制于圖4，可以看出圖4(b)為不合理解，應(yīng)舍去。由圖4(a)可以看出，在其他幾何參數(shù)不變的情況下，單因素h0對(duì)α和β的影響非常小。

2.2 截面幾何參數(shù)分析

根據(jù)式(18)的有效解，將α和β與b/bf和hf/h0的關(guān)系繪制于圖5，為了更加清晰地展示它們的變化規(guī)律，進(jìn)一步給出了圖5的切面圖，詳見圖6和圖7。由圖6和圖7可以看出：α隨著b/bf的增大而減小，隨hf/h0的增大而增大，總體呈曲面變化；β隨著b/bf的增大而增大，隨hf/h0的增大呈扭曲線變化，總體呈微扭曲面變化。

2.3 材料參數(shù)分析

表1給出了混凝土等級(jí)大于等于C50的等效矩形應(yīng)力圖系數(shù)，其中帶翼緣截面理論值為在幾何參數(shù)為定值情況下式(18)的解析解?？梢钥闯?，無論是參考文獻(xiàn)中給出的理論值還是規(guī)范值，均無法準(zhǔn)確代替帶翼緣截面的計(jì)算。

3 推薦公式和算例

3.1 推薦公式

將表1中帶翼緣截面理論值隨fcu,k的變化情況繪制于圖8，變化曲線呈現(xiàn)出明顯的二次曲線規(guī)律。將數(shù)據(jù)點(diǎn)分別進(jìn)行擬合，得到式(25)和(26)，這兩式的擬合度非常高，判定系數(shù)R2=1。

α和β的混凝土強(qiáng)度調(diào)整系數(shù)γα和γβ為

γα=0.999 9+1.252 2×10-4fcu,k-

(25)

γβ=1.067 8-4.148 6×10-4fcu,k-

(26)

式(18)可以給出本文討論問題的解析解，但是該解非常繁瑣，不便于應(yīng)用。因此本文通過改變b、bf等幾何參數(shù)，應(yīng)用解析解在有限域內(nèi)得出256個(gè)數(shù)值解，再通過數(shù)據(jù)擬合的方法給出式(18)的替代算法，如式(27)、(28)所示。通過以上變換得到的式(27)、(28)的擬合度均較高，式(27)的R2=0.960 866，式(28)的R2=0.966 295。

(27)

(28)

式中：當(dāng)混凝土等級(jí)小于等于C50時(shí)，γα和γβ取1；當(dāng)混凝土等級(jí)大于C50時(shí)，γα和γβ按式(25)、(26)進(jìn)行計(jì)算。

3.2 算 例

為比較本文解析算法、推薦公式與規(guī)范值的區(qū)別，驗(yàn)證推薦簡(jiǎn)化算法的精確度，選取了目前橋梁結(jié)構(gòu)常采用的T型梁、矮T梁和小箱梁截面(圖9)進(jìn)行算例分析，計(jì)算結(jié)果列于表2?？梢钥闯?，目前的規(guī)范建議值不太適用于帶翼緣的截面，尤其是當(dāng)混凝土等級(jí)較高時(shí)。此外，推薦簡(jiǎn)化算法的精確度較高，完全可以替代解析解的應(yīng)用。

表2 算例計(jì)算結(jié)果Table 2 Example Calculation Results

4 結(jié)語

(1)給出了帶翼緣截面等效矩形應(yīng)力圖系數(shù)的解析解，通過算例對(duì)比發(fā)現(xiàn)目前的規(guī)范值無法準(zhǔn)確代替帶翼緣截面的計(jì)算。

(2)在解析解的基礎(chǔ)上進(jìn)行了幾何參數(shù)討論，得出α和β隨b/bf和hf/h0的變化呈曲面和微扭曲面的變化特征。

(3)為提高解析公式的可應(yīng)用性，借助數(shù)據(jù)擬合的方法對(duì)本文得出的解析解進(jìn)行了數(shù)值化后再擬合，給出了α和β的簡(jiǎn)化計(jì)算方法，由此得到的擬合公式擬合度較高。

(4)通過算例對(duì)比分析得出，α和β的規(guī)范建議值與本文解析解偏差分別為4.8%和2.2%。