在質(zhì)子照相中利用Abel 逆變換反演等離子體自生磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)*

鄧孌 杜報(bào) 蔡洪波 康洞國(guó) 朱少平2)

1) (中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)核科學(xué)技術(shù)學(xué)院,合肥 230026)

2) (中國(guó)工程物理研究院研究生院,北京 100088)

3) (北京應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)研究所,北京 100094)

4) (北京大學(xué)應(yīng)用物理與技術(shù)研究中心,北京 100871)

質(zhì)子照相是觀測(cè)等離子體中自生磁場(chǎng)的常用實(shí)驗(yàn)診斷技術(shù),對(duì)質(zhì)子照相實(shí)驗(yàn)結(jié)果的有效解讀依賴(lài)于反演方法的可靠性和可用性.傳統(tǒng)質(zhì)子照相反演方法往往只能提供自生磁場(chǎng)的一維或二維結(jié)構(gòu).本研究發(fā)現(xiàn),在對(duì)具有柱對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的磁場(chǎng)進(jìn)行側(cè)向質(zhì)子照相時(shí),偏轉(zhuǎn)速度與磁場(chǎng)之間滿足Abel 變換關(guān)系,這使得從質(zhì)子照相結(jié)果中反演重建出磁場(chǎng)的三維結(jié)構(gòu)成為可能.通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了該方法的可行性,并基于該反演方法,重新分析了Li 等(2016 Nat.Commun. 7 13081)有關(guān)等離子體噴流自生磁場(chǎng)的質(zhì)子照相實(shí)驗(yàn)結(jié)果,給出的最大磁場(chǎng)強(qiáng)度約為傳統(tǒng)反演結(jié)果的1.9 倍.本研究有助于對(duì)激光聚變和實(shí)驗(yàn)室天體物理相關(guān)的自生電磁場(chǎng)形成及其時(shí)空演化行為的認(rèn)識(shí)更加清晰.

1 引言

自生磁場(chǎng)是等離子體的基本特征之一,普遍存在于激光聚變[1,2]、實(shí)驗(yàn)室天體物理[3?5]相關(guān)的高能量密度物質(zhì)中.因其可對(duì)電子熱傳導(dǎo)[6]、沖擊波形成[4,7]和帶電粒子輸運(yùn)[8,9]等物理過(guò)程產(chǎn)生影響而受到廣泛關(guān)注,一直是等離子體物理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一.

準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)等離子體自生磁場(chǎng)的時(shí)空演化行為離不開(kāi)實(shí)驗(yàn)中的磁場(chǎng)診斷.一般而言,磁場(chǎng)的實(shí)驗(yàn)診斷主要有3 種方法.1) 磁探針?lè)╗10],測(cè)量線圈在磁場(chǎng)中的感生電流來(lái)獲取磁通量的平均大小.受限于線圈的加工精度,該方法往往無(wú)法獲得較高的空間分辨能力,且不能對(duì)等離子體內(nèi)的自生磁場(chǎng)進(jìn)行直接測(cè)量.2) 法拉第旋轉(zhuǎn)法[11,12],通過(guò)測(cè)量偏振光在等離子體中的偏振面旋轉(zhuǎn)量來(lái)推測(cè)磁場(chǎng)的強(qiáng)度.因偏振面的旋轉(zhuǎn)是磁場(chǎng)與等離子體密度耦合作用的結(jié)果,該方法依賴(lài)于等離子體密度空間分布的準(zhǔn)確診斷.3) 質(zhì)子照相法[13?15],隨著國(guó)際上靶后法向鞘場(chǎng)加速(target normal sheath acceleration,TNSA)[16,17]技術(shù)不斷發(fā)展成熟,該方法已經(jīng)成為診斷等離子體中自生磁場(chǎng)的常用實(shí)驗(yàn)方法.質(zhì)子照相中的探針質(zhì)子常通過(guò)TNSA 機(jī)制產(chǎn)生,其能量一般可達(dá)到10 MeV 量級(jí)[18](對(duì)于通過(guò)D-He3 內(nèi)爆產(chǎn)生的質(zhì)子,能量則為3.03 MeV 和14.7 MeV[19]).假設(shè)探針質(zhì)子束的運(yùn)動(dòng)速度為u0,質(zhì)子的電荷和質(zhì)量分別為q和mp,經(jīng)磁場(chǎng)B偏轉(zhuǎn)后,質(zhì)子束在離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)將獲得的偏轉(zhuǎn)速度為ud=.受此偏轉(zhuǎn)速度的影響,質(zhì)子束的通量密度將得到調(diào)制并被記錄在探測(cè)面上(一般為RCF 堆棧片或CR-39 探測(cè)器)[20].再?gòu)奶綔y(cè)面上的通量密度擾動(dòng)分布獲得ud,就可以反推獲得磁場(chǎng)B的平均強(qiáng)度等信息.

目前,質(zhì)子照相技術(shù)的應(yīng)用對(duì)激光聚變和實(shí)驗(yàn)室天體物理相關(guān)的自生磁場(chǎng)研究有推動(dòng)作用.例如,Huntington 等[21]和Zhou 等[22]通過(guò)質(zhì)子照相證實(shí)了等離子體對(duì)穿過(guò)程中存在的離子、電子Weibel 不穩(wěn)定性形成的絲狀磁場(chǎng)結(jié)構(gòu);Li 等[23]和Gao 等[24]利用質(zhì)子照相觀察了納秒激光燒蝕CH材料時(shí)的表面磁場(chǎng)產(chǎn)生過(guò)程,可以清楚判斷出Biermann 電池效應(yīng)產(chǎn)生的環(huán)形磁場(chǎng)結(jié)構(gòu);Tzeferacos等[25]借助質(zhì)子照相證實(shí)了磁場(chǎng)的壓縮放大過(guò)程.然而目前從質(zhì)子照相反演自生磁場(chǎng)的空間結(jié)構(gòu)時(shí)只能得到磁場(chǎng)的一維或二維結(jié)構(gòu),沿著質(zhì)子運(yùn)動(dòng)方向維度的分布信息往往被平均[26].這將不利于對(duì)磁場(chǎng)的強(qiáng)度和空間分布的認(rèn)識(shí),以及實(shí)驗(yàn)診斷與數(shù)值模擬的相互校驗(yàn)[2].

等離子體中存在具有柱對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的自生磁場(chǎng),如等離子體噴流[3]或電容線圈靶[12]中的磁場(chǎng).本研究通過(guò)理論分析發(fā)現(xiàn)當(dāng)磁場(chǎng)具有柱對(duì)稱(chēng)的結(jié)構(gòu)時(shí),側(cè)向照相的探針質(zhì)子束偏轉(zhuǎn)速度與磁場(chǎng)之間滿足Abel 變換關(guān)系.這有別于傳統(tǒng)的質(zhì)子照相反演方法,采用本方法能實(shí)現(xiàn)針對(duì)這類(lèi)柱對(duì)稱(chēng)磁場(chǎng)的三維反演重建.

2 理論分析

等離子體中自生磁場(chǎng)的質(zhì)子照相過(guò)程如圖1所示.不失一般性,假設(shè)磁場(chǎng)Bz沿著ez方向,場(chǎng)區(qū)域在ex方向的長(zhǎng)度為L(zhǎng)x.t=0 時(shí)刻,初始速度為ux0的質(zhì)子束近似平行地進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域,沿著ex方向穿過(guò)場(chǎng)區(qū)域并在t=t0時(shí)刻離開(kāi).

圖1 質(zhì)子照相示意圖Fig.1.Schematic diagram of the proton radiography.

探針質(zhì)子束在穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)因受到洛倫茲力的作用而偏轉(zhuǎn),離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí),質(zhì)子將具有ey方向上的偏轉(zhuǎn)速度:

其中 dt=dx/|ux| .經(jīng)過(guò)時(shí)間t0質(zhì)子在ex方向的位移為L(zhǎng)x,偏轉(zhuǎn)速度udy簡(jiǎn)化為

傳統(tǒng)的質(zhì)子照相反演方法中,可由(2)式估算沿ex方向的路徑平均磁場(chǎng)

(3) 式得到的平均磁場(chǎng)損失了ex方向的空間信息.相較于結(jié)構(gòu)不規(guī)則、表征復(fù)雜的自生磁場(chǎng),本研究發(fā)現(xiàn)對(duì)具有柱對(duì)稱(chēng)分布的磁場(chǎng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁|(zhì)子照相反演分析,能獲得磁場(chǎng)的三維結(jié)構(gòu)信息.

(4) 式中g(shù)(r) 為柱對(duì)稱(chēng)函數(shù).對(duì)比(2)式和(4) 式,對(duì)于柱對(duì)稱(chēng)的磁場(chǎng),兩個(gè)公式具有相同的形式,僅僅是積分上下限不同.而磁場(chǎng)在 (?∞,0) 和(Lx,+∞)區(qū)域內(nèi)近似為0,則柱對(duì)稱(chēng)磁場(chǎng)Bz與偏轉(zhuǎn)速度udy滿足Abel 變換關(guān)系.如果udy可被反演獲得,則可通過(guò)Abel 逆變換公式重建得到Bz(r,z),即:

偏轉(zhuǎn)速度udy的分布通?？赏ㄟ^(guò)密度擾動(dòng)法實(shí)現(xiàn)重建[28,29],有

其中,M=LD/LS+1 是幾何放大因子,LD和LS分別為待診斷場(chǎng)到探測(cè)器和質(zhì)子源的距離,dl是探測(cè)器上沿著偏轉(zhuǎn)速度方向ey的單位長(zhǎng)度,n和n0分別為有、無(wú)磁場(chǎng)時(shí)探測(cè)器上獲得的質(zhì)子通量密度[30].需要注意的是,在利用(6)式反演udy時(shí),需要判斷偏轉(zhuǎn)速度的方向.對(duì)于更加復(fù)雜的偏轉(zhuǎn)速度分布,則可以參考Bott 等[26]介紹的蒙日-安培法來(lái)實(shí)現(xiàn)任意udy二維分布的重建.此外,(6) 式還需要通量密度擾動(dòng)滿足 δn/n0=n/n0?1<1,以表示質(zhì)子束徑跡未發(fā)生交叉或重疊[29].udy也可以通過(guò)紋影法[12]獲得,即在質(zhì)子源和待診斷場(chǎng)之間放置一個(gè)柵格,通過(guò)讀取網(wǎng)格的相對(duì)形變來(lái)表征探針質(zhì)子在穿過(guò)磁場(chǎng)后的偏轉(zhuǎn)速度[31].由于受到柵格加工工藝的限制,紋影法的空間分辨能力具有局限性[12].

上述分析表明,當(dāng)磁場(chǎng)具有柱對(duì)稱(chēng)分布時(shí),可以利用質(zhì)子照相實(shí)現(xiàn)其三維結(jié)構(gòu)的反演.為了考察該方法的可行性,本文進(jìn)行了數(shù)值模擬來(lái)驗(yàn)證.

3 數(shù)值模擬

在質(zhì)子照相的數(shù)值模擬中,設(shè)置待診斷的磁場(chǎng)B沿著ez方向,在x-y平面內(nèi)具有柱對(duì)稱(chēng)分布,即:

進(jìn)一步設(shè)磁場(chǎng)的峰值強(qiáng)度為B0=5 T,R0=25 μm,Z0=100 μm,磁場(chǎng)的空間范圍為lx=ly=lz=100 μm,如圖2(a) 所示.平行的探針質(zhì)子束沿著ex方向照射磁場(chǎng)區(qū)域,其動(dòng)能為20 MeV,受磁場(chǎng)影響,探針質(zhì)子獲得ey方向上的偏轉(zhuǎn)速度.探針質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可采用七階龍格-庫(kù)塔法計(jì)算.在穿出磁場(chǎng)區(qū)域后,質(zhì)子經(jīng)自由飛行后被記錄在約LD=1 cm 外y-z平面內(nèi)的探測(cè)器上,統(tǒng)計(jì)得到的通量密度擾動(dòng)δn/n0如圖2(b) 所示.

圖2 (a)預(yù)設(shè)磁場(chǎng)B 在x=50 μm 平面上的分布;(b)探測(cè)面上的質(zhì)子通量密度擾動(dòng)Fig.2.(a) Distributions of the preset magnetic field at x=50 μm;(b) the flux density perturbations of the protons in the detection plane.

從圖2(b)可見(jiàn),質(zhì)子最大通量密度擾動(dòng)約為(δn/n0)max=0.2<1,說(shuō)明探針質(zhì)子的軌跡未發(fā)生交叉或重疊,因此可以利用(6)式實(shí)現(xiàn)偏轉(zhuǎn)速度udy的反演,獲得的udy如圖3(a)所示.通過(guò)正算模擬得到的偏轉(zhuǎn)速度usim和反演重建得到的偏轉(zhuǎn)速度urec的一維對(duì)比如圖3(b)所示,分別用紅線和藍(lán)線表示,其最大值分別為2.07×104m/s 和2.04×104m/s,相差僅約1%,表明偏轉(zhuǎn)速度得到了較好的反演.

將圖3(a) 中的udy代入(5)式中,反演獲得的磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)Brec(r,z)如圖4(a) 所示,與預(yù)設(shè)磁場(chǎng),即圖2(a),具有相近的分布.圖4(b) 給出的是z=50 μm 處的預(yù)設(shè)磁場(chǎng)Bset(紅線),由(5)式反演得到的磁場(chǎng)Brec(當(dāng)y=rsinθ的夾角θ=π/2 時(shí))(藍(lán)線)和由(3)式反演得到的路徑平均磁場(chǎng)Bavg(黑線)在ey方向上的一維分布.三者的半高全寬分別為41.6 μm,37.9 μm 和41.0 μm,反演磁場(chǎng)和平均磁場(chǎng)相較于預(yù)設(shè)磁場(chǎng)相差分別為8.9%和1.4%;磁場(chǎng)的峰值強(qiáng)度分別為5.0 T,4.9 T,2.1 T,傳統(tǒng)反演方法給出的磁場(chǎng)峰值強(qiáng)度相較于預(yù)設(shè)磁場(chǎng)相差58.0%,而本文提出的方法給出的磁場(chǎng)峰值強(qiáng)度相較于預(yù)設(shè)磁場(chǎng)僅相差2.0%.

圖3 (a)質(zhì)子偏轉(zhuǎn)速度的反演結(jié)果;(b)質(zhì)子的模擬偏轉(zhuǎn)速度和反演偏轉(zhuǎn)速度在z=50 μm 時(shí)的徑向分布Fig.3.(a) Reconstruction of the protons deflection velocities;(b) the radial distributions of the protons inversion deflection velocities and simulated deflection velocities at z=50 μm.

圖4 (a)反演磁場(chǎng)Brec 在r-z 平面的投影;(b)預(yù)設(shè)磁場(chǎng)Bset、反演磁場(chǎng)Brec 及路徑平均磁場(chǎng)Bavg 的一維分布Fig.4.(a) Projection of the inversion magnetic field Brec on the r-z plane;(b) the one-dimensional (1D) distributions of the preset magnetic field Bset,the inversion magnetic field Brec and the path average magnetic field Bavg.

利用上述數(shù)值模擬,定性及定量地從結(jié)構(gòu)上和數(shù)值上證明了Abel 逆變換反演方法能很好地重建磁場(chǎng),驗(yàn)證了該方案診斷待測(cè)量柱對(duì)稱(chēng)磁場(chǎng)的可行性.

4 討論

在高能量密度物理磁場(chǎng)的質(zhì)子照相研究中,待診斷磁場(chǎng)可能具有柱對(duì)稱(chēng)的分布(例如電容線圈靶磁場(chǎng)[12]和等離子體噴流自生磁場(chǎng)[3]等)或局部具有柱對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu).本文介紹的反演方法可幫助對(duì)磁場(chǎng)的強(qiáng)度和結(jié)構(gòu)進(jìn)行更加精確的反演診斷.以參考文獻(xiàn)[3]中Li 實(shí)驗(yàn)組有關(guān)等離子體噴流自生磁場(chǎng)的質(zhì)子照相實(shí)驗(yàn)為例進(jìn)行演示.

圖5(a)引用自參考文獻(xiàn)[3]中的圖3(c),是ns激光與CH 靶相互作用中形成等離子體噴流的側(cè)向質(zhì)子照相結(jié)果,其中質(zhì)子探測(cè)器為RCF 堆棧片,視場(chǎng)大小為7 cm×7 cm,探針質(zhì)子束的能量為14.7 MeV,實(shí)驗(yàn)中放大倍數(shù)M=29.理論和模擬結(jié)果表明,該等離子體內(nèi)噴流可以攜帶著凍結(jié)在其中的垂直于靶面的磁場(chǎng)Bz,在x-y平面內(nèi)近似具有柱對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu).對(duì)距離視場(chǎng)左邊緣3.5—4 cm 的質(zhì)子照相通量密度擾動(dòng)δn/n0的分析表明,可以滿足δn/n0<1,見(jiàn)圖5(b).同理于第3 節(jié)中的方法,在通過(guò)(6)式反演獲得偏轉(zhuǎn)速度后,借助(5)式最終重建出磁場(chǎng)Brec.當(dāng)y=rsinθ的夾 角θ=π/2 時(shí),磁場(chǎng)Brec在圖5(a)中z=3.75 cm 處的一維分布見(jiàn)圖5(c) (紅線).作為對(duì)比,圖5(c)還給出了由(3)式求得的路徑平均磁場(chǎng)Bavg在z=3.75 cm 處的分布(藍(lán)線).

從圖5(c)可知,傳統(tǒng)方法與本文提出的方法給出的磁場(chǎng)峰值位置基本相同,但前者給出的磁場(chǎng)最大強(qiáng)度為3.9 T,半高全寬為144 μm.而后者給出的磁場(chǎng)最大強(qiáng)度為7.7 T,半高全寬則為136 μm.可見(jiàn),傳統(tǒng)方法會(huì)低估磁場(chǎng),本文所述方法給出的磁場(chǎng)峰值強(qiáng)度約為傳統(tǒng)方法反演結(jié)果的1.9 倍.此外,如果將重建得到的三維磁場(chǎng)沿著ex方向進(jìn)行平均,得到的磁場(chǎng)最大強(qiáng)度約3.7 T,與傳統(tǒng)方法給出的結(jié)果一致.相比于傳統(tǒng)方法,本文中三維反演方法的最大優(yōu)勢(shì)是可以提供更細(xì)致的磁場(chǎng)強(qiáng)度空間分布.

圖5 (a)等離子體噴流的質(zhì)子照相實(shí)驗(yàn)原圖[3];(b)局部的質(zhì)子通量密度擾動(dòng);(c)反演磁場(chǎng)Brec 和路徑平均磁場(chǎng)Bavg 的一維分布Fig.5.(a) Original proton radiographic image of the plasma jet;(b) the flux density perturbations of the protons at the local area;(c) the 1D distributions of the inversion magnetic field Brec and the path average magnetic field Bavg.

通過(guò)對(duì)上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理,直觀驗(yàn)證了本方法實(shí)際應(yīng)用于質(zhì)子照相實(shí)驗(yàn)中的有效性,基于Abel 逆變換的反演方法可促進(jìn)對(duì)等離子體噴流自生磁場(chǎng)的產(chǎn)生和電子熱傳導(dǎo)形成更加清晰的認(rèn)識(shí).

5 結(jié)論

基于對(duì)質(zhì)子照相及其反演過(guò)程的理論分析,本文提出了一種針對(duì)柱對(duì)稱(chēng)磁場(chǎng)三維結(jié)構(gòu)的質(zhì)子照相反演方法,其核心是偏轉(zhuǎn)速度和待診斷場(chǎng)之間存在的Abel 變換關(guān)系.通過(guò)數(shù)值模擬,驗(yàn)證了該方法在重建磁場(chǎng)三維結(jié)構(gòu)時(shí)的可行性.此外,本文還將該反演方法應(yīng)用于等離子體噴流自生磁場(chǎng)的質(zhì)子照相實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析處理中,獲得了磁場(chǎng)的空間結(jié)構(gòu),其強(qiáng)度約為傳統(tǒng)路徑平均方法反演結(jié)果的1.9 倍,證明了該方法實(shí)驗(yàn)應(yīng)用上的價(jià)值.該方法提供了更多可待探究的磁場(chǎng)空間信息,為質(zhì)子照相反演方法及其應(yīng)用提供了新的思路,有助于加深對(duì)等離子體中磁場(chǎng)的認(rèn)識(shí).