常見(jiàn)抽象函數(shù)問(wèn)題的解法

毛元鳳

在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)遇到抽象函數(shù)問(wèn)題.此類(lèi)問(wèn)題較為抽象，很多同學(xué)在面對(duì)此類(lèi)問(wèn)題時(shí)常常不知道該如何下手.對(duì)此，筆者對(duì)常見(jiàn)的兩類(lèi)抽象函數(shù)問(wèn)題及其解法進(jìn)行了探究，希望能對(duì)同學(xué)們有所幫助.

一、抽象函數(shù)不等式問(wèn)題

抽象函數(shù)不等式問(wèn)題不僅考查了抽象函數(shù)的定義、性質(zhì)，還考查了不等式知識(shí).此類(lèi)問(wèn)題一般不給出具體的函數(shù)解析式，要求根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)或已知關(guān)系式明確函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性等.我們需由此將不等式中的自變量值轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“ f ”，將不等式轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式，通過(guò)解不等式求得問(wèn)題的答案.

例1.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且在-1，1上單調(diào)遞增，解不等式

解：由于函數(shù)是奇函數(shù)，

所以，

由可得，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，

所以

解得：

本題較為簡(jiǎn)單，只需在上討論不等式中自變量值的取值范圍和大小關(guān)系即可.在討論自變量值的大小時(shí)，需靈活運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)建立關(guān)系式.

例2.已知奇函數(shù) f（x）的定義域?yàn)閇-2，2]，且在區(qū)間[-2，0]上遞減，求滿(mǎn)足 f（1-m）+f（1-m2）<0的實(shí)數(shù) m 的取值范圍.

解：∵ f（x）的定義域?yàn)閇-2，2]，

∴-2≤1-m ≤2，-2≤1-m2≤2，

解得-1≤m≤ ①.

又 f（x）為奇函數(shù)，且在[-2，0]上遞減，

∴ f（x）在[-2，2]上遞減，

∴ f（1-m）<-f（1-m2）=f（m2-1），

∴1-m >m2-1，

解得-2< m <1②.綜合①②可得，-1≤m <1.

即實(shí)數(shù) m 的取值范圍是[-1，1）.

在解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，可利用函數(shù)的單調(diào)性將“ f ”符號(hào)去掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式.在此過(guò)程中應(yīng)特別關(guān)注函數(shù)的定義域.

二、求抽象函數(shù)的值

求抽象函數(shù)的值，通常需根據(jù)題意確定函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求值.在求解抽象函數(shù)值問(wèn)題時(shí)，我們可將函數(shù)與簡(jiǎn)單基本函數(shù)相關(guān)聯(lián)，如將與指數(shù)函數(shù) y =ax 類(lèi)比;將與對(duì)數(shù)函數(shù)類(lèi)比;將與冪函數(shù)類(lèi)比;將與一次函數(shù)類(lèi)比.再根據(jù)類(lèi)比的函數(shù)性質(zhì)和解析式來(lái)求函數(shù)的值.通過(guò)類(lèi)比基本簡(jiǎn)單函數(shù)，可快速明確抽象函數(shù)的性質(zhì)、結(jié)構(gòu)特征.

例3.對(duì)于任意實(shí)數(shù)均成立，若，求的值.

解：因?yàn)椋?/p>

所以令，

即，

所以是一個(gè)首項(xiàng)為，公差為2的等差

數(shù)列，

則.綜上可得，.

在解答本題時(shí)，我們需先將已知關(guān)系式與指數(shù)函數(shù) y =a 類(lèi)比x，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)明確抽象函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，得到 ，然后將看作等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式求得目標(biāo)式的值.

抽象函數(shù)問(wèn)題的難度一般較大，在解題時(shí)我們需仔細(xì)研究已知條件，將其類(lèi)比為簡(jiǎn)單基本函數(shù)，或?qū)ζ滟x值，以便明確更多的函數(shù)性質(zhì)以及結(jié)構(gòu)特征，這樣便能根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對(duì)稱(chēng)性等來(lái)解不等式、求值.

（作者單位：江蘇省靖江高級(jí)中學(xué)）