基于XFEM的預(yù)應(yīng)力混凝土梁裂紋擴(kuò)展研究

胡 筱 ， 龐 明 亮， 王 雨

(中國(guó)電建集團(tuán)成都勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，四川 成都 610072)

0 引 言

自20世紀(jì)以來(lái)，混凝土在土木工程領(lǐng)域得到大量應(yīng)用，已經(jīng)成為當(dāng)前使用量最大的工程材料。工程中，混凝土具有較明顯的脆性特征，同時(shí)也具有強(qiáng)烈的非均勻性，其內(nèi)部有宏觀的缺陷，如裂紋、夾渣、氣泡及孔穴等，在外荷載或者溫度荷載作用下，易發(fā)生開(kāi)裂破壞[1]。由于混凝土材料的特性，在各種應(yīng)力條件下，受拉狀態(tài)是混凝土相對(duì)最不利受力狀態(tài)。工程中常見(jiàn)的混凝土開(kāi)裂問(wèn)題大多是由于拉應(yīng)力超過(guò)混凝土材料抗拉性能引起的，典型現(xiàn)象如隧道襯砌變形開(kāi)裂、早期大體積混凝土在溫度應(yīng)力作用下的膨脹開(kāi)裂等，而這些現(xiàn)象的細(xì)觀本質(zhì)則是材料內(nèi)部在荷載作用下裂隙、骨料膠結(jié)界面、孔洞等缺陷發(fā)生裂紋，繼而擴(kuò)展、貫通的斷裂力學(xué)過(guò)程[2]。因此，研究混凝土斷裂過(guò)程有利于認(rèn)識(shí)混凝土開(kāi)裂破壞的內(nèi)在因素，進(jìn)而為優(yōu)化混凝土材料性能及預(yù)測(cè)混凝土開(kāi)裂問(wèn)題提供力學(xué)依據(jù)。

隨著力學(xué)、數(shù)學(xué)理論的發(fā)展和計(jì)算機(jī)性能的提升，數(shù)值模擬逐漸成為研究材料斷裂問(wèn)題的一個(gè)有效手段，常見(jiàn)模擬材料斷裂行為的數(shù)值模擬方法包括離散元法、有限元法、邊界元法、數(shù)值流形元法等，其中應(yīng)用最廣的方法當(dāng)屬離散元法和有限元法。離散元法將材料離散為大量顆粒，顆粒間通過(guò)法向和切向不同的接觸行為模擬真實(shí)材料的膠結(jié)狀態(tài)，粒間件處理通過(guò)力-位移法則計(jì)算，而顆粒運(yùn)動(dòng)則通過(guò)牛頓運(yùn)動(dòng)定律描述；當(dāng)荷載引起的應(yīng)力超過(guò)接觸強(qiáng)度準(zhǔn)則時(shí)，粒間接觸失效，宏觀上即可模擬裂紋的萌生和擴(kuò)展行為[3]。

離散元法抓住了材料細(xì)觀離散的本質(zhì)，在固體材料斷裂力學(xué)行為的模擬及細(xì)觀機(jī)理研究方面具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，但顆?；哪Ｐ徒Y(jié)構(gòu)給離散元法模擬尺度帶來(lái)了巨大局限。工程中，壩體、襯砌、梁柱等結(jié)構(gòu)均屬于較大～超大尺寸結(jié)構(gòu)，在這樣大尺度條件下模擬材料顆粒集合的力學(xué)行為，在當(dāng)前計(jì)算機(jī)技術(shù)水平條件下，費(fèi)時(shí)費(fèi)財(cái)，難度頗大。有限元法將宏觀材料視為連續(xù)均勻介質(zhì)，通過(guò)網(wǎng)格劃分將研究對(duì)象離散為計(jì)算單元，通過(guò)定義單元材料的應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系，描述材料力學(xué)性質(zhì)，并通過(guò)節(jié)點(diǎn)位移的連續(xù)協(xié)調(diào)實(shí)現(xiàn)模型的整體計(jì)算。傳統(tǒng)有限元的計(jì)算理論決定了模型計(jì)算結(jié)果是連續(xù)的，對(duì)斷裂問(wèn)題的模擬一般通過(guò)網(wǎng)格重劃分來(lái)實(shí)現(xiàn)，這種方式不僅工作量大，還存在新舊網(wǎng)格狀態(tài)變量映射的問(wèn)題[4]。20世紀(jì)90年代末，Belytschko教授團(tuán)隊(duì)[5-7]基于單位分解的思想首先提出了擴(kuò)展有限元法(XFEM)，該方法通過(guò)引入不連續(xù)位移模式，使不連續(xù)位移場(chǎng)的描述獨(dú)立于有限元網(wǎng)格劃分，克服了傳統(tǒng)有限元模擬斷裂問(wèn)題需要反復(fù)重新劃分網(wǎng)格的局限性。20余年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)展了大量研究工作，使擴(kuò)展有限元理論和應(yīng)用水平得到了很大發(fā)展[8-11]。

1 ANSYS擴(kuò)展有限元的基本原理

擴(kuò)展有限元技術(shù)由于其不依賴網(wǎng)格劃分、不需要預(yù)知裂紋擴(kuò)展路徑，在模擬固體材料斷裂行為的研究中具有良好的應(yīng)用前景。

1.1 單位分解思想

常規(guī)有限元方法用多項(xiàng)式作為形函數(shù)，精度依賴于多項(xiàng)式局部逼近特性，對(duì)于很多問(wèn)題，這種單純的多項(xiàng)式逼近效果并不夠理想。1996年，Melenk 和Babuska[12]以及Duarte 和Oden[13]先后提出單位分解法。該方法的基本思想是將任意函數(shù)用其域內(nèi)一組局部函數(shù)Ni(x)φ(x)表示，即：

(1)

式中Ni(x)為有限元形函數(shù)，其形式不限于普通多項(xiàng)式，且有：

(2)

1.2 擴(kuò)展有限元法的基本方程

擴(kuò)展有限元法基于單位分解思想，在計(jì)算時(shí)引入虛擬的節(jié)點(diǎn)附加自由度，將裂紋擴(kuò)展引發(fā)的不連續(xù)位移進(jìn)行分解，即分解為有限元模型節(jié)點(diǎn)的位移分量和裂紋擴(kuò)展引起的界面不連續(xù)位移分量，可表示為下列顯式函數(shù)[14]：

(3)

當(dāng)考慮裂紋尖端應(yīng)力集中引起的奇異性，則任意一點(diǎn)的位移向量還應(yīng)增加一項(xiàng)反映裂紋尖端奇異性的位移分量，則總位移向量表示為：

(4)

(5)

1.3 水平集方法

由于擴(kuò)展有限單元法允許裂紋穿過(guò)單元，即網(wǎng)格與間斷面相互獨(dú)立，因此，需要對(duì)間斷面進(jìn)行幾何描述，常用方法為水平集方法(level sets method)[15]。另一方面，在XFEM中構(gòu)造擴(kuò)充形函數(shù)時(shí)往往也需要借助水平集函數(shù)。水平集方法是一種分析、計(jì)算并追蹤界面運(yùn)動(dòng)的數(shù)值方法，用與空間、時(shí)間有關(guān)的水平集函數(shù)f(x(t),t)來(lái)描述與網(wǎng)格無(wú)關(guān)的間斷。因?yàn)樵黾恿藭r(shí)間變量，所以水平集函數(shù)要比間斷的維數(shù)高出一維。在計(jì)算過(guò)程中，間斷上的點(diǎn)始終滿足f(x(t),t)=0的條件。

(6)

2 基于ANSYS XFEM的混凝土梁裂紋擴(kuò)展模型

本文基于ANSYS XFEM，在二維條件下對(duì)比模擬預(yù)制裂紋的簡(jiǎn)支混凝土梁在集中荷載作用下，有無(wú)預(yù)應(yīng)力情況下的裂紋擴(kuò)展行為。帶預(yù)制裂紋的簡(jiǎn)支混凝土梁受跨中集中荷載示意見(jiàn)圖1。

圖1 帶預(yù)制裂紋的簡(jiǎn)支混凝土梁受跨中集中荷載示意圖

為此，建立ANSYS有限元模型，簡(jiǎn)支混凝土梁及裂紋有限元模型見(jiàn)圖2，模型共計(jì)3 131個(gè)節(jié)點(diǎn)，3 000個(gè)單元，單元類(lèi)型采用PLANE182二維單元；模型底面左右側(cè)節(jié)點(diǎn)處施加y方向法向位移約束，跨中頂部沿-y方向從0開(kāi)始逐漸施加3 000 kN的集中荷載，并約束跨中頂部x方向位移。

(a) 無(wú)預(yù)應(yīng)力混凝土梁

(b)預(yù)應(yīng)力混凝土梁圖2 簡(jiǎn)支混凝土梁及裂紋有限元模型

混凝土及預(yù)應(yīng)力筋力學(xué)參數(shù)見(jiàn)表1；混凝土裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則采用最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則，啟裂最大周向應(yīng)力值設(shè)定為1.78 MPa；預(yù)應(yīng)力筋的模擬采用溫降法實(shí)現(xiàn)，張拉力為1 333 kN，為消除鋼筋彈性模量、泊松比對(duì)于裂紋擴(kuò)展的影響，故取鋼筋彈性模量、泊松比與混凝土相同，僅保留預(yù)應(yīng)力效果。在跨中荷載作用下，裂紋擴(kuò)展計(jì)算過(guò)程最大子步數(shù)100步，每子步0.01 s，總時(shí)長(zhǎng)1 s。

表1 混凝土及預(yù)應(yīng)力筋力學(xué)參數(shù)表

3 裂紋擴(kuò)展結(jié)果分析

通過(guò)建立擴(kuò)展有限元模型并進(jìn)行計(jì)算，并對(duì)混凝土梁應(yīng)力變形、裂紋擴(kuò)展特征進(jìn)行監(jiān)測(cè)。

混凝土是一種抗壓不抗拉材料，混凝土簡(jiǎn)支梁的底部裂紋擴(kuò)展是否劇烈與梁的跨中豎向位移有著密切的聯(lián)系。圖3為有、無(wú)預(yù)應(yīng)力條件下，混凝土梁頂部荷載-頂部位移圖，圖4為有、無(wú)預(yù)應(yīng)力條件下，混凝土梁頂部荷載—最大裂紋寬度圖。

圖3 混凝土梁頂部荷載-頂部位移圖

圖4 混凝土梁頂部荷載-最大裂紋寬度圖

在表示混凝土梁頂部荷載-頂部位移的圖3中，由于預(yù)應(yīng)力的作用，混凝土梁產(chǎn)生反彎現(xiàn)象，預(yù)應(yīng)力梁跨中頂部豎向位移初值略大于0；在F=1 400 kN之前，有、無(wú)預(yù)應(yīng)力梁的跨中頂部豎向位移均呈現(xiàn)直線下降趨勢(shì)，且兩直線段的斜率基本一致，這說(shuō)明在這段區(qū)域，混凝土梁產(chǎn)生穩(wěn)定的形變且未發(fā)生裂紋擴(kuò)展，這一結(jié)論也由混凝土梁頂部荷載-最大裂紋寬度的圖4中F=1 400 kN前裂紋張開(kāi)寬度基本為0所驗(yàn)證。在圖3中，無(wú)預(yù)應(yīng)力梁的跨中頂部豎向位移于F=1 400 kN發(fā)生突變，有預(yù)應(yīng)力梁的跨中頂部豎向位移于F=2 250 kN發(fā)生突變，結(jié)合圖4的裂紋寬度突變點(diǎn)分析，跨中頂部豎向位移突變?yōu)榈撞苛鸭y發(fā)生擴(kuò)展所導(dǎo)致，這說(shuō)明混凝土裂紋的擴(kuò)展均需達(dá)到某個(gè)臨界點(diǎn)才會(huì)發(fā)生。圖3、圖4中均可見(jiàn)預(yù)應(yīng)力梁的穩(wěn)定段更長(zhǎng)，突變段更短，突變之后還有穩(wěn)定段；而無(wú)預(yù)應(yīng)力梁一旦進(jìn)入突變段，突變速度將越來(lái)越大；可見(jiàn)，預(yù)應(yīng)力可以有效地增加裂紋起裂的臨界荷載，且有效控制裂紋起裂后的擴(kuò)展速度。

圖5為無(wú)預(yù)應(yīng)力條件下，混凝土梁的裂紋擴(kuò)展過(guò)程von mises應(yīng)力云圖，從圖5(b)可見(jiàn)，當(dāng)F=1 500 kN時(shí)，無(wú)預(yù)應(yīng)力混凝土梁只有輕微的起裂現(xiàn)象，而在裂紋起裂以后，隨著荷載的增加和混凝土完整性的降低，裂紋開(kāi)始迅速擴(kuò)展，當(dāng)F=3 000 kN時(shí)，裂紋長(zhǎng)度已達(dá)2.095 m。

(a)F=750 kN

(b)F=1 500 kN

(c)F=2 250 kN

(d)F=3 000 kN圖5 無(wú)預(yù)應(yīng)力混凝土裂紋擴(kuò)展過(guò)程von mises應(yīng)力云圖

圖6為預(yù)應(yīng)力條件下，混凝土梁的裂紋擴(kuò)展過(guò)程von mises應(yīng)力云圖，從圖6(a)可見(jiàn)，當(dāng)F=2 250 kN時(shí)，預(yù)應(yīng)力混凝土梁還未起裂；從圖6(b)可見(jiàn)，當(dāng)F=2 310 kN時(shí)，相比F=2 250 kN僅增加60 kN，但裂紋長(zhǎng)度已達(dá)到0.286 m，相比無(wú)預(yù)應(yīng)力條件下圖5(a)擴(kuò)展到圖5(b)所增加的750 kN，有預(yù)應(yīng)力條件下的裂紋擴(kuò)展更加突然和劇烈；由圖6(c)、6(d)，在裂紋長(zhǎng)度擴(kuò)展至0.381 m后，集中荷載F由2 370 kN增加630～3 000 kN，裂紋長(zhǎng)度并未繼續(xù)擴(kuò)展，也說(shuō)明了在預(yù)應(yīng)力的作用下，裂紋擴(kuò)展比無(wú)預(yù)應(yīng)力條件下更加突然；

(a)F=2 250 kN

(b)F=2 310 kN

(c)F=2 370 kN

(d)F=3 000 kN圖6 有預(yù)應(yīng)力混凝土裂紋擴(kuò)展過(guò)程von mises應(yīng)力云圖

而在裂紋突然擴(kuò)展后，預(yù)應(yīng)力混凝土梁不會(huì)發(fā)生如無(wú)預(yù)應(yīng)力混凝土中的裂紋連續(xù)擴(kuò)展，而是隨著荷載的增加發(fā)生逐段的突變擴(kuò)展。綜合圖5和圖6，可以看出預(yù)應(yīng)力可以明顯提升混凝土的抗裂性能，可以有效控制裂紋的擴(kuò)展長(zhǎng)度及張開(kāi)寬度。

4 結(jié) 論

混凝土開(kāi)裂多是由于混凝土材料中拉應(yīng)力超過(guò)抗拉極限引起的，在工程中常用預(yù)應(yīng)力來(lái)增強(qiáng)混凝土整體的抗拉性能。通過(guò)對(duì)有、無(wú)預(yù)應(yīng)力的預(yù)制裂紋混凝土梁在ANSYS中進(jìn)行逐級(jí)加載的擴(kuò)展有限元分析，比較其變形特征及裂紋擴(kuò)展特征，可得到以下結(jié)論：

(1)混凝土裂紋的擴(kuò)展需達(dá)到臨界荷載才會(huì)發(fā)生，預(yù)應(yīng)力的施加可以有效提高混凝土開(kāi)裂的臨界荷載；

(2)混凝土的裂紋開(kāi)裂是突然的，而預(yù)應(yīng)力的施加會(huì)加劇這種開(kāi)裂的突然性，預(yù)應(yīng)力混凝土的裂紋開(kāi)裂會(huì)更加劇烈；

(3)無(wú)預(yù)應(yīng)力混凝土梁的預(yù)制裂紋一旦開(kāi)裂，裂紋將隨著荷載的增加而連續(xù)擴(kuò)展，且擴(kuò)展速度越來(lái)越快，而預(yù)應(yīng)力的施加會(huì)改變裂紋擴(kuò)展模式，使得裂紋隨著荷載的增加發(fā)生逐段的突變擴(kuò)展；

(4)在相同荷載作用下，相比無(wú)預(yù)應(yīng)力混凝土，預(yù)應(yīng)力的施加顯著降低了底部裂紋的擴(kuò)展長(zhǎng)度及裂紋最大張開(kāi)寬度，有效的控制了裂紋擴(kuò)展。