基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的機(jī)械臂滑模控制

馬惠雯，楊 帆，孫曉晉

（天津城建大學(xué) 控制與機(jī)械工程學(xué)院，天津 300384）

目前，由于機(jī)械臂可以代替人類干一些危險或消耗體力的工作，以至于機(jī)械臂產(chǎn)業(yè)發(fā)展的非常迅速.為了讓機(jī)械臂更好地工作，對它的軌跡控制精度必須十分重視.本文研究對象是六自由度機(jī)械臂，由于外部對機(jī)械臂的干擾和機(jī)械臂本身的參數(shù)誤差，使得機(jī)械臂的軌跡中產(chǎn)生偏差.為了提高控制性能，很多研究人員提供了許多控制方法.肖仁等[1]提出了一種基于固定時間擾動觀測器的滑?？刂品椒?，該方法能夠?qū)_動估計并進(jìn)行前饋補(bǔ)償，再通過滑?？刂迫ヒ种葡到y(tǒng)中的抖振現(xiàn)象.王頔等[2]提出了一種基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的軌跡控制方法，利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線學(xué)習(xí)的能力去逼近模型，建立PID反饋控制回路，利用反饋產(chǎn)生的差值去糾正系統(tǒng)運(yùn)動軌跡的誤差.謝宏等[3]提出了一種基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的滑?？刂品椒?，對系統(tǒng)中的擾動構(gòu)建卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并對它補(bǔ)償，再結(jié)合滑模控制方法可以實現(xiàn)運(yùn)動軌跡的精確跟蹤及減小系統(tǒng)抖振.基于韓京清教授提出的自抗擾控制技術(shù)，本文設(shè)計了基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的滑模控制方法，它最大的優(yōu)點是可以對復(fù)雜的非線性系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)重構(gòu)和估計，即使不知道這個系統(tǒng)的精確模型，也能對系統(tǒng)進(jìn)行前饋補(bǔ)償.本文的機(jī)械臂系統(tǒng)是由狀態(tài)變量關(guān)節(jié)位置q和關(guān)節(jié)角速度q˙構(gòu)成的，將系統(tǒng)本身的不確定參數(shù)和外部擾動等看成一個總擾動，加入對總擾動的觀測狀態(tài)后，系統(tǒng)由二階擴(kuò)張為三階.選取合適的參數(shù)，擴(kuò)張狀態(tài)觀測器可以估計出機(jī)械臂系統(tǒng)的狀態(tài)變量q和q˙，以及被擴(kuò)張的擾動狀態(tài)量.將估計出的數(shù)值和趨近律引入設(shè)計好的滑模控制律中，可增強(qiáng)機(jī)械臂系統(tǒng)的抗干擾能力并能減少系統(tǒng)的抖振.

1 機(jī)械臂動力學(xué)模型

本文采用拉格朗日能量法來建立機(jī)械臂的動力學(xué)模型，該方法可以基于機(jī)械臂做功及能量交換情況來推導(dǎo)出機(jī)械臂關(guān)節(jié)變量的一、二階導(dǎo)數(shù)與作用在各關(guān)節(jié)的力矩之間的一個關(guān)系方程.系統(tǒng)動力學(xué)模型為后面的控制器設(shè)計和仿真提供了依據(jù)，是研究機(jī)械臂軌跡跟蹤問題的基礎(chǔ)條件.

六自由度機(jī)械臂的動力學(xué)方程可被非線性微分方程表示為

因為有未知擾動的存在，為了讓觀測器更好地跟蹤系統(tǒng)的期望角度qd，作出以下假設(shè)：

假設(shè)1：機(jī)械臂系統(tǒng)的期望角度qd及其二階導(dǎo)數(shù)都存在且有界.

假設(shè)2：未知擾動d存在且有界，而且必須在系統(tǒng)可承受范圍內(nèi).

在機(jī)械臂系統(tǒng)建模過程中，因為受到各種因素的影響，所以很難建立一個很精確的模型，模型參數(shù)誤差是影響機(jī)械臂控制性能的關(guān)鍵因素之一，將參數(shù)不確定性表示為：

式中：M0（q）、C0（q）、G0（q）為名義模型參數(shù)；MΔ（q）、CΔ（q、GΔ（q）為實際模型參數(shù)與名義模型參數(shù)的誤差.將參數(shù)誤差和未知動態(tài)擾動統(tǒng)一歸為D，則機(jī)械臂基于名義模型的動力學(xué)方程為：

根據(jù)式（2）建立狀態(tài)方程：

圖1為本文機(jī)械臂系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖.圖1中，qd、q表示給定關(guān)節(jié)角度和實際輸出角度；τ表示關(guān)節(jié)力矩；d表示未知外部擾動；表示對總擾動的觀測值，經(jīng)擴(kuò)張狀態(tài)觀測器估計出數(shù)值后對系統(tǒng)進(jìn)行前饋補(bǔ)償.本文機(jī)械臂軌跡跟蹤控制的目的就是設(shè)計合適的控制規(guī)律去控制機(jī)械臂的關(guān)節(jié)角度和角速度，即使受到擾動d的影響，也能使機(jī)械臂精確跟隨給定路徑.

圖1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

2 擴(kuò)張狀態(tài)觀測器設(shè)計與誤差收斂證明

2.1 擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的設(shè)計

根據(jù)擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的設(shè)計原理，定義擴(kuò)張估計狀態(tài)x3=M0（q）-1（D-G0（q）-C0（q，q˙）），則式（3）可寫為：

其中w（t）=[M0（q）-1（D-G0（q）-C0（q.

在整個六自由度機(jī)械臂系統(tǒng)中，定義狀態(tài)量的觀測值為zi1、zi2、zi3（i=1，2，3，…，6）.zi1是對系統(tǒng)的關(guān)節(jié)角度q的估計，zi2是對系統(tǒng)的關(guān)節(jié)角速度q˙進(jìn)行估計，zi3是對系統(tǒng)總擾動w（t）進(jìn)行估計.則定義觀測誤差為e=zi-xi（i=1，2，3，…，6），設(shè)計本文中的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器為

其中，非線性函數(shù)fal（e，θ，μ）定義為

式中：e為機(jī)械臂關(guān)節(jié)位置的誤差矢量；μ為影響濾波效果的常數(shù)；θ為fal函數(shù)的冪次.當(dāng)誤差較大時，非線性反饋產(chǎn)生較小的增益量，使觀測器的狀態(tài)z1、z2、z3與被跟蹤的狀態(tài)x1、x2、x3不會產(chǎn)生較大偏差，可以讓機(jī)械臂的實際軌跡迅速逼近給定軌跡.

則根據(jù)式（4）和式（5），可得誤差系統(tǒng)為：

2.2 誤差收斂證明

對于機(jī)械臂系統(tǒng)，設(shè)計式（5）所示的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器使得觀測系統(tǒng)的狀態(tài)z1、z2能夠在有限時間內(nèi)精確重構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)x1、x2，同時也要使得狀態(tài)z3能夠在有限時間內(nèi)精確估計系統(tǒng)總擾動x3，本文通過選取合適的Lyapunov函數(shù)來證明觀測誤差e=zi-xi（i=1，2，3）在有限時間內(nèi)收斂.六自由度機(jī)械臂是一個串聯(lián)結(jié)構(gòu)，分別驗證單個自由度的穩(wěn)定性是不夠的，所以需要針對機(jī)械臂的六自由度這個整體為對象來證明其穩(wěn)定性.非線性fal函數(shù)是分段函數(shù)，本文從以下2個方面來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

（1）當(dāng)|e|≤μ時，第i個關(guān)節(jié)（i=1，2，3，…，6）證明如下：

設(shè)Lyapunov函數(shù)V=eTHe，H=HT＞0，使：ATH+HA≤-I，I為單位正定矩陣.

假設(shè)：w是一個有界變量，且存在一個正常數(shù)r，使‖w‖≤r.

由Young's不等式：

調(diào)整參數(shù)讓λmin（I）+r＞0，且r‖H‖2有界，可以使≤0，從而可證明誤差系統(tǒng)是漸近收斂的.

（2）當(dāng)|e|＞μ時，

證明過程類似（1）.

3 滑模控制器設(shè)計與穩(wěn)定性證明

3.1 滑?？刂破鞯脑O(shè)計

機(jī)械臂模型非線性程度大，且易受到外部強(qiáng)擾動的影響，滑?？刂漆槍@種系統(tǒng)具有很好的抗干擾能力.滑模控制器將通過控制律求出輸出控制量，機(jī)械臂的執(zhí)行機(jī)構(gòu)根據(jù)控制量的大小輸出相應(yīng)的控制力矩去驅(qū)動關(guān)節(jié)，從而可以讓機(jī)械臂的各關(guān)節(jié)沿著給定軌跡運(yùn)動.

滑?？刂破魇且詸C(jī)械臂關(guān)節(jié)位置的誤差矢量為輸入，在機(jī)械臂系統(tǒng)的狀態(tài)空間中設(shè)計一個滑模面s（x）=0，通過選取合適的控制律，當(dāng)機(jī)械臂系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡收斂到滑模面的鄰域時，能夠被控制器保持在該滑模面上，這樣就可以讓誤差趨于零，使系統(tǒng)能收斂到平衡點.

定義滑模面為：

式中，λ為正定對角矩陣，在六自由度機(jī)械臂系統(tǒng)中，λ=diang（λ1，λ2，λ3，…，λ6），λi（i=1，2，3，…，6）為滿足系統(tǒng)要求的正常數(shù)，且滿足Hurwitz條件.對（7）求導(dǎo)，得

在控制器的作用下系統(tǒng)的初始狀態(tài)會逐漸趨向于滑模面，必須滿足ss˙＜0這個條件，才能表明機(jī)械臂系統(tǒng)狀態(tài)無論在狀態(tài)空間中的任何位置都能到達(dá)滑模面.定義關(guān)節(jié)位置跟蹤誤差e=qd-q，速度跟蹤誤差當(dāng)時，此時的系統(tǒng)誤差便可收斂到零.將e和e˙的表達(dá)式代入式（8）得

由式（3）和式（4）可知，q˙=x2==M0（q）-1τ+x3，所以

式（10）中的系統(tǒng)狀態(tài)x2和未知部分x3由前文設(shè)計的擴(kuò)張觀測器中擴(kuò)張后的狀態(tài)z2和z3來代替，所以：

高頻抖振是滑?？刂品椒ǖ闹饕秉c，在趨近運(yùn)動階段強(qiáng)迫系統(tǒng)在有限時間內(nèi)到達(dá)滑模面的時候，會引起抖振現(xiàn)象.抖振會造成能量浪費(fèi)，將降低機(jī)械臂的壽命，嚴(yán)重時還會影響系統(tǒng)的控制性能.高為炳院士[17]對于這個問題提出了趨近律的概念，通過對參數(shù)進(jìn)行調(diào)整后，不僅可以保證系統(tǒng)的動態(tài)性能，還能抑制高頻抖振.在本文研究的問題中，結(jié)合趨近律設(shè)計滑模控制策略，設(shè)指數(shù)趨近律為：

其中，ε＞0，k＞0.被控系統(tǒng)的運(yùn)動由2部分組成：趨近運(yùn)動和滑模運(yùn)動.當(dāng)運(yùn)動點逼近滑模面時，也就是s趨近于零時，趨近速度為ε，這樣就可以保證運(yùn)動點有限時間內(nèi)逼近滑模面.

為了更好地讓系統(tǒng)輸出y跟蹤系統(tǒng)輸入qd，需要選取合適的控制律使得滑模函數(shù)一直保持在滑模面上.根據(jù)式（11）和（12），設(shè)計的控制律可表示為

3.2 穩(wěn)定性證明

取滑模控制的Lyapunov函數(shù)為

對該函數(shù)求導(dǎo)得：

將式（13）中的控制律τ代入得：

由Lyapunov穩(wěn)定性定理可知，對于機(jī)械臂模型式（1），當(dāng)選用式（7）所示的滑模面和式（13）所示的控制律時，該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.

4 仿真分析

為了驗證本文控制方法的有效性，借助Matlab軟件對機(jī)械臂軌跡跟蹤控制進(jìn)行仿真和研究.由于多自由度機(jī)械臂參數(shù)的不確定性和復(fù)雜性，為了在仿真時不受參數(shù)的影響，將式（2）的機(jī)械臂模型簡化成一個二階微分方程：

其中，f表示重力項，模型參數(shù)的不確定部分和外部總擾動的總和.引入常對角矩陣M0和C0后，取其中一個自由度為例，式（14）可簡化為

可以看出，機(jī)械臂系統(tǒng)的簡化模型相比較于動力學(xué)模型式（1）來說，能減小模型參數(shù)在驗證算法過程中的影響.在仿真中，設(shè)初始狀態(tài)為零，取給定軌跡qd=sin t，擾動和參數(shù)部分的總和為f=5+0.15sin（t），其他參數(shù)取值如表1所示.

表1 參數(shù)取值表

圖2為位置跟蹤效果圖，圖3為速度跟蹤效果圖.從圖2和圖3可以看出，系統(tǒng)在剛開始運(yùn)動的時候，由于有擾動的存在，實際軌跡和目標(biāo)軌跡、實際速度和目標(biāo)速度會存在一定的誤差.只要選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，擴(kuò)張狀態(tài)觀測器就能很好的估計出關(guān)節(jié)1的狀態(tài)變量，z11→x1，z12→x2，z13→x3，所以|zi-xi|≤δ，δ是很小的正整數(shù).由此可見，誤差e=zi-xi可以趨近于0，觀測器可以實現(xiàn)對期望軌跡的跟蹤.

圖2 位置跟蹤效果

圖3 速度跟蹤效果

圖4擾動估計效果圖.從圖4可知，機(jī)械臂系統(tǒng)在剛開始因為自身參數(shù)的不確定性和受到外部的擾動，系統(tǒng)剛開始的總擾動觀測值較大，但是隨著擴(kuò)張觀測器對總擾動的補(bǔ)償，使其可以很快地收斂.由于采用了滑模控制器，利用了其魯棒性強(qiáng)的優(yōu)點，收斂后不易受到其他因素的影響，所以產(chǎn)生的波動較小，能夠讓機(jī)械臂在誤差消除后跟蹤上給定軌跡.

圖4擾動估計效果

圖5為控制輸入收斂效果圖.從圖5可知，因為系統(tǒng)存在擾動，所以需要輸入力矩來控制關(guān)節(jié)達(dá)到期望的位置.一開始的控制輸入波動較大，是因為要克服機(jī)械臂受到的擾動造成的，隨后控制輸入逐漸穩(wěn)定且收斂到零.

圖5 控制輸入收斂效果

5 結(jié)論

本文針對六自由度機(jī)械臂的軌跡跟蹤問題設(shè)計了一種基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的機(jī)械臂滑?？刂品椒?首先，將系統(tǒng)總擾動看成被擴(kuò)張的狀態(tài)量，其次設(shè)計觀測器對機(jī)械臂系統(tǒng)的關(guān)節(jié)位置、關(guān)節(jié)速度和總擾動進(jìn)行估計，然后再根據(jù)觀測出的估計值設(shè)計滑?？刂破?，用Lyapunov穩(wěn)定性定理證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.仿真結(jié)果顯示，基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的滑?？刂品椒梢允沟脵C(jī)械臂的實際軌跡跟蹤上給定軌跡，擴(kuò)張狀態(tài)觀測器能夠在有限時間內(nèi)準(zhǔn)確估計系統(tǒng)的總擾動，滑?？刂破髂軌蛴行У叵壽E中存在的偏差，增強(qiáng)機(jī)械臂系統(tǒng)的穩(wěn)定性和抗干擾能力.