三叉式萬(wàn)向聯(lián)軸器主動(dòng)軸孔與滑移銷接觸分析

趙海霞,尹 權(quán)

(青島科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,山東 青島 266061)

三叉桿滑移式萬(wàn)向聯(lián)軸器作為新出現(xiàn)的一種萬(wàn)向聯(lián)軸器[1-4],對(duì)其更深層次的理論研究有助于該聯(lián)軸器推廣應(yīng)用,而滑移銷作為三叉桿滑移式萬(wàn)向聯(lián)軸器的重要傳動(dòng)部件,對(duì)其與主動(dòng)軸孔間接觸特性的研究就顯得尤為重要。

由于主動(dòng)軸孔與滑移銷的接觸形式可看作為兩圓柱體內(nèi)接觸,因此本研究將類比圓柱的分形接觸理論應(yīng)用到三叉桿滑移式萬(wàn)向聯(lián)軸器中。國(guó)外學(xué)者M(jìn)AJUMDAR和BHUSHAN[5]基于W-M分 形函數(shù),建立了M-B接觸模型來(lái)表征粗糙面接觸,其表征粗糙表面接觸不受儀器分辨率及采樣長(zhǎng)度限制。WANG和KOMVOPOULOS[6]則是修正完善了M-B接觸模型;黃康等[7]建立了適用于兩圓柱體接觸問(wèn)題的分形接觸模型,為軸承等圓柱體接觸的零件提供了強(qiáng)度、優(yōu)化等方面的理論依據(jù),尤晉閩等[8]利用所建立的分形模型揭示了粗糙接觸面的法向載荷、材料性能、分形維數(shù)與接觸剛度的復(fù)雜關(guān)系。陳奇、黃康等[9]建立了應(yīng)力計(jì)算的分形接觸模型,該模型適用于任意兩個(gè)輪廓接觸體的接觸。田紅亮[10]引入結(jié)合部虛擬材料厚度,建立了兩圓柱體的分形接觸模型,探究實(shí)際接觸面積隨內(nèi)外接觸情況、分形維數(shù)及粗糙度、虛擬材料厚度的變化情況。

本研究結(jié)合主動(dòng)軸孔與滑移銷的實(shí)際接觸情況,以M-B分形模型為基礎(chǔ)推導(dǎo)建立考慮摩擦影響的主動(dòng)軸孔與滑移銷分形接觸模型,通過(guò)MATLAB數(shù)值模擬分析獲得接觸面接觸長(zhǎng)度、分形粗糙度、分形維數(shù)、材料特性參數(shù)、摩擦因數(shù)、硬度各自對(duì)主動(dòng)軸孔與滑移銷接觸承載性能的影響。

1 滑移銷滑移運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析

如圖1所示,三叉桿滑移式萬(wàn)向聯(lián)軸器由主動(dòng)軸、滑移銷、關(guān)節(jié)軸承、三叉桿、從動(dòng)軸連接頭等組成,其中,滑移銷需要在主動(dòng)軸孔中往復(fù)滑移,完成扭矩的傳遞,因此,滑移銷既是重要的連接部件,也是重要的傳動(dòng)部件。

圖1 三叉桿滑移式萬(wàn)向聯(lián)軸器Fig.1 Three-prong sliding universal coupling

為了方便模型簡(jiǎn)化及問(wèn)題分析,將三叉桿滑移式萬(wàn)向聯(lián)軸器簡(jiǎn)化為如圖2所示的幾何模型。

圖2 三叉桿滑移式萬(wàn)向聯(lián)軸器簡(jiǎn)化幾何模型Fig.2 Simplified geometric model of trigeminal sliding universal joint

其中,輸入轉(zhuǎn)角為φi,輸出轉(zhuǎn)角為φj,由于輸入輸出轉(zhuǎn)角差值很小,近似認(rèn)為φi＝φj＝φ,R為滑移銷回轉(zhuǎn)半徑,主動(dòng)軸孔長(zhǎng)度為L(zhǎng),在聯(lián)軸器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí),從動(dòng)軸做圓錐運(yùn)動(dòng),其軸頭中心圓周運(yùn)動(dòng)半徑為r′,β為聯(lián)軸器運(yùn)行時(shí)主動(dòng)軸軸線與從動(dòng)軸軸線夾角,即偏轉(zhuǎn)角。

由文獻(xiàn)[11-12]可得滑移銷在主動(dòng)軸孔中滑移量s的函數(shù)為

利用MATLAB對(duì)式(1)進(jìn)行數(shù)值模擬,分析在聯(lián)軸器轉(zhuǎn)過(guò)一圈,即轉(zhuǎn)角為2π的周期內(nèi),各滑移銷在主動(dòng)軸孔中的滑移量。初始參數(shù)設(shè)置為:滑移銷回轉(zhuǎn)半徑為30 mm,偏轉(zhuǎn)角為30°,分析結(jié)果如圖3所示。

圖3 轉(zhuǎn)角2π內(nèi)各滑移銷滑移量變化曲線Fig.3 Variation curve of slip amount of each slip pin within 2πof corner

假設(shè)滑移銷由主動(dòng)軸孔滑出的方向?yàn)檎?、滑入的方向?yàn)樨?fù)向。由圖3可知在轉(zhuǎn)角為0°,即初始狀態(tài)時(shí),滑移銷Ⅰ滑移量為正且達(dá)到最大,隨著轉(zhuǎn)角增大,開(kāi)始負(fù)向滑移;滑移銷Ⅱ和滑移銷Ⅲ滑移量為負(fù),但二者狀態(tài)不同,滑移銷Ⅱ繼續(xù)向負(fù)向滑移,而滑移銷Ⅲ已經(jīng)處于正向滑移狀態(tài)。

定義三叉桿滑移式萬(wàn)向聯(lián)軸器偏轉(zhuǎn)角為0°(初始狀態(tài))時(shí),即滑移銷只傳遞扭矩,與主動(dòng)軸孔之間無(wú)相對(duì)滑移時(shí),滑移銷Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和主動(dòng)軸孔的接觸線長(zhǎng)度為h,偏轉(zhuǎn)角為30°時(shí)滑移銷Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和主動(dòng)軸孔的接觸線長(zhǎng)度分別為b1、b2、b3,則總的接觸線長(zhǎng)度為

在主動(dòng)軸孔長(zhǎng)度L為60 mm,初始接觸線長(zhǎng)度h分別取1L/3、1L/2、2L/3時(shí),對(duì)聯(lián)軸器在0～2π轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)主動(dòng)軸孔與滑移銷總接觸線長(zhǎng)度進(jìn)行仿真分析,發(fā)現(xiàn)在聯(lián)軸器轉(zhuǎn)角為2π的周期內(nèi),三叉桿滑移式萬(wàn)向聯(lián)軸器主動(dòng)軸孔與滑移銷的等效總接觸線長(zhǎng)度不會(huì)因偏轉(zhuǎn)角等發(fā)生變化,總接觸線長(zhǎng)度只與初始狀態(tài)下主動(dòng)軸孔與滑移銷Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的接觸線長(zhǎng)度有關(guān)。

2 主動(dòng)軸孔與滑移銷表面接觸分形模型建立

2.1 主動(dòng)軸孔滑移銷接觸情況分析

主動(dòng)軸孔與滑移銷同為圓柱體,滑移銷在主動(dòng)軸孔中往復(fù)滑移,所以二者為內(nèi)接觸狀態(tài),在未受力之前的初始接觸情況下為線接觸,受力后接觸區(qū)變?yōu)榫匦蚊?因此主動(dòng)軸孔與滑移銷的接觸問(wèn)題可以看做兩圓柱的內(nèi)接觸。

對(duì)滑移銷滑移運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析可知,三叉桿滑移式萬(wàn)向聯(lián)軸器滑移銷Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的滑移過(guò)程相同,只是轉(zhuǎn)動(dòng)的初相不同,而且在轉(zhuǎn)動(dòng)中,其與主動(dòng)軸孔總的接觸長(zhǎng)度不發(fā)生變化,因此,取初始接觸線長(zhǎng)度h分別取1L/2,考察各主動(dòng)軸孔與滑移銷總的接觸線長(zhǎng)度,即接觸線長(zhǎng)度取式(1)中的B。

2.2 主動(dòng)軸孔與滑移銷接觸受力后的理論接觸面積

當(dāng)主動(dòng)軸孔與滑移銷在內(nèi)接觸狀態(tài)下受力后,由于材料發(fā)生形變,二者的接觸處由受力前的線接觸變?yōu)殚L(zhǎng)度為B(初始線接觸長(zhǎng)度)、寬度為2a的矩形面,其中半接觸寬度a為[10]

式(3)中:E為綜合彈性模量,其中,E1、E2分別為主動(dòng)軸孔、滑移銷材料的彈性模量,μ1、μ2分別為二者泊松比,r1、r2分別為二者接觸區(qū)的曲率半徑,其中,正號(hào)用于外接觸,負(fù)號(hào)用于內(nèi)接觸。那么,受力后接觸區(qū)的理論接觸面積為

2.3 M-B分形接觸模型回顧

M-B分形接觸模型是基于W-M分形函數(shù)與分形參數(shù)尺度獨(dú)立性提出的表征粗糙表面彈塑性接觸的分形模型,其將兩個(gè)粗糙表面的接觸問(wèn)題簡(jiǎn)化成一個(gè)W-M分形粗糙表面與理想剛性表面的接觸,該模型對(duì)接觸面的變形性質(zhì),表面的彈塑性接觸載荷,以及真實(shí)接觸面積與載荷的關(guān)系等方面進(jìn)行了詳細(xì)的論述,其載荷公式分為兩種情況[13]。

1)彈塑性變形。最大接觸點(diǎn)的面積大于臨界面積,即al＞ac,總載荷為

式(5)中,等式右邊的前后者分別為彈、塑性接觸載荷。

2)塑性變形。最大接觸點(diǎn)的面積小于臨界面積,即al＜ac,總載荷為

式(6)中:E為綜合彈性模量,分別為兩接觸表面的彈性模量,μ1、μ2分別為二者的泊松比,D為分形維數(shù),G為分形粗糙度,亦稱粗糙度系數(shù),a為單個(gè)微凸體接觸面積,K為硬度H與屈服強(qiáng)度σy的相關(guān)系數(shù),σy為材料的屈服強(qiáng)度,al為最大接觸點(diǎn)的面積,ac為彈塑性轉(zhuǎn)變的臨界接觸面積,as為最小接觸面積,n a()為接觸點(diǎn)尺寸分布。

2.4 接觸系數(shù)λj引入及接觸點(diǎn)分布函數(shù)修正

在M-B分形模型中,接觸點(diǎn)尺寸分布的函數(shù)n a()是在平面與粗糙表面接觸的前提下成立的,那么顯然,其在表征有曲率的曲面時(shí)會(huì)存在問(wèn)題,滿足接觸面積超過(guò)a的微凸體的個(gè)數(shù)N會(huì)有變化,因此對(duì)于主動(dòng)軸孔與滑移銷這種兩圓柱體的接觸需要引入接觸系數(shù)來(lái)對(duì)接觸點(diǎn)尺寸分布函數(shù)進(jìn)行修正[7]。

如圖4所示為主動(dòng)軸孔與滑移銷表面接觸模型圖(內(nèi)接觸),二者的接觸半徑分別為r1、r2,滿足:

圖4 主動(dòng)軸孔與滑移銷表面接觸模型圖Fig.4 Contact model diagram of sliding pin and driving shaft hole surface

式(7)中:λj為主動(dòng)軸孔與滑移銷兩圓柱體的表面接觸系數(shù),用來(lái)修正接觸點(diǎn)的尺寸分布。由于原式中N的值為冪函數(shù)形式(a為變量,D為常數(shù)),因此假設(shè)λj也為冪函數(shù)形式,構(gòu)造形式如下:

式(8)中,A為二者接觸后的理論接觸面積,S為二者表面積之和且S＝2πr(1＋r2)B,x為曲率系數(shù)且。H為結(jié)合部虛擬材料厚度(接觸部位各接觸材料微凸體層厚度和),它的引入起到功能材料作用,指數(shù)x H為H/r,其構(gòu)建類似于彈流潤(rùn)滑無(wú)量綱最小油膜厚度。

將各項(xiàng)代入式(8),得:

式(9)中,

因此,將表面接觸系數(shù)λj引入修正接觸點(diǎn)的分布函數(shù),即修正后的接觸點(diǎn)分布函數(shù)為

總的真實(shí)接觸面積為

2.5 接觸系數(shù)λj合理性分析

F＝6 000 N,r1＝10 mm,二者彈性模量E1＝E2＝206 GPa,r2＜r1,虛擬材料厚度H取1 mm,數(shù)值仿真得到r2趨近于r1時(shí)兩圓柱體內(nèi)、外接觸的λj變化曲線圖如圖5所示。

由圖5易知:無(wú)論是內(nèi)接觸還是外接觸,接觸系數(shù)λj始終小于1,這就說(shuō)明接觸為有限接觸,接觸體個(gè)數(shù)小于N;隨著r2的增大,內(nèi)接觸和外接觸情況下的接觸系數(shù)λj都在增大,但是內(nèi)接觸的接觸系數(shù)λj始終比外接觸的接觸系數(shù)λj大,因此內(nèi)接觸比外接觸的接觸情況好,其相應(yīng)的接觸應(yīng)力也會(huì)更低,這與經(jīng)典Hertz接觸理論相符,因此λj構(gòu)建合理。

圖5 接觸系數(shù)λj隨r 2變化曲線圖Fig.5 Change curve of contact coefficientλj with r 2

2.6 摩擦對(duì)彈塑性臨界接觸面積的影響

在考慮摩擦因數(shù)對(duì)彈塑性轉(zhuǎn)變臨界接觸點(diǎn)面積ac的影響時(shí),其計(jì)算公式變?yōu)閇14]

式(13)中,kf為與摩擦因數(shù)f有關(guān)的摩擦力修正因子且滿足下面的表達(dá):

2.7 實(shí)際接觸面積與載荷關(guān)系

由式(8)明顯可得λj≤1,兩粗糙表面接觸時(shí),法向載荷為F,產(chǎn)生實(shí)際接觸面積為Ar,當(dāng)接觸表面轉(zhuǎn)換為同面積下的圓柱表面接觸時(shí),若要產(chǎn)生相同的接觸面積,則需要法向載荷為P,很顯然,P≥F且滿足F＝λj P,將式(9)代入F＝λj P得:

將修正后的接觸點(diǎn)分布函數(shù)代入式(5)和(6),可求得兩圓柱接觸面的總載荷。

1)彈塑性變形,al＞ac,即既有彈性接觸又有塑性接觸:

當(dāng)D≠1.5時(shí),

式(17)中,Aa為名義接觸面積,P′*為無(wú)量綱載荷,為無(wú)量綱真實(shí)接觸面積,;G*為無(wú)量綱粗糙度幅值,;φ代 表 材料特性參數(shù);為考慮摩擦的無(wú)量綱彈塑性臨界接觸面積,與g2D()是與分形維數(shù)有關(guān)的函數(shù),。

當(dāng)D＝1.5時(shí),

2)塑性變形,al＜ac,接觸點(diǎn)只存在塑性變形。

3 主動(dòng)軸孔與滑移銷分形接觸預(yù)測(cè)

根據(jù)上述接觸模型對(duì)主動(dòng)軸孔與滑移銷兩圓柱體進(jìn)行真實(shí)接觸面積與載荷的關(guān)系、彈性接觸面積占總接觸面積比例這兩個(gè)方面的分析,以此得到主動(dòng)軸孔與滑移銷的接觸性質(zhì)。重點(diǎn)分析模型中接觸長(zhǎng)度、分形粗糙度、分形維數(shù)、材料特性參數(shù)、摩擦因數(shù)、材料硬度等主要參數(shù)對(duì)模型性能的影響。

參數(shù)設(shè)置如下:主動(dòng)軸與滑移銷材料均為GCr15,二者彈性模量E1＝E2＝206 GPa,主動(dòng)軸孔半徑為10 mm,滑移銷半徑為9.95 mm,硬度H＝620 MPa,材料屈服強(qiáng)度σy＝518 GPa,總接觸線長(zhǎng)度B＝90 mm(初始接觸線長(zhǎng)度1L/6,偏轉(zhuǎn)角為30°)。

3.1 接觸長(zhǎng)度B對(duì)接觸性能的影響

圖6為接觸長(zhǎng)度B對(duì)主動(dòng)軸孔與滑移銷接觸模型的影響。由圖6可知,相同載荷P′*下,真實(shí)接觸面積會(huì)隨著接觸長(zhǎng)度B的增加反而減小,即增大初始接觸線長(zhǎng)度會(huì)導(dǎo)致接觸面積反而較小,這是由于在同樣的載荷下,其形變量在較短的接觸長(zhǎng)度下會(huì)比在較長(zhǎng)的接觸長(zhǎng)度下更大,導(dǎo)致接觸面積反而較大。

圖6 接觸長(zhǎng)度B對(duì)主動(dòng)軸孔滑移銷分形接觸性能的影響Fig.6 Influence of contact length B on the fractal contact performance of the sliding pin of the driving shaft hole

3.2 分形粗糙度G*對(duì)接觸性能的影響

圖7為分形粗糙度G*對(duì)主動(dòng)軸孔與滑移銷接觸模型的影響,由圖7(a)可知,相同載荷P′*下,分形粗糙度G*的減小會(huì)使真實(shí)接觸面積增加,即主動(dòng)軸與滑移銷二者表面光潔度越高,真實(shí)接觸面積越大;由圖7(b)可知,在相同真實(shí)接觸面積下,彈性接觸面積占總接觸面積比例會(huì)隨著分形 粗糙度G*的減小而增大,即主動(dòng)軸與滑移銷二者表面光潔度越高,其接觸區(qū)彈性接觸面積所占的比例越大,造成的黏著磨損損失越小。

圖7 分形粗糙度對(duì)主動(dòng)軸孔滑移銷分形接觸性能的影響Fig.7 Influence of fractal roughness on fractal contact performance of sliding pin of driving shaft hole

3.3 分形維數(shù)D對(duì)接觸性能的影響

圖8為分形維數(shù)D對(duì)主動(dòng)軸孔與滑移銷接觸模型的影響。由圖8(a)可知,相同載荷P′*下,分形維數(shù)D在1.1～1.9的變化范圍內(nèi),D存在一個(gè)中間最優(yōu)值1.5使接觸面積最大;由圖8(b)可知,分形維數(shù)在1.1～1.5變化范圍內(nèi),分形維數(shù)對(duì)彈性接觸面積比例的影響很小,當(dāng)分形維數(shù)大于1.5時(shí),值會(huì)隨著分形維數(shù)的增大而減小。綜上,適當(dāng)?shù)姆中尉S數(shù)會(huì)有益于主動(dòng)軸與滑移銷二者的接觸性能。

圖8 分形維數(shù)D對(duì)主動(dòng)軸孔滑移銷分形接觸性能的影響Fig.8 Influence of fractal dimension D on fractal contact performance of sliding pin of driving shaft hole

3.4 材料特性參數(shù)φ對(duì)接觸性能的影響

圖9為材料特性參數(shù)φ對(duì)主動(dòng)軸孔與滑移銷接觸模型的影響。由圖9(a)可知,在相同載荷P′*下,材料特性參數(shù)φ的增大會(huì)使真實(shí)接觸面積減小,由φ的定義公式可知,這意味著材料屈服強(qiáng)度σy的增大,減弱了主動(dòng)軸孔與滑移銷的接觸承載能力;由圖9(b)可知,材料特性參數(shù)φ的增大會(huì)使彈性接觸面積所占比例相應(yīng)增大,原因在于φ值的增大導(dǎo)致臨界接觸面積ac減小,更有益于二者接觸特性的改善。

圖9 材料特性參數(shù)對(duì)主動(dòng)軸孔滑移銷分形接觸性能的影響Fig.9 Influence of material characteristic parameter on the fractal contact performance of the sliding pin of the driving shaft hole

3.5 摩擦因數(shù)f對(duì)接觸性能的影響

圖10為摩擦因數(shù)f對(duì)主動(dòng)軸孔與滑移銷接觸模型的影響。圖10(a)表明,同等條件下,摩擦因數(shù)的增大會(huì)使接觸面積減小,這就代表摩擦因數(shù)較小會(huì)大大提高接觸面積,減小接觸應(yīng)力;圖10(b)表明,表明彈性接觸面積所占比例會(huì)隨著摩擦因數(shù)的增大而減小,原因是摩擦因數(shù)f的增大會(huì)使摩擦力修正因子kf減小,從而使臨界接觸面積ac增大。可得出結(jié)論:減小摩擦因數(shù)既會(huì)增大主動(dòng)軸孔與滑移銷之間接觸面的接觸面積,也會(huì)使彈性接觸面積占總接觸面積的比例上升,減小二者相對(duì)滑移時(shí)的磨損。

圖10 摩擦因數(shù)對(duì)主動(dòng)軸孔滑移銷分形接觸性能的影響Fig.10 Influence of friction factor on fractal contact performance of sliding pin of driving shaft hole

3.6 材料硬度H對(duì)接觸性能的影響

圖11為材料硬度H對(duì)主動(dòng)軸孔與滑移銷接觸模型的影響,可見(jiàn)隨著材料硬度的增加主動(dòng)軸孔與滑移銷的實(shí)際接觸面積在減小。從材料變形的角度不難理解,當(dāng)載荷一定時(shí),高硬度的材料其發(fā)生變形的能力較硬度低的材料差,接觸面積自然較小。

圖11 硬度H對(duì)主動(dòng)軸孔滑移銷分形接觸性能的影響Fig.11 Influence of hardness H on fractal contact performance of sliding pin of driving shaft hole

4 結(jié) 語(yǔ)

研究了三叉桿滑移式萬(wàn)向聯(lián)軸器中主動(dòng)軸孔與滑移銷的接觸特性,結(jié)合主動(dòng)軸孔與滑移銷的實(shí)際接觸情況,以M-B分形模型為基礎(chǔ),推導(dǎo)建立考慮摩擦影響的主動(dòng)軸孔與滑移銷分形接觸模型。通過(guò)MATLAB數(shù)值模擬分析獲得接觸長(zhǎng)度、分形粗糙度、分形維數(shù)、材料特性參數(shù)、摩擦因數(shù)和材料硬度對(duì)模型的影響結(jié)果,結(jié)果表明:

1)初始接觸線長(zhǎng)度的增加,即總接觸線長(zhǎng)度B的增大反而會(huì)使真實(shí)接觸面積減小;

2)在一定載荷下,減小主動(dòng)軸孔與滑移銷的分形粗糙度、摩擦因數(shù)以及增大材料特性參數(shù)會(huì)使臨界接觸面積減小,從而使主動(dòng)軸孔與滑移銷二者的真實(shí)接觸面積增大且彈性接觸面積所占總接觸面積比例同樣相應(yīng)增大,更有助于二者接觸面間接觸承載能力的改善;

3)分形維數(shù)對(duì)主動(dòng)軸孔與滑移銷接觸面間力學(xué)性能的改善不是線性關(guān)系,而是類似于二次函數(shù)一樣存在一個(gè)極佳值,該最佳值在1.5左右,在該值附近,接觸面積最大,對(duì)接觸性能最為有益;

4)隨著材料硬度的增加,主動(dòng)軸孔與滑移銷的實(shí)際接觸面積在減小。