基于滑模的外部干擾四旋翼姿態(tài)線性自抗擾控制

王兆基,趙 彤

(青島科技大學 自動化與電子工程學院,山東 青島 266061)

近年來,四旋翼無人機(unmanned aerial vehicle,UAV)的發(fā)展很迅速,因為四旋翼無人機具有操作簡單、機動靈活、應用廣泛等特點,引起了研究者的廣泛關注[1-2],并且在眾多領域中得到了大量的運用。無人機可以代替人完成復雜、危險的任務[3-4],如救援、偵察、測繪等。四旋翼系統(tǒng)是非線性的強耦合系統(tǒng),在飛行過程中會受到各種擾動的影響,這會使得無人機的飛行控制性能下降。為了解決這些問題,研究人員提出了不同的四旋翼控制算法。在文獻[5]中,采用了一種適用于四旋翼無人機執(zhí)行器故障的自適應PID控制器,可以實時調(diào)整控制器的參數(shù)。在文獻[6]中,設計了一種自適應魯棒跟蹤控制器來控制欠驅(qū)動四旋翼的姿態(tài)通道。針對參數(shù)不確定性和外部干擾問題,在文獻[7]中,為了估計未知干擾,采用了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡的自適應補償控制策略,消除了四旋翼的未知擾動。

自抗擾控制(ADRC)技術結構簡單,控制性能強,不需要精確的數(shù)學模型,可以應用于具有非線性強耦合的四旋翼系統(tǒng)。然而,傳統(tǒng)的自抗擾控制器參數(shù)太多,不利于參數(shù)的設置。為此,GAO引入觀測器帶寬的概念,提出了一種由PD控制器和線性擴展狀態(tài)觀測器(LESO)組成的具有較少參數(shù)的線性自抗擾控制(LADRC)[8]。雖然ADRC有很多優(yōu)點,但其響應時間相對較慢,因此引入了滑模控制[9]。它具有魯棒性強、響應速度快等優(yōu)點。然而,非線性ADRC參數(shù)多,設計復雜。

本工作提出了一種復合控制方法,能夠快速有效地跟蹤具有外部干擾的四旋翼姿態(tài)參考信號。

1 數(shù)學模型

通過對圖1的分析可知,四旋翼無人機由十字形機身和4個獨立電機組成,主要受4個電機提供的升力(G1,G2,G3,G4)和無人機自身重力的影響。結合機體固定架B和地球固定架E,建立了四旋翼無人機的動力學模型。

圖1 四旋翼結構圖Fig.1 Quadrotor schematic

首先,通過機體固定架B與地球固定架E之間的矩陣變換關系[10],可以得到

考慮到牛頓第二定律,四旋翼無人機的位置動力學模型為

其中,Ve＝[x y z]T;V是四旋翼在固定坐標系E中的線速度;G是4個電機提供的總升力;M是四旋翼無人機的質(zhì)量;Gh是四旋翼的重力;P1是空氣阻力矩陣。

通過機體固定架B,即可獲得

地球固定架E的表達式可以表示為

利用虛擬控制變量簡化四旋翼無人機的數(shù)學模型,如下所示:

其中,U1,U2,U3和U4為虛擬控制變量。

可以得到四旋翼無人機的數(shù)學模型[11],其位置方程為

其中,x,y和z分別表示3個位置通道;k為空氣阻力系數(shù);g為重力加速度;m是四旋翼的質(zhì)量。

四旋翼無人機的姿態(tài)動力學模型可以表示如下:

其中,I＝diag(Ix,Iy,Iz)是慣性張量矩陣;O＝是四旋 翼繞各 軸旋轉(zhuǎn) 的角速 度;C是 作用在四旋翼上的力矩;P2是阻力矩;Q和J分別為拉力力矩和反作用力力矩。

四旋翼無人機的姿態(tài)方程也可以表示為

其中,θ,φ和ψ分別表示3個態(tài)度通道;L1,L2和L3分別為Xb,Yb和Zb的轉(zhuǎn)動慣量。

為了便于控制方案的設計,將四旋翼無人機的數(shù)學模型轉(zhuǎn)化為如下形式[12]

2 控制方案設計

本工作給出了四旋翼無人機姿態(tài)控制系統(tǒng)的總體設計方案。針對具有外部干擾的四旋翼無人機的姿態(tài)控制問題,設計了一種SMC和LADRC相結合的控制方案。結構示意圖如圖2所示。

圖2 四旋翼系統(tǒng)結構框圖Fig.2 Structure block diagram of quadrotor system

該控制方案能有效地解決四旋翼無人機飛行過程中的外部擾動。每個通道分別由LADRC和SMC控制,由于各通道之間存在耦合,LADRC可以將其作為內(nèi)部干擾進行估計和補償。因此,每個通道是相互獨立的。

2.1 滑?？刂破髟O計

SMC具有易于實現(xiàn)、對干擾不敏感、響應快等特點[13]?？刂破鞯脑O計方案如下,結構圖見圖3。

圖3 控制器結構框圖Fig.3 Structural block diagram of the controller

假設1為了滿足ud(t)≤Vd,假設所需要的ud(t)信號是有界且平滑的,其中Vd是一個適當?shù)恼?shù)。

以偏航角為例,定義以下跟蹤誤差

其中,z1為LESO對輸出信號的跟蹤;ud是系統(tǒng)的輸入信號。

設計的滑動面如下

其中,cψ為可調(diào)參數(shù)。

滑模控制律可以設計為

其中,kψ為正參數(shù),y為系統(tǒng)輸出信號。輔助變量定義為

選擇合適的參數(shù)滿足kψ＞0,使設計滑動面可達。此外,通過選擇合適的參數(shù)kψ和cψ,證明了跟蹤誤差e1是收斂的,從而證明所設計的滑?？刂剖怯行У摹?/p>

2.2 線性自抗擾控制器設計

將模型改寫為如下形式的非線性系統(tǒng)

其中,u＝[u1u2]T為可測量狀態(tài);y為系統(tǒng)的輸出信號;F(t)和H(t)為系統(tǒng)的不確定非線性函數(shù);b是外部擾動。定義了由外部擾動和不確定內(nèi)部擾動組成的系統(tǒng)的總擾動為f(u,v(n))＝H(t)v(n)＋F(t)＋b。

通過定義系統(tǒng)的擴展狀態(tài)空間表示為z1＝u,z2＝和z3＝f(u,v(n))來估計系統(tǒng)的總擾動,其中z＝[z1z2z3]T。

由式(14)可以得到

其中,α＝[α1α2α3]T為LESO的增益向量。

用特征方程對觀測器的增益進行參數(shù)化,可以得到

其中

式(24)和(25)給出了kp和kd的自適應律,kp和kd的自適應調(diào)整曲線如圖10所示。

考慮到跟蹤誤差e2＝y(tǒng)－ud,將濾波跟蹤誤差定義為

其中,η＝[t1t2]T為適當選擇的系數(shù)向量,使η→0時,滿足e2→0。

反饋線性化被用來定義輸入信號的跟蹤控制來實現(xiàn)近似。

其中,w為任意正參數(shù)。

假設2為f(u,v)任意近似值,則為無窮小值,設＝0。

可以得到

3 穩(wěn)定性分析

定理1考慮式(14)中的非線性系統(tǒng),應用以下自適應定律使假設有效

假設3整個系統(tǒng)的信號有界,跟蹤誤差收斂于零的鄰域。

定理1的證明:正定李雅普諾夫函數(shù)定義為

對式(26)求導

將式(11)和式(23)代入式(27)可以得到

將式(12)、(13)代入上式即可得到

將式(24)、式(25)代入式(29)可得

將上述公式化簡,可以得到

其中,kψ和w是正參數(shù),可以得到

4 仿真結果與討論

本部分通過MATLAB仿真測試,驗證了所設計控制方法的控制性能。四旋翼姿態(tài)系統(tǒng)的初始角度值為[0,0,0]rad,初始高度值為0 m。四旋翼模型和控制器的參數(shù)如表1和表2所示。

表1 四旋翼模型參數(shù)Table 1 Parameters of the quadrotor model

表2 控制器參數(shù)Table 2 Parameters of the controller

例1通過該測試驗證了設計方案的有效性,并將仿真結果與LADRC進行了比較。系統(tǒng)的輸入為Zd＝10,θd＝60°,φd＝45°和ψd＝30°。圖4為姿態(tài)角跟蹤曲線。當姿態(tài)角值發(fā)生變化時,可以看出SLADRC實現(xiàn)跟蹤參考信號的時間比LADRC快0.2 s左右。從圖5所示的誤差曲線可以看出,當輸入信號發(fā)生變化時,LADRC有明顯的波動,而提出的SLADRC波動很小。這表明SLADRC能夠快速響應輸入信號的變化,具有較好的跟蹤性能。

圖4 姿態(tài)角跟蹤曲線Fig.4 Tracking curves of attitude angles

圖5 姿態(tài)角跟蹤誤差Fig.5 Tracking errors of attitude angles

例2本次試驗主要研究了風擾動下四旋翼無人機的姿態(tài)控制問題。風擾動主要影響四旋翼無人機的四旋翼,會產(chǎn)生不確定的加速度,進而影響四旋翼的飛行姿態(tài)[14]。因此,給出以下表達式來模擬風擾動,并與LADRC進行比較。圖6為受風干擾時的輸出曲線。受風干擾時系統(tǒng)的誤差曲線如圖7所示。

圖6 有風干擾時的輸出曲線Fig.6 Output curves with wind disturbance

圖7 受風干擾時的誤差曲線Fig.7 Error curves with wind disturbance

從圖6和圖7可以看出,在風擾動的影響下,所提出的SLADRC比LADRC具有更好的抗干擾性能,并且在高度通道中,反映了SLADRC對各通道間的耦合具有更強的補償能力。實驗證明,所采用的控制方案對有風干擾的四旋翼姿態(tài)控制系統(tǒng)具有良好的控制性能。

例3四旋翼無人機在飛行過程中產(chǎn)生噪聲干擾。本試驗采用均值為0,方差為2的高斯噪聲作為系統(tǒng)的噪聲干擾。通過與LADRC的比較,驗證了所設計的控制方法的抗干擾能力。kp和kd的自適應調(diào)整曲線如圖8所示。圖9和圖10分別給出了高斯噪聲下系統(tǒng)的輸出曲線和誤差曲線。

圖8 kp和kd自適應調(diào)整曲線Fig.8 Adaptive adjustment curves for kp and kd

圖9 具有高斯噪聲的輸出曲線Fig.9 Output curves with Gaussian noise

從圖8可以看出,在高斯噪聲擾動下,kp和kd的值是實時調(diào)整的,說明引入自適應控制是有效的。從圖9和圖10可以清楚地看出,所提出的SLADRC的抗干擾能力明顯優(yōu)于LADRC。此外,SLADRC的誤差基本接近于零,而LADRC的誤差曲線有明顯的波動。說明所設計的控制方法對噪聲干擾具有良好的抗擾動性能。

圖10 高斯噪聲下的誤差曲線Fig.10 Error curves with Gaussian noise

5 結 語

為了解決外部干擾下四旋翼無人機的姿態(tài)控制問題,提出了一種SMC與LADRC相結合的復合控制方案。該方案結合了兩者的優(yōu)點,采用LADRC對系統(tǒng)的總擾動進行估計和補償。SMC可以加快系統(tǒng)的響應速度,進一步增強系統(tǒng)的魯棒性。此外,還引入了自適應控制來實時調(diào)整PD控制器的參數(shù),大大簡化了參數(shù)設置問題,有利于整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。設計的李雅普諾夫函數(shù)證明系統(tǒng)是穩(wěn)定的。仿真結果與LADRC的仿真結果在多種情形下的比較,說明了所提控制方案的有效性和優(yōu)越性。