手術(shù)機器人末端執(zhí)行器械尺寸鏈分析

□ 付亞波 □ 孫亞軍

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1 尺寸鏈概述

在結(jié)構(gòu)設(shè)計過程中,零件和裝配體之間總存在著相互關(guān)聯(lián)的尺寸,將這些相關(guān)尺寸按照順序形成一個封閉的鏈環(huán),這個鏈環(huán)即稱為尺寸鏈。尺寸鏈中的各個組成尺寸分為增環(huán)、減環(huán)以及封閉環(huán)。尺寸鏈的主要計算方法有三種,即極值法、均方根統(tǒng)計法、蒙特卡洛計算法。尺寸鏈環(huán)的計算分為正計算、中間計算、反計算。正計算指已知各個尺寸組成環(huán)的基本尺寸及公差,從而來求解封閉環(huán),主要功能在于設(shè)計完成后對圖紙中所涉及尺寸進行驗算,從而達到滿足設(shè)計精度的要求。反計算指已知封閉環(huán)的基本尺寸和公差,進而需要對各組成環(huán)(增減環(huán))的公差進行分配,分配方法主要有等公差法、等公差等級法,以及根據(jù)制程能力分配法等。當需要采用反計算對結(jié)構(gòu)精度進行分析設(shè)計時,要根據(jù)實際情況來進行公差分配,以期實現(xiàn)既能滿足產(chǎn)品功能定位的要求,又能滿足經(jīng)濟性的需求。中間計算是介于正計算和反計算之間的一種尺寸鏈計算場景,指已知封閉環(huán)及部分組成環(huán)的基本尺寸和公差,需要對其余組成環(huán)的基本尺寸、公差進行計算分析,從而確定整個尺寸鏈環(huán)。這種計算形式多用于產(chǎn)品工藝設(shè)計的工藝尺寸鏈計算,通過保證各工序尺寸精度來保證零件精度要求,主要用于尺寸換算、加工余量確定和零件檢驗。

2 手術(shù)機器人末端執(zhí)行器械結(jié)構(gòu)

對于手術(shù)機器人末端執(zhí)行器械而言,其器械安裝位置相對于基準的誤差對手術(shù)精度有著重要影響。手術(shù)機器人末端執(zhí)行器械結(jié)構(gòu)如圖1所示,前端成組孔處要安裝髖臼銼,成組孔相對于基準A與基準B的誤差計算,對于整個設(shè)備的綜合精度會起到較大的影響。由于手術(shù)機器人的綜合定位精度設(shè)計為1.5 mm,根據(jù)精度設(shè)計準則,取成組孔的公差范圍為±0.075 mm,即取綜合定位精度的1/10作為標準,筆者利用尺寸鏈的正計算原理對其各個組成環(huán)的精度分配進行驗算,并利用極限法和統(tǒng)計均方根法分別進行計算并對比。

▲圖1 末端執(zhí)行器械結(jié)構(gòu)

圖1中的鎖制件尺寸標注如圖2所示,軸環(huán)尺寸標注如圖3所示,連接桿尺寸標注如圖4所示,套筒尺寸標注如圖5所示。

3 基準

3.1 單個零件基準標注形位公差

單個零件基準標注形位公差如圖6所示。對于單個零件而言,基準包括在形位公差之內(nèi),在尺寸鏈計算過程中,只需考慮被測要素處的形位公差,而無需考慮基準的形位公差。

▲圖2 鎖制件尺寸標注▲圖3 軸環(huán)尺寸標注

▲圖4 連接桿尺寸標注▲圖5 套筒尺寸標注▲圖6 單個零件基準標注形位公差

3.2 裝配體基準標注形位公差

零件裝配后的狀態(tài)如圖7、圖8所示。

▲圖7 兩者完全互補咬合

圖7中,裝配完成后兩個端面之間的距離最小狀態(tài)結(jié)合面處完全咬合,咬合量正好等于公差值。圖8

▲圖8 兩者最大實體狀態(tài)互斥

中,裝配完成后兩個端面之間的距離最大狀態(tài)結(jié)合面完全互斥,處于最大實體狀態(tài)。

當兩個端面的形位公差值相等時,假定為Tt,兩個結(jié)合面處形成的公差帶上限值為Tt,公差帶下限值為0,轉(zhuǎn)換為正負公差,咬合量R為:

R=Tt/2±Tt/2

(1)

當兩個結(jié)合面的面積相差不大時,Tt取兩者中的較小值。當兩個結(jié)合面的面積相差較大時,Tt取面積較大一側(cè)的公差值。

4 裝配偏移

為便于裝配,在實際零件設(shè)計過程中,孔與軸的配合設(shè)計會有一定的間隙,如圖9所示。

▲圖9 裝配偏移

孔與軸的最大間隙為最大孔徑Dmax減去最小軸徑dmin,即2.055 mm。

孔與軸進行裝配時,其理想狀態(tài)是兩者同心,不取決于孔與軸的尺寸公差大小,因而可以得到裝配偏移量AS為:

AS=±(Dmax-dmin)/2

(2)

5 極值法

利用極值法進行尺寸鏈計算,即將尺寸鏈環(huán)中的各組成環(huán)尺寸與公差均轉(zhuǎn)換為正負公差的形式,大小取各個公差的極限值作為計算的基本值。極值法的基本計算步驟如下:

(1) 根據(jù)功能需求分析組成環(huán);

(2) 根據(jù)工程圖畫尺寸鏈圖;

(3) 分析增減環(huán),并轉(zhuǎn)化為正負公差;

(4) 根據(jù)尺寸鏈表進行計算。

針對手術(shù)機器人末端執(zhí)行器械,尺寸鏈分為水平尺寸鏈和豎直尺寸鏈,尺寸鏈如圖10所示。

▲圖10 末端執(zhí)行器械尺寸鏈

將圖10中各組成環(huán)的基本尺寸與公差值進行匯總,并根據(jù)形位公差的計算原則,將尺寸鏈中的增減環(huán)數(shù)據(jù)分別填入尺寸鏈計算表,見表1、表2。

根據(jù)表格計算結(jié)果可知,在水平方向上,目標要素相對于基準的公差帶大小為±0.035 mm,在豎直方向上,目標要素相對于基準的公差帶大小為±0.074 5 mm,均能滿足綜合定位精度誤差±0.075 mm的要求。

表1 水平尺寸鏈極值法計算結(jié)果 mm

表2 豎直尺寸鏈極值法計算結(jié)果

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn),在豎直方向上,裝配體偏移量AS占據(jù)了較大的比例,這是由于套筒件選型為塑料件,其加工精度遠低于金屬件,從而導(dǎo)致裝配體偏移過大。

6 統(tǒng)計均方根法

根據(jù)統(tǒng)計學(xué)原理,假設(shè)零件的制造結(jié)果服從一定的概率分布,其中最為常用的分布形式為正態(tài)分布,如果能夠利用統(tǒng)計的方法來獲得加工零件的公差分布情況進而獲得其概率分布參數(shù),如此就可以利用統(tǒng)計均方根法來對零件進行尺寸鏈計算。相較于極值法的完全互換,統(tǒng)計均方根法無法做到完全互換,但是由于尺寸公差值可以更加寬泛,這會給設(shè)計和加工帶來較好的經(jīng)濟性,因而對于大批量生產(chǎn)的零部件,往往會考慮采用統(tǒng)計均方根法來對尺寸鏈進行正、反計算。

對于相互獨立的隨機變量X、Y,分別服從正態(tài)分布,即:

(3)

式中:μx為隨機變量X的正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望值;σx為隨機變量X的正態(tài)分布的標準差;μy為隨機變量Y的正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望值;σy為隨機變量Y的正態(tài)分布的標準差。

對于線性組合隨機變量Z=aX+bY,也服從正態(tài)分布,即:

(4)

服從正態(tài)分布的隨機變量如圖11所示。

▲圖11 服從正態(tài)分布的隨機變量

推而廣之,對于隨機變量Si,其主尺寸為Li,公差值設(shè)定為Ti,有:

Si=Li±Ti

(5)

(6)

式中:i=1,2,3,…;μi為隨機變量Si的數(shù)學(xué)期望;σi為隨機變量Si的標準差。

考慮過程有偏差時,樣本數(shù)據(jù)的過程性能PPK計算方法為:

(7)

式中:Mean為實際制程的均值,即μi;USL為規(guī)格上限,即Li+Ti;LSL為規(guī)格下限,即Li-Ti;SLT為長期標準差,即σi。

取PPK為1.33,對于尺寸鏈的計算而言,當μi趨向于Li時,可得:

Mean-LSL=μi-Li-Ti=Ti=4SLT=4σi

(8)

USL-Mean=Li+Ti-μi=Ti=4SLT=4σi

(9)

Ti=4σi

(10)

即:

(11)

又有:

(12)

可得:

(13)

采用封閉環(huán)尺寸L鏈統(tǒng)計計算方法,基本尺寸L計算式為:

L=∑Li

(14)

公差T計算式為:

(15)

單隨機變量正態(tài)3σi分布如圖12所示。

▲圖12 單隨機變量正態(tài)3σi分布

根據(jù)計算式及單隨機變量正態(tài)3σi分布,可以推導(dǎo)出復(fù)合隨機變量的正態(tài)分布,如圖13所示。

▲圖13 復(fù)合隨機變量正態(tài)分布

綜上,對手術(shù)機器人末端執(zhí)行器械進行均方根法計算,填入表3、表4。對比表1、表2可以發(fā)現(xiàn),在水平方向上,極值法計算的封閉環(huán)尺寸公差為0.035 mm,統(tǒng)計均方根法計算的封閉環(huán)尺寸公差為0.016 mm。在豎直方向上,極值法計算的封閉環(huán)尺寸公差為0.074 5 mm,統(tǒng)計均方根法計算的封閉環(huán)尺寸公差為0.036 mm?？梢园l(fā)現(xiàn),極值法的計算結(jié)果是統(tǒng)計均方根法的兩倍,統(tǒng)計均方根法的經(jīng)濟性更好。

表3 水平尺寸鏈統(tǒng)計均方根法計算結(jié)果

7 結(jié)束語

尺寸鏈的正計算和反計算可以幫助設(shè)計人員對設(shè)計意圖進行核算和驗證,避免由于誤差分配不合理導(dǎo)致零件以及裝配體的功能喪失。

表4 豎直尺寸鏈統(tǒng)計均方根法計算結(jié)果

在尺寸鏈計算過程中,形位公差的計算占據(jù)非常大的比重,這也是新國標未來的發(fā)展方向。涉及形位公差的尺寸鏈計算,應(yīng)當充分考慮基準,以及被測要素上標注形位公差對尺寸鏈的影響,從而得出合理的計算結(jié)果。

尺寸鏈的計算方法主要有三種,工程師常用的有極值法和統(tǒng)計均方根法,極值法的計算結(jié)果相對于統(tǒng)計均方根法而言比較保守,計算余量較大。而統(tǒng)計均方根法需要做統(tǒng)計過程控制公差分析,才可以得出可靠的計算結(jié)果,但是其更接近大批量的生產(chǎn),具有較好的經(jīng)濟性。在實際應(yīng)用中,應(yīng)當根據(jù)實際需求而定。對于小批量、完全互換的產(chǎn)品,建議使用極值法進行計算。對于大批量生產(chǎn),有能力完成統(tǒng)計過程控制的情況,可以考慮采用統(tǒng)計均方根法進行計算。對于復(fù)雜的三維裝配,可以考慮采用蒙特卡洛三維仿真軟件進行計算。