巧用數(shù)學(xué)題組練習(xí)實(shí)現(xiàn)思維能力升級

于昕

（大連市沙河口區(qū)昌平小學(xué)）

題組練習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種有效形式，是學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)養(yǎng)成的切入點(diǎn)，是通過對照練習(xí)，達(dá)到對比分析、交流評價、自主創(chuàng)新的層次，打破記憶、理解、應(yīng)用知識的層面，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，促進(jìn)低階思維向高階思維的轉(zhuǎn)變。筆者根據(jù)教學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，從“定點(diǎn)—串鏈—構(gòu)面”三個方面來設(shè)置題組，并將相應(yīng)題組進(jìn)行詳細(xì)分類，如圖1所示。

圖1 數(shù)學(xué)題組分類

一、“定點(diǎn)”題組練習(xí)，讓數(shù)學(xué)思維由表及里

所謂“定點(diǎn)”題組，就是將考查相同知識點(diǎn)的題目編成一組，這一相同的知識點(diǎn)就是“定點(diǎn)”。

以題組一為例，解決這三個問題都需要學(xué)生從認(rèn)知結(jié)構(gòu)已有的圖式中提取圓的面積公式，根據(jù)圓的半徑求面積就是這組題的“定點(diǎn)”。這三道題的不同點(diǎn)是第二題需要根據(jù)直徑求出半徑，第三題是已知周長求半徑，再運(yùn)用公式求面積。通過這組題的練習(xí)，學(xué)生明晰：已知圓的半徑、直徑、周長，求面積。不同題型之間的區(qū)別和聯(lián)系：求圓的面積需已知圓的半徑，并將這一“定點(diǎn)”存入認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。

【題組一】基礎(chǔ)題組

1.已知圓的半徑，求圓的面積。

2.已知圓的直徑，求圓的面積。

3.已知圓的周長，求圓的面積。

題組一屬于“定點(diǎn)”題組中的基礎(chǔ)題組，實(shí)現(xiàn)的是思維“點(diǎn)”狀提升，而利用已知圓的半徑求面積，這一“定點(diǎn)”解決的問題還有很多，教師還可以呈現(xiàn)變式題組（如題組二），這些都是在求圓的面積。但是，不同點(diǎn)是第一題在長方形中切割最大的圓，求此圓的面積，關(guān)鍵在于找準(zhǔn)圓的半徑即長方形寬的一半；第二題在長方形中切割最大的半圓，求此半圓的面積，關(guān)鍵在于知道圓的半徑是長的一半；第三題也是在長方形中切割最大的半圓，求此半圓的面積，區(qū)別在于要知道圓的半徑就是長方形的寬（如圖2）。解決此三題雖然運(yùn)用的“定點(diǎn)”一樣，但是要求圓的半徑需要學(xué)生花費(fèi)一番精力，這樣可以使學(xué)生的學(xué)習(xí)逐步走向深入，實(shí)現(xiàn)思維“鏈”上的串通。

圖2

【題組二】變式題組

1.一個長方形，長12厘米，寬10厘米，要切割出一個最大的圓，圓的面積是多少平方厘米？

2.一個長方形，長12厘米，寬10厘米，要切割出一個最大的半圓，半圓的面積是多少平方厘米？

3.一個長方形，長24厘米，寬10厘米，要切割出一個最大的半圓，半圓的面積是多少平方厘米？

教師在講授數(shù)學(xué)內(nèi)容時，要把握這一內(nèi)容的“定點(diǎn)”，巧用題組練習(xí)，讓練習(xí)不僅停留在鞏固新知識的層面上，更要啟發(fā)學(xué)生去追溯知識的本質(zhì)和內(nèi)核。教師要通過題目使學(xué)生掌握一組題目的解決方法，理解其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維由表及里逐漸深入，提升思維的深刻性，讓“定點(diǎn)”在知識鏈中發(fā)光發(fā)熱。

二、“串鏈”題組練習(xí)，讓數(shù)學(xué)思維由淺入深

“串鏈”題組是對所學(xué)知識相關(guān)題目的縱向整合，教師可以通過分類、歸納、整理、提煉，把“串鏈”題組分為同鏈同質(zhì)題組、同鏈異質(zhì)題組、同鏈遞進(jìn)題組，避免學(xué)生進(jìn)行沒有頭緒的題海練習(xí)，額外增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。教師要以分組練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識的共性與個性，讓數(shù)學(xué)思維由淺入深，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)呈現(xiàn)生長態(tài)勢。

【題組一】同鏈同質(zhì)題組

1.甲乙兩人共同完成一項(xiàng)任務(wù)，甲自己做需10天，乙自己做需20天，如果兩人合作需要幾天？

2.從教室走到學(xué)校圖書館，小明步行需10分鐘，小剛步行需20分鐘，如果兩人同時從兩地相對而行，相遇時需多少分鐘？

同鏈同質(zhì)題組的特點(diǎn)是構(gòu)成題鏈的幾道練習(xí)內(nèi)容不同，但解題思路卻相近或相同。如上述兩道工程題，工程題是小學(xué)階段考察的重點(diǎn)題型，從分率的方面探究時間、總量和效率三者之間關(guān)系，這兩道題內(nèi)容雖然不同，但解題思路相同：將總量看作單位“1”，用分率表示效率，用單位“1”除以各自的分率，求各自的工作時間。這樣的題組練習(xí)可以使學(xué)生對認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識進(jìn)行融合，拓寬解決某一類題目的思路和方法，提高解題的靈活性。

【題組二】同鏈異質(zhì)題組

1.一根圓柱形鋼條，底面直徑為8分米，高為20分米，削切成一個最大的圓錐體，削去了多少立方分米鋼材？

2.一根圓柱形鋼條，底面直徑為8分米，高為20分米，加工成一個圓錐體，底面周長為31.4分米，圓錐體的高是多少分米？

同鏈異質(zhì)題組的特點(diǎn)是構(gòu)成題鏈的幾道練習(xí)題內(nèi)容相似，解題思路不同，能很好地幫助學(xué)生厘清易混題目的表征方式和解題方法。這種題組可以是根據(jù)公式的推導(dǎo)順序?yàn)榫€串成題鏈，如可以將小學(xué)數(shù)學(xué)平面圖形的面積計算問題——求平行四邊形面積、求三角形面積、求梯形面積等，串成題鏈。也可以是對某一公式的多方面考察，如題組二，是以圓錐的體積公式及公式變形為線，第一題為圓柱削切成最大的圓錐，已知圓錐的直徑和高求體積；第二題為圓柱加工成最大的圓錐，已知圓錐的體積和底面周長求高。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生找出這組題中的兩個重要動詞：削切、加工，區(qū)別這兩個詞所表達(dá)的實(shí)際意義，以此為線構(gòu)成題組。

【題組三】同鏈遞進(jìn)題組

1.制作雕塑作品，甲和乙合起來需8小時可以完成。如果甲獨(dú)自完成需20小時，那么乙獨(dú)自完成需幾小時？

2.修馬路，張明工程隊(duì)獨(dú)自修需30天，劉剛工程隊(duì)獨(dú)自修需80天?，F(xiàn)在由兩隊(duì)合作修路，工作14天后，還有1400米沒有完成，這條馬路多長？

3.有一項(xiàng)任務(wù)，甲師傅每天作業(yè)8小時，3天可以完工；乙?guī)煾得刻熳鳂I(yè)9小時，8天可以完工。如果兩位師傅一起做，每天作業(yè)6小時，幾天可以完工？

所謂同鏈遞進(jìn)，是指構(gòu)成題鏈的幾道練習(xí)內(nèi)容、解題方法相似，但難度不斷增加。有層次的題組練習(xí)，可使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識此類問題的結(jié)構(gòu)框架，并在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上繼續(xù)豐富，將更多題型納入其中，避免以題練題的情況。

遞進(jìn)題組的設(shè)計是教學(xué)中比較常見的，它相當(dāng)于學(xué)生建構(gòu)認(rèn)知的“導(dǎo)航儀”，導(dǎo)航的過程就是引導(dǎo)學(xué)生分析、解決問題的思考過程。從提供的條件看，遞進(jìn)題組是從直接條件到間接條件再到隱藏條件的遞進(jìn)；從計算方法看，遞進(jìn)題組是加法或減法到連加、連減，再到加減混合的遞進(jìn)等。相比題組一，題組三中的工作過程相對復(fù)雜，工作總量、時間、效率相互轉(zhuǎn)化，我們可以采用“分干合想，合干分想”的拆并思想。運(yùn)用分合法來解決，這樣可以幫助學(xué)生更好地掌握解題方法，有利于提高練習(xí)的實(shí)效性。

三、“構(gòu)面”題組練習(xí)，讓數(shù)學(xué)思維由窄變寬

“構(gòu)面”題組是把單獨(dú)的線性知識進(jìn)行整合，形成較寬的知識面?！皹?gòu)面”題組應(yīng)以教材安排的內(nèi)容順序?yàn)榫€索，通過類比、聯(lián)通等方式，將遍布在各年級、單元關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)的知識，進(jìn)行橫向組織，形成知識面。知識面相較知識鏈而言，更注重數(shù)學(xué)思想的總結(jié)和數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)聯(lián)的知識進(jìn)行歸納、演繹，通過歸納與演繹的雙向互動，實(shí)現(xiàn)思維“點(diǎn)—線—面”的輻射式發(fā)展，提高思維的靈活性。

【題組一】“構(gòu)面”題組

1.一個打印小組打印稿件，原計劃每天打印200頁，15天完成任務(wù)，實(shí)際每天多打印50頁，這份稿件要幾天完成？

2.一個打印小組打印稿件，原計劃每天打印200頁，15天完成任務(wù)，實(shí)際每天多打印這份稿件需要幾天完成？

3.一個打印小組打印稿件，原計劃每天打印200頁，15天完成任務(wù)，實(shí)際每天多打印25%，這份稿件可提前幾天完成？

該題組第一題是整數(shù)應(yīng)用題，是學(xué)生四年級學(xué)習(xí)的內(nèi)容，列式為：（200×15）÷（200+50）。第二題是學(xué)生五年級下冊學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，列式為：第三題是學(xué)生六年級上冊學(xué)習(xí)的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，列式為：（200×15）÷（200+200×25%）-12。三道題都要先算出稿件的總頁數(shù)，再根據(jù)實(shí)際每天打印的頁數(shù)，求出需要打印的天數(shù)。雖然這個題組只是涉及到整數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)，但是后面兩道題對于學(xué)生來說，關(guān)鍵要知道“多的是指實(shí)際每天比計劃每天多打印，多的是計劃每天打印的，用計劃每天打印的加上多的部分，求出實(shí)際每天打印的頁數(shù)”。三道題涉及到的內(nèi)容分布在不同年級，由于知識學(xué)習(xí)的時間跨度較大，小學(xué)生處理信息的能力有限，因此學(xué)生會出現(xiàn)遺忘的現(xiàn)象。教師將有關(guān)聯(lián)的信息合理有效地組織成組塊，會增強(qiáng)學(xué)生信息加工的能力，使學(xué)生站在系統(tǒng)的高度，在整體知識的背景下，對所學(xué)的知識進(jìn)行重構(gòu)，將知識與方法結(jié)成網(wǎng)，減輕其學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

四、“梳理”題組練習(xí)，讓數(shù)學(xué)應(yīng)用由點(diǎn)到面

平日復(fù)習(xí)數(shù)的運(yùn)算時，有些教師往往追求形式化、技巧化，訓(xùn)練難免單調(diào)枯燥，這不僅脫離了學(xué)生生活實(shí)際，而且挫傷了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。我們知道，小學(xué)生正處于以具體形象思維為主要形式逐步過渡到以抽象邏輯思維為主要形式的階段，尤其是低年級的學(xué)生。為此，要基于學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)來設(shè)計本節(jié)“運(yùn)用題組厘清問題層次”的乘除法復(fù)習(xí)課。

課堂上，我以習(xí)題練習(xí)為暗線，使學(xué)生通過五道基礎(chǔ)題組梳理出已學(xué)習(xí)的乘除法知識。

1.孫悟空拔出4根毫毛，每根毫毛能變出5只小猴，一共能變出幾只小猴？

2.有12個大桃子，平均分給唐僧師徒4人，每人分到幾個桃子？

3.孫悟空又拿出20根香蕉準(zhǔn)備分給小猴子吃，如果每盤放5根，可以放幾盤？

4.小兔有2只，小鹿有6只，小鹿的只數(shù)是小兔的幾倍？

5.小兔有2只，小松鼠的只數(shù)是小兔的4倍，一共有多少只小松鼠？

這五道題屬于題組圖式中的定點(diǎn)題組，教師在講授數(shù)學(xué)內(nèi)容時，要把握這一內(nèi)容的“定點(diǎn)”，巧用題組練習(xí)，讓練習(xí)不僅停留在鞏固新知識的層面上，更要啟發(fā)學(xué)生追溯知識的本質(zhì)和內(nèi)核，掌握一組題目的解決方法和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。

隨堂練習(xí)的設(shè)置要由易到難，前兩道題是對所學(xué)知識相關(guān)題目的縱向整合，如圖3，著重考查學(xué)生對平均分、倍的認(rèn)識，以及對乘除法的意義的理解，屬于串鏈題組。

圖3

1.填一填，并說一說算式中每個數(shù)的意思。

2.按要求畫圖，再寫出算式和得數(shù)。

（1）先畫3個▲，再畫○，○的個數(shù)是▲的2倍；

（2）先畫16個○，再以每4個一份圈一圈。

而最后一道題綜合考察乘除法的相關(guān)知識，是一道開放題，屬于“構(gòu)面”題組（如圖4）?！皹?gòu)面”題組是把單獨(dú)的線性知識進(jìn)行整合，形成較寬的知識面。知識面較知識鏈而言，更注重數(shù)學(xué)思想的總結(jié)，數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)聯(lián)的知識進(jìn)行歸納、演繹，實(shí)現(xiàn)思維“點(diǎn)—線—面”的輻射式發(fā)展，解決了作業(yè)中存在的機(jī)械、無效、重復(fù)性等方面的問題。

圖4

（1）肉餅的價格是粥的幾倍？

（2）淘氣有10元錢，正好可以買哪些食物？

（3）說一說，你還能提出哪些問題？

“雙減”背景下，要讓習(xí)題更有意義，絕不是通過“題?！睉?zhàn)術(shù)實(shí)現(xiàn)的。本節(jié)課結(jié)合實(shí)際問題生活化的特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)學(xué)生喜聞樂見的“孫悟空打妖怪”的情境，設(shè)置“孫悟空分食物”的活動，貫穿了整堂課，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)角色、情感代入的機(jī)會，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時學(xué)生的審美興趣、認(rèn)識興趣、乃至向往豐富精神世界的興趣也在其間培養(yǎng)起來?？鞓返亟鉀Q問題，在給學(xué)生留下深刻印象的同時，以題組練習(xí)使學(xué)生腦海中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)也更加完善?！岸c(diǎn)—串鏈—構(gòu)面”的題組設(shè)置，既重視知識練習(xí)又重視知識遷移，既關(guān)注點(diǎn)狀突破又關(guān)注結(jié)構(gòu)完善，既注重縱向聯(lián)結(jié)又注重橫向整合。有效設(shè)計數(shù)學(xué)題組呼應(yīng)發(fā)展學(xué)生思維的訴求，助推其數(shù)學(xué)思維由表及里、由淺入深、由窄變寬地發(fā)展。