一類代數(shù)鏈環(huán)的棍棒指標(biāo)估計(jì)

王樹(shù)新，趙一狄，陶 金

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

本文從上述研究結(jié)果出發(fā)，將鏈環(huán)的投影圖、加權(quán)樹(shù)圖與纏繞的分段線性構(gòu)造緊密結(jié)合起來(lái)，利用三維流形組合拓?fù)涞难芯考记珊头椒ǖ玫搅艘活惔鷶?shù)鏈環(huán)的棍棒指標(biāo)估計(jì).

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1將0-纏繞做n次正(負(fù))水平扭轉(zhuǎn)得到的纏繞稱為水平+n(-n)-整數(shù)纏繞，n∈+；將∞-纏繞做n次正(負(fù))豎直扭轉(zhuǎn)得到的纏繞稱為豎直+n(-n)-整數(shù)纏繞，n∈+；稱水平整數(shù)纏繞和豎直整數(shù)纏繞為整數(shù)纏繞.

定義1.2設(shè)T1，T2是2個(gè)纏繞，若纏繞T1，T2間由2段弧相連接，則稱纏繞T1和T2以代數(shù)方式連接.

定義1.3設(shè)T是一個(gè)由n個(gè)整數(shù)纏繞Ti(1≤i≤n,n∈+)相連構(gòu)成的纏繞，若任意2個(gè)纏繞Ti，Tj間均以代數(shù)方式連接，其中,i≠j且1≤i,j≤n，則稱纏繞T為一個(gè)代數(shù)纏繞.

定義1.4設(shè)L是一個(gè)代數(shù)鏈環(huán)，D是L任意一個(gè)投影圖，若投影圖D可通過(guò)一系列坍塌操作化簡(jiǎn)為8字型，如圖1所示，則稱D為L(zhǎng)的代數(shù)投影圖；否則，稱D為L(zhǎng)的非代數(shù)投影圖.

圖1 8字型

定義1.5設(shè)T是一個(gè)纏繞，記c(T)=min{c(DT)|,其中,DT是纏繞T的任意一個(gè)投影圖，c(DT)是DT的交叉點(diǎn)個(gè)數(shù)}，稱c(T)為纏繞T的交叉數(shù).

定義1.6設(shè)T是一個(gè)纏繞，記s(T)=min{sn(PT)|,其中,PT是纏繞T的任意一個(gè)多邊形表示,sn(PT)表示PT的邊數(shù)}，稱s(T)為纏繞T的棍棒指標(biāo).

定義1.7由頂點(diǎn)和邊構(gòu)成的，且不包含任何環(huán)路的圖稱為樹(shù)圖.

注1.1樹(shù)圖通常用字母G1,G2,…,Gn表示.

定義1.8設(shè)G是一樹(shù)圖，若G的各個(gè)頂點(diǎn)都有整數(shù)對(duì)應(yīng)，則稱該整數(shù)為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的權(quán)重，若G的任意頂點(diǎn)都對(duì)應(yīng)有權(quán)重，則稱圖G為加權(quán)樹(shù)圖.

定義1.9設(shè)G是一個(gè)樹(shù)圖，若G中存在一頂點(diǎn)恰好與一條邊相連，則稱該頂點(diǎn)為樹(shù)圖G的一個(gè)樹(shù)樁；若G中存在一頂點(diǎn)恰好與兩條邊相連，則稱該頂點(diǎn)為樹(shù)圖G的一個(gè)樹(shù)枝.

定義1.10設(shè)G是一樹(shù)圖，若G中存在一個(gè)頂點(diǎn)與至少2個(gè)向下延伸的樹(shù)樁或樹(shù)枝相連，則該頂點(diǎn)與其下面相連接的樹(shù)樁和樹(shù)枝整體被稱作樹(shù)圖G中的一個(gè)扇形.圖2給出了幾個(gè)扇形的例子.

目前，全球各國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展都相互依存，經(jīng)濟(jì)全球化的趨勢(shì)越來(lái)越明顯。在此背景下，企業(yè)財(cái)務(wù)管理也要順應(yīng)形勢(shì)，結(jié)合企業(yè)的實(shí)際情況，要有全球化視野，在進(jìn)行企業(yè)的內(nèi)部控制和管理的時(shí)候，要關(guān)注全球經(jīng)濟(jì)的形勢(shì)變化，結(jié)合形勢(shì)的變化，剖析企業(yè)內(nèi)部財(cái)務(wù)管理制度的問(wèn)題。探索全球化的背景下，與企業(yè)實(shí)際情況符合的財(cái)務(wù)管理模式，更好地改進(jìn)企業(yè)財(cái)務(wù)管理的效率。

圖2 扇形的例子

定義1.11設(shè)L是一代數(shù)鏈環(huán)，DL是L的代數(shù)投影圖，G是其對(duì)應(yīng)的樹(shù)圖，若G滿足：

(1)除了樹(shù)樁上的頂點(diǎn)，G上其余所有頂點(diǎn)的權(quán)重均為0；

(2)G上每一個(gè)樹(shù)枝均連接權(quán)重的絕對(duì)值大于1的樹(shù)樁；

(3)除了可能有一個(gè)零權(quán)重的樹(shù)樁外，G上的樹(shù)樁與代數(shù)投影圖DL中的整數(shù)纏繞是一一對(duì)應(yīng)的；

(4)G的最高頂點(diǎn)連接3條或3條以上向下延伸的邊；

(5)G上頂點(diǎn)或者連接權(quán)重為+1的樹(shù)樁，或者連接權(quán)重為-1的樹(shù)樁，或者連接帶有任意權(quán)重樹(shù)樁的樹(shù)枝，進(jìn)一步地，對(duì)滿足前述條件的G所對(duì)應(yīng)的投影圖進(jìn)行翻轉(zhuǎn)簡(jiǎn)化，使G中任意樹(shù)枝或權(quán)重為±1的樹(shù)樁盡可能向左移動(dòng).

則稱G是L的一個(gè)PL標(biāo)準(zhǔn)加權(quán)樹(shù)圖，DL是L的標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)投影圖.

2 整數(shù)纏繞的分段線性構(gòu)造

在整數(shù)纏繞的分段線性構(gòu)造中，本文要求纏繞的多邊形表示的4個(gè)出口方向NW，NE，SW，SE對(duì)應(yīng)4條邊的角度都與水平軸成40°～50°角，表1給出了整數(shù)纏繞的分段線性構(gòu)造的3種方式.

表1 整數(shù)纏繞的分段線性構(gòu)造方式

3 主要結(jié)果

定理3.1設(shè)L是一代數(shù)鏈環(huán)，GL是L的PL標(biāo)準(zhǔn)加權(quán)樹(shù)圖，且GL對(duì)應(yīng)L的一個(gè)具有最少交叉點(diǎn)的投影圖，若GL中存在緊挨著扇形且?guī)в袡?quán)重為±2樹(shù)樁的樹(shù)枝，則

s(L)≤c(L)+n2+nf+n1?f-n2?s+2.

其中，c(L)為L(zhǎng)的交叉數(shù)，n2為GL中權(quán)重為±2的樹(shù)樁個(gè)數(shù)，nf為GL中扇形的個(gè)數(shù)，n1?f為GL中不在扇形內(nèi)且權(quán)重為±1的樹(shù)樁個(gè)數(shù)，n2?s為GL中緊挨著扇形的樹(shù)枝上權(quán)重為±2的樹(shù)樁個(gè)數(shù).

證由PL標(biāo)準(zhǔn)加權(quán)樹(shù)圖定義可知，GL至少包含一個(gè)扇形，且GL可能只含有一個(gè)扇形.若GL中含有多個(gè)扇形，則GL中的每個(gè)扇形都有一條向上延伸到頂點(diǎn)的邊，并且這條邊上的頂點(diǎn)不能是向上延伸的樹(shù)枝，因此,它必須有一條從它向下延伸的其他邊.此時(shí)由對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)向下延伸的邊的底部頂點(diǎn)可能連接一個(gè)扇形，也可能緊挨著一個(gè)扇形，所以它可能是一個(gè)樹(shù)樁、一個(gè)樹(shù)枝、其他的扇形或是一個(gè)更加復(fù)雜的部分，這部分至少包括一個(gè)更低層的扇形.

由于GL是PL標(biāo)準(zhǔn)加權(quán)樹(shù)圖，可知GL整體由扇形、樹(shù)樁和樹(shù)枝組成.下面首先討論GL中某一扇形f1的多邊形表示.不失一般性，設(shè)f1由整數(shù)纏繞T1,T2,…,Ti(i≥2且i∈+)所對(duì)應(yīng)的樹(shù)樁構(gòu)成，且整數(shù)纏繞T1,T2,…,Ti(i≥2且i∈+)所對(duì)應(yīng)的樹(shù)樁在f1中從左到右依次排列，即T1是f1中最左側(cè)樹(shù)樁對(duì)應(yīng)的整數(shù)纏繞，Ti是f1中最右側(cè)樹(shù)樁對(duì)應(yīng)的整數(shù)纏繞.利用表1中整數(shù)纏繞分段線性構(gòu)造的第一種和第二種方式來(lái)構(gòu)造扇形f1的多邊形表示P1，為使P1邊數(shù)相對(duì)較少，扇形f1最左側(cè)樹(shù)樁對(duì)應(yīng)的整數(shù)纏繞T1遵循表1中第一種方式構(gòu)造.如果T1對(duì)應(yīng)的樹(shù)樁在一個(gè)樹(shù)枝上，可將此纏繞T1對(duì)應(yīng)的豎直整數(shù)纏繞的分段線性構(gòu)造旋轉(zhuǎn)90°得到對(duì)應(yīng)水平整數(shù)纏繞的分段線性構(gòu)造.設(shè)纏繞T1有c(T1)個(gè)交叉點(diǎn)，則T1的多邊形表示需要條邊，其中，若T1為±2-纏繞，則若T1不為±2-纏繞，則扇形f1最左側(cè)的整數(shù)纏繞T1的多邊形表示構(gòu)造完畢后，延長(zhǎng)纏繞T1多邊形表示的右上邊，將其用作下一個(gè)整數(shù)纏繞多邊形表示的一條邊.扇形f1中第二個(gè)樹(shù)樁對(duì)應(yīng)的整數(shù)纏繞T2按照表1中第二種方式構(gòu)造，它需要條邊，其中，若T2為±2-纏繞，則若T2不為±2-纏繞，則此時(shí)纏繞T1，T2組成的新代數(shù)纏繞對(duì)應(yīng)的多邊形表示所需邊數(shù)為c(T1+T2)+n′2+1，其中，繼續(xù)以構(gòu)造整數(shù)纏繞T2的多邊形表示的方式添加扇形f1中其他整數(shù)纏繞Tm(m=3,…,i)對(duì)應(yīng)的多邊形表示，直至扇形f1對(duì)應(yīng)纏繞的多邊形表示構(gòu)造完畢，此時(shí)扇形f1對(duì)應(yīng)纏繞的多邊形表示P1的邊數(shù)為其中，且扇形f1對(duì)應(yīng)纏繞的多邊形表示的4個(gè)出口邊均滿足與水平方向成40°～50°夾角.

圖3給出了某一扇形F與其對(duì)應(yīng)多邊形表示的例子.

圖3 扇形F與其對(duì)應(yīng)多邊形表示

接下來(lái)構(gòu)造扇形f1旁緊挨一個(gè)樹(shù)樁、樹(shù)枝、其他扇形或更加復(fù)雜的部分的多邊形表示.

(1)一個(gè)樹(shù)樁緊挨扇形f1

圖4給出某個(gè)樹(shù)圖G1與其對(duì)應(yīng)多邊形表示的例子.

圖4 樹(shù)圖G1與其對(duì)應(yīng)多邊形表示

(2)一個(gè)樹(shù)枝緊挨扇形f1

圖5給出某個(gè)樹(shù)圖G2與其對(duì)應(yīng)多邊形表示的例子.

圖5 樹(shù)圖G2與其對(duì)應(yīng)多邊形表示

(3)扇形f1緊挨另一個(gè)扇形或更復(fù)雜的部分G*

圖6給出了一個(gè)扇形緊挨另一個(gè)扇形的多邊形表示的例子.

圖6 一個(gè)扇形緊挨另一個(gè)扇形的多邊形表示

注3.1對(duì)于某些MAP鏈環(huán)，定理3.1改進(jìn)了參考文獻(xiàn)[7]中定理2的結(jié)果.