接觸式輪廓儀對(duì)工件自動(dòng)標(biāo)注問題的研究

杜珍珍，楊春堯，周 同，段 峰

(1.銅陵職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，安徽 銅陵 244000;2.成都衛(wèi)士通信息產(chǎn)業(yè)股份有限公司，成都 610041)

接觸式輪廓儀是對(duì)物體的輪廓、二維尺寸、二維位移進(jìn)行測(cè)試與檢驗(yàn)的儀器，是一種兩坐標(biāo)測(cè)量?jī)x器[1](見圖1)，由工作平臺(tái)、夾具、被測(cè)工件、探針、傳感器和伺服驅(qū)動(dòng)等部件組成[2](見圖2)。

圖1 某種型號(hào)的接觸式輪廓儀

圖2 接觸式輪廓儀組成

接觸式輪廓儀是通過(guò)將待測(cè)物體的表面滑過(guò)探針以獲取表面輪廓參數(shù)-工件的特征數(shù)據(jù)[3](見圖3和圖4)。例如：1)直線段特征。起止點(diǎn)、長(zhǎng)度、傾角、人字形頂高；2)弧線段特征。圓弧(圓弧半徑、圓心坐標(biāo)、弧長(zhǎng)等)、冪弧(方程、起止點(diǎn)、頂高、弧長(zhǎng)等)、最速曲線弧(方程、起止點(diǎn)、參數(shù)、弧長(zhǎng)等)、對(duì)數(shù)曲線弧(方程、起止點(diǎn)、參數(shù)、弧長(zhǎng)等)；3)其他特征：相鄰兩圓弧圓心間的距離、直線與弧的切點(diǎn)坐標(biāo)、槽深、槽寬、凹槽深度、凹槽寬度、凹槽曲率半徑、凹槽余量、凹槽中心距離等。

圖3 接觸式輪廓儀探針工作

圖4 接觸式輪廓儀測(cè)量

工件表面質(zhì)量的好壞直接影響其使用壽命和使用性能，接觸式輪廓儀是通過(guò)掃描工件輪廓來(lái)呈現(xiàn)工件輪廓線的儀器。工件表面是通過(guò)工件輪廓線來(lái)畫像，所以工件輪廓線是工件制造精密性的主要參考指標(biāo)，是工件表面質(zhì)量的直接外現(xiàn)。故對(duì)工件輪廓線的精密測(cè)定十分必要而迫切，關(guān)于輪廓線的自動(dòng)標(biāo)注研究[4-6]就顯得既有理論價(jià)值又有應(yīng)用價(jià)值。

文中用2020年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題D的數(shù)據(jù)，分別就接觸式輪廓儀對(duì)工件在水平狀態(tài)和偏移狀態(tài)下的兩種情形建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用這些模型完整地標(biāo)注工件輪廓線的各項(xiàng)特征數(shù)據(jù)。文中所用數(shù)據(jù)下載于全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)網(wǎng)站，為附件1中的兩個(gè)表格level和down，鏈接為http://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/460baf68ab0ed0e1e557a0c79b1c4648.html。

1 水平狀態(tài)下輪廓儀對(duì)工件輪廓線自動(dòng)標(biāo)注問題

1.1 模型建立的思想及準(zhǔn)備

根據(jù)附件1中l(wèi)evel表繪制工件1的輪廓線，如圖5所示。

圖5 附件1 level表對(duì)應(yīng)的工件1輪廓線

標(biāo)注出的輪廓線各項(xiàng)參數(shù)值如圖6所示：槽口寬度(如x1,x3等)、圓弧半徑(如r1,r2等)、圓心之間的距離(如c1,c2等)、圓弧的長(zhǎng)度、水平線段的長(zhǎng)度(如x2,x4等)、斜線線段的長(zhǎng)度、斜線與水平線之間的夾角(如∠1，∠2等)和人字形線的高(z1)。

圖6 輪廓線的各項(xiàng)參數(shù)值

由圖5可知，輪廓線是由直線和圓弧構(gòu)成的平面曲線，其中，直線和圓弧的組合有以下幾種情形：1)水平直線段一般有多條，圖5中有9條；2)斜線段一般也有多條，圖5中有8條；3)圓弧有關(guān)于鉛垂線對(duì)稱的(圖5中有4個(gè))，也有關(guān)于鉛垂線不對(duì)稱的(圖5中有3個(gè))。

3個(gè)基本圖形可組合為：1)斜線段與圓弧組合，圖5中這樣的組合有3個(gè)；2)人字形，即斜率互為相反數(shù)的斜線段的組合，圖5中有1個(gè)。

1.2 模型的建立及求解

1.2.1 水平線段的方程

1)假設(shè)。根據(jù)題意及對(duì)水平線數(shù)據(jù)的分析，提出如下假設(shè)：9條水平線段位于同一條直線上。

2)水平直線方程的確定。首先從觀測(cè)數(shù)據(jù)中截取需要的數(shù)據(jù)[7-8]。在9條水平線段上分別截取中間較大一段，獲得相應(yīng)的z值，得到9組z值；圖7中第一條水平線段取x值情況：46.989 4≤x≤49.435 4，對(duì)應(yīng)的z值范圍為-1.768 8≤z≤-1.768 2。

圖7 第1條斜線段數(shù)據(jù)截取

設(shè)9組數(shù)據(jù)z值構(gòu)成的數(shù)據(jù)集S={zk|k=1,2,…,9}。

設(shè)水平線方程為z=z0，其中，z0為待定參數(shù)。建立關(guān)于z0的無(wú)約束優(yōu)化模型

(1)

應(yīng)用Matlab中fminunc命令求解得到z0=-1.773 684 378 898 429。

故水平線的方程z=z0=-1.773 684 378 898 429。

1.2.2 斜線段與圓弧的組合

下文詳細(xì)介紹第一個(gè)曲線組合方程，將其作為一個(gè)整體建模及求解過(guò)程[9-11]。

在斜線段上分別截取中間較大一段獲得相應(yīng)的數(shù)據(jù)用作直線擬合。圖7示意了第1條斜線段x的取值范圍：49.762 366≤x≤50.789 305。共截取樣本N=5 854個(gè)，即數(shù)據(jù)集含5 854組(x,z)值。

斜線段數(shù)據(jù)截取結(jié)果如表1所示。

表1 斜線段數(shù)據(jù)截取結(jié)果 mm

1)待定參數(shù)。

由圖5可知，該曲線組合中有待定參數(shù)為左直線段：斜率k1和截距b1；與水平線的交點(diǎn)(x1,z0)；與圓弧的切點(diǎn)(x2,z2)。右直線段：斜率k2和截距b2；與圓弧的切點(diǎn)(x3,z3)；與水平線的交點(diǎn)(x4,z0)。圓弧：半徑r；圓心(x5,z5)?？偨Y(jié)起來(lái)，這樣的曲線組合含有13個(gè)待定參數(shù)。

2)在x1≤x≤x2上是左直線：z=k1x+b1；在x3≤x≤x4上是右直線：z=k2x+b2；在x2≤x≤x3上是圓?。?x-x5)2+(z-z5)2=r2。

根據(jù)圓弧的特點(diǎn)，方程可顯化為

(2)

目標(biāo)函數(shù)：殘差平方和RSS最小，即

(3)

約束條件：為了保證曲線光滑，則直線和圓弧必須滿足下述條件：切點(diǎn)在直線上，得z2=k1x2+b1且z3=k2x3+b2；切點(diǎn)在圓弧上，得(x2-x5)2+(z2-z5)2=r2且(x3-x5)2+(z3-z5)2=r2。

由圓弧方程易得圓弧切線斜率為

(4)

圓弧在切點(diǎn)(x2,z2)和(x3,z3)處斜率為

(5)

同理有

x3+k2z3-x5-k2z5=0.

(6)

綜上所述，得到優(yōu)化模型為

(7)

3)模型求解。

注意到上述優(yōu)化模型并非一般意義上的優(yōu)化模型，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)中有動(dòng)態(tài)下標(biāo)n1，n2。所以采取以下算法：一方面對(duì)n1，n2進(jìn)行暴力搜索，另一方面當(dāng)搜索中取定n1,n2時(shí)，應(yīng)用Matlab有約束優(yōu)化問題求解命令fmincon進(jìn)行求解。求解結(jié)果如表2所示。

表2 線弧組合1求解結(jié)果

4)其他2個(gè)組合的求解結(jié)果如表3、表4所示。

表3 線弧組合2求解結(jié)果

表4 線弧組合3求解結(jié)果

1.2.3 折線段

由圖5可知，工件1輪廓線上有一個(gè)折線段。在附件1的level數(shù)據(jù)集中用前述方法分別截取左、右斜線段的數(shù)據(jù)，然后應(yīng)用excel對(duì)所截取的數(shù)據(jù)進(jìn)行直線擬合——插入—散點(diǎn)圖—添加趨勢(shì)線，得到方程如表5所示。

表5 折線段的方程及擬合優(yōu)度

1.2.4 圓弧方程

首先用同樣的方法截取數(shù)據(jù)；再以圓心、半徑為待定參數(shù)，應(yīng)用Matlab進(jìn)行曲線擬合[12]；最后得到圓弧的方程，如表6所示。

表6 圓弧的圓心與半徑

1.3 結(jié)論

1.3.1 求出所有與水平線的交點(diǎn)(僅給出橫坐標(biāo))

1)第一組曲線(直線與圓弧的組合)與水平線的交點(diǎn)分別為49.775、52.628、57.661、59.688、64.73、66.774。

2)折線與水平線的交點(diǎn)分別為71.99、82.367。

折線的頂點(diǎn)(兩條斜線段的交點(diǎn))為(77.186,-0.736 01)。

3)圓弧與水平線的交點(diǎn)如表7所示。

表7 圓弧與水平線的交點(diǎn)

16個(gè)交點(diǎn)如圖8所示。

圖8 與水平線的交點(diǎn)

1.3.2 所求各量的結(jié)果

1)槽口寬度x值如表8所示。

表8 槽口寬度x值

2)角、半徑、c值、線段長(zhǎng)度和圓弧長(zhǎng)度(自左至右)各項(xiàng)取值如表9所示。

表9 角、半徑、c值、線段長(zhǎng)度和圓弧長(zhǎng)度各項(xiàng)取值

3)人字形高度z1=1.037 67。

1.3.3 小結(jié)

依據(jù)輪廓儀就工件1在水平狀態(tài)下的觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)輪廓線的特征值進(jìn)行標(biāo)注。首先對(duì)工件1在水平狀態(tài)下的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，通過(guò)繪制輪廓線的示意圖建立輪廓線上各線段及圓弧的數(shù)學(xué)模型。然后根據(jù)附件1 level表應(yīng)用excel的線性擬合功能及Matlab的非線性擬合功能求解這些數(shù)學(xué)模型。最后應(yīng)用所求數(shù)學(xué)模型，完整地標(biāo)注了工件1輪廓線的槽口寬度、圓弧半徑、圓心之間距離、圓弧的長(zhǎng)度等特征數(shù)據(jù)。

2 偏移狀態(tài)下輪廓儀對(duì)工件輪廓線自動(dòng)標(biāo)注問題

2.1 模型建立的思想和準(zhǔn)備

根據(jù)附件1中down數(shù)據(jù)，做出工件1在傾斜和平移下的輪廓線，如圖9所示。

圖9 工件1在傾斜和平移下的輪廓線

由圖9可知，工件1在輪廓儀測(cè)量[13-14]時(shí)明顯地發(fā)生了傾斜和平移,作出如下假設(shè):1)工件1是剛性的，即形狀不會(huì)發(fā)生變化，從而其長(zhǎng)度是不變化的。2)通過(guò)對(duì)表level和down中數(shù)據(jù)的橫坐標(biāo)x的分析(見表10)，x在兩表中的最小值變化比最大值的變化大，所以工件1的位置變化在坐標(biāo)系下可按下面進(jìn)行分解：首先向右平移，然后以右端點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)基點(diǎn)(旋轉(zhuǎn)中心)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，最后沿z軸方向平移。

表10 level和down中數(shù)據(jù)的橫坐標(biāo)x的分析

2.2 模型的建立及求解

2.2.1 工件1位置變化

圖10 工件1發(fā)生傾斜和平移過(guò)程

在上述假設(shè)下工件1發(fā)生傾斜和平移過(guò)程如圖10所示。其中,水平平移尺度、垂直平移尺度、傾斜尺度等如圖11所示。

圖11 水平平移尺度、垂直平移尺度、傾斜尺度偏移

2.2.2 傾角的求解

1)工件1的長(zhǎng)度。根據(jù)表10所示，工件1的長(zhǎng)度由level中的數(shù)據(jù)計(jì)算得l=71.528 09。

2)傾斜導(dǎo)致工件1在水平方向長(zhǎng)度減少量。根據(jù)圖11右上角工件的最終位置和表10計(jì)算數(shù)據(jù)得到Δx=0.623 415。

3)傾角的大小。根據(jù)圖11右上角工件的最終位置得到傾角計(jì)算公式為

(8)

2.2.3 斜線方程

1)斜率。

由于夾角θ已經(jīng)求出，根據(jù)圖11右上角工件的位置，得斜率為

k=-tanθ=-tan 7.570 1=-0.132 9.

(9)

2)截距。

設(shè)斜線方程z=kx+b，為了求得恰當(dāng)?shù)腷值，根據(jù)down中數(shù)據(jù)所繪制的輪廓線，從9條水平線傾斜后的斜線段對(duì)應(yīng)的表中數(shù)據(jù)隨機(jī)提取多組(x，z)值(包括首尾兩個(gè)點(diǎn))，然后取平均值得到其結(jié)果為b=7.961， 所以斜線方程為

z=-0.132 9x+7.961.

(10)

2.2.4 數(shù)據(jù)水平校正

1)校正方法。

數(shù)據(jù)變化是由傾斜和平移引起的，即是由斜線方程式(10)引起的，所以校正方法就是將引起變化的因素剔除掉，但這種剔除并非簡(jiǎn)單地從觀測(cè)值中減去斜線值，即

z校正值=z觀測(cè)值-z斜線值.

(11)

而是要保證校正數(shù)據(jù)符合工件的剛性特征[15-16]：不膨脹、不壓縮。而式(11)的校正方法不能保證這一點(diǎn)。為了讓文中采用的校正方法易于理解，給出校正方法如圖12所示。

圖12 校正方法

①假設(shè)點(diǎn)Q是工件的不動(dòng)點(diǎn)，校正方法就是以點(diǎn)Q為中心的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)：將點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)R。

②實(shí)現(xiàn)算法。直接給出校正算法計(jì)算公式

(12)

式中：(x1，z1)為觀測(cè)值；d為x1對(duì)應(yīng)的斜線上點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離。

2)校正結(jié)果。校正結(jié)果如表11所示。

表11 校正結(jié)果

校正結(jié)果輪廓線(上方)與level數(shù)據(jù)輪廓線的對(duì)比如圖13所示。

圖13 校正結(jié)果輪廓線與level數(shù)據(jù)輪廓線的對(duì)比

2.3 結(jié)論

應(yīng)用水平校正數(shù)據(jù)計(jì)算第一節(jié)中各項(xiàng)，計(jì)算過(guò)程與第一節(jié)相同，在此不再贅述而直接給出計(jì)算結(jié)果。

1)校正后槽口寬度x值如表12所示。

表12 校正后槽口寬度x值

2)校正后角、半徑、c值、線段長(zhǎng)度和圓弧長(zhǎng)度(自左至右)各值如表13所示。

表13 校正后角、半徑、c值、線段長(zhǎng)度和圓弧長(zhǎng)度各值

3)人字形高度z1=1.035 6。

4)小結(jié)。

本節(jié)依據(jù)輪廓儀就工件1在偏移狀態(tài)下的數(shù)據(jù)對(duì)輪廓線的特征值進(jìn)行標(biāo)注。工件位置發(fā)生偏移主要是指工件發(fā)生平移或傾斜。首先建立了坐標(biāo)剛性變換模型，將偏移坐標(biāo)校正為水平坐標(biāo)；然后借鑒第一節(jié)的標(biāo)注方法，當(dāng)工件1位置發(fā)生偏移時(shí)對(duì)其輪廓線特征數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)注，得到了槽口寬度、圓弧半徑、圓心之間距離、圓弧的長(zhǎng)度等特征數(shù)據(jù)。

3 兩種測(cè)量狀態(tài)下輪廓線的特征數(shù)據(jù)比較

選水平狀態(tài)下的槽口寬度(見表8)及偏移狀態(tài)下的槽口寬度(見表12)來(lái)比較它們之間的可容錯(cuò)差異，其它特征數(shù)據(jù)可作類似比較，在此不再贅述。

偏差率是指實(shí)際值與理論值或估計(jì)值偏差的程度，用于表征營(yíng)業(yè)業(yè)績(jī)、實(shí)驗(yàn)效果、工程進(jìn)度等落實(shí)情況。偏差率可以用來(lái)說(shuō)明兩種狀態(tài)下輪廓線特征數(shù)據(jù)的可容錯(cuò)差異，偏差率計(jì)算公式為

(13)

在此把水平狀態(tài)下的槽口寬度值作為參考，記為理論值；偏移狀態(tài)下的槽口寬度值作為對(duì)照，記為實(shí)際值，算出的偏差率如表14所示。

由表14中偏差率可知，偏差率接近于0，屬于合理范圍，可得這兩種狀態(tài)下輪廓線的槽口寬度是有隨機(jī)可容錯(cuò)差異的。

表14 兩種狀態(tài)下輪廓線槽口寬度的偏差率

4 結(jié)束語(yǔ)

文中依據(jù)接觸式輪廓儀就工件在水平狀態(tài)和偏移狀態(tài)下的觀測(cè)數(shù)據(jù)建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用這些模型，完整地標(biāo)注了工件輪廓線的各項(xiàng)特征數(shù)據(jù)。通過(guò)比較兩種測(cè)量狀態(tài)下輪廓線的各項(xiàng)特征數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)他們之間有隨機(jī)的可容錯(cuò)差異。文中給出的兩種狀態(tài)下輪廓線數(shù)據(jù)模型能有效實(shí)現(xiàn)直線段、斜線段以及圓弧等工件輪廓線的自動(dòng)標(biāo)注，為機(jī)械工件的測(cè)量帶來(lái)一定的參考價(jià)值。工件在水平觀測(cè)數(shù)據(jù)缺失的情況下依據(jù)其各種偏移狀態(tài)下的整體觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)完成對(duì)工件輪廓線特征數(shù)據(jù)的標(biāo)注是后續(xù)研究的工作。