基于后向加邊算法的城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)彈性優(yōu)化研究

程馳堯，牟能冶,2,3

（1.西南交通大學(xué)，交通運(yùn)輸與物流學(xué)院，成都 611756；2.綜合交通運(yùn)輸智能化國家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室，成都 611756；3.綜合交通大數(shù)據(jù)應(yīng)用技術(shù)國家工程實(shí)驗(yàn)室，成都 611756）

0 引 言

軌道交通系統(tǒng)作為城市主要的功能模塊之一，其網(wǎng)絡(luò)的風(fēng)險(xiǎn)抵御能力是推進(jìn)城市安全發(fā)展的重要保證[1]。城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)發(fā)生故障，不僅會(huì)對城市交通系統(tǒng)造成巨大壓力，還會(huì)給居民生活帶來嚴(yán)重影響。例如：2021 年3 月，南京地鐵1號(hào)線首發(fā)站邁皋橋站突發(fā)設(shè)備故障，導(dǎo)致邁皋橋站至1 號(hào)線后續(xù)26 個(gè)站點(diǎn)上下行運(yùn)營中斷，全線列車限速，運(yùn)行發(fā)車班次間隔延長；2021年7月，廣州地鐵21 號(hào)線中間站神舟路站發(fā)生水浸，使得21號(hào)線上黃村站至蘇元站這一區(qū)間共計(jì)6 個(gè)站點(diǎn)暫停運(yùn)營，4號(hào)線和6號(hào)線換乘也受到影響。因此，建立以提高城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)彈性、增強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)風(fēng)險(xiǎn)抵御能力為目標(biāo)的評估和優(yōu)化體系至關(guān)重要。

1973年，Holling[2]首次使用彈性作為衡量生態(tài)系統(tǒng)應(yīng)對外部沖擊能力的指標(biāo)，基于生態(tài)系統(tǒng)在多起意外事件下的行為變化分析，論證了彈性概念在風(fēng)險(xiǎn)評估方面的可行性，此后，彈性的概念被廣泛應(yīng)用于多類系統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)分析，在城市軌道交通安全領(lǐng)域更是受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。Zhang[3]將網(wǎng)絡(luò)彈性定義為節(jié)點(diǎn)中斷后通過適當(dāng)?shù)男迯?fù)措施將連接快速恢復(fù)到可接受水平的能力，他提出了一個(gè)通用框架，通過定量分析恢復(fù)速度的方式來評估大型復(fù)雜地鐵網(wǎng)絡(luò)的彈性，并以上海地鐵為例進(jìn)行了方法驗(yàn)證。鞠艷妮[4]等在分析城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)之上，結(jié)合網(wǎng)絡(luò)無標(biāo)度特性，以網(wǎng)絡(luò)效率為節(jié)點(diǎn)連通性指標(biāo)對網(wǎng)絡(luò)彈性進(jìn)行判斷，并通過彈性評價(jià)識(shí)別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，以此從全局角度提出最優(yōu)故障恢復(fù)策略。Cheng等[5]考慮了乘客出行路徑和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，提出了基于實(shí)際需求的軌道交通彈性績效指標(biāo)分析網(wǎng)絡(luò)中斷下的性能損失，并以成都地鐵網(wǎng)絡(luò)為例進(jìn)行了方法有效性驗(yàn)證。Li 等[6]分析了北京地鐵近年來的多起中斷事件，基于客流計(jì)算了節(jié)點(diǎn)的加權(quán)度，分析多種中斷情形下北京地鐵網(wǎng)絡(luò)的彈性變化情況，形成需重點(diǎn)維持和保護(hù)的節(jié)點(diǎn)體系，并提出了應(yīng)對策略。潘守政等[7]從系統(tǒng)彈性的角度出發(fā)，采用失效節(jié)點(diǎn)比率和運(yùn)營效率作為評價(jià)指標(biāo)，深入分析環(huán)線結(jié)構(gòu)在網(wǎng)絡(luò)失效和恢復(fù)過程中的影響作用，并以北京地鐵為例，得出越靠近中心的環(huán)線會(huì)比外圍環(huán)線更加重要這一結(jié)論。

為了減輕擾動(dòng)或中斷對于網(wǎng)絡(luò)彈性的影響，許多專家和學(xué)者提出了一些通過改變網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)來提高網(wǎng)絡(luò)彈性的方法和機(jī)制。Safaei等[8]提出了一種基于熵的網(wǎng)絡(luò)重布線機(jī)制，在維持網(wǎng)絡(luò)總度值不變的前提下，對節(jié)點(diǎn)間的連線進(jìn)行重新分配，通過均衡各節(jié)點(diǎn)度值來提高網(wǎng)絡(luò)彈性。Lou等[9]對重布線模式下的度保持策略、底層拓?fù)浔３植呗院碗S機(jī)布線策略進(jìn)行了比較分析，得出度保持策略在提高網(wǎng)絡(luò)彈性和維持網(wǎng)絡(luò)功能方面整體最優(yōu)這一結(jié)論。Yang 等[10]設(shè)計(jì)了一種三步拓?fù)湔{(diào)整方法，將網(wǎng)絡(luò)按照社團(tuán)結(jié)構(gòu)進(jìn)行劃分，使每個(gè)社團(tuán)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)表現(xiàn)為洋蔥狀結(jié)構(gòu)，然后通過低重要性的節(jié)點(diǎn)將不同的社團(tuán)連接起來，實(shí)現(xiàn)增加網(wǎng)絡(luò)延展性、加強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)彈性的目的。Liu 等[11]提出了一種模因算法，在保持每個(gè)社團(tuán)的度分布和社團(tuán)內(nèi)鏈接數(shù)量不變的約束條件下，對社團(tuán)內(nèi)部、外部節(jié)點(diǎn)連接情況進(jìn)行判斷，分兩階段進(jìn)行彈性優(yōu)化，以美國航空網(wǎng)絡(luò)為例驗(yàn)證了算法的有效性。Sebastian等[12]基于離散社區(qū)算法，對各社區(qū)之間的重要邊進(jìn)行識(shí)別，并采用弱連接的加邊策略，對社區(qū)間的連接進(jìn)行加強(qiáng)，從而實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)彈性整體的增強(qiáng)。朱倩[13]在復(fù)雜特性和節(jié)點(diǎn)連接偏好特性基礎(chǔ)上，采用點(diǎn)強(qiáng)度作為節(jié)點(diǎn)連接度的偏好連接機(jī)制，構(gòu)建了一個(gè)具有增長和偏好連接機(jī)制的網(wǎng)絡(luò)模型，對高鐵快遞網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了優(yōu)化。

既有研究多基于節(jié)點(diǎn)判斷，選擇一定數(shù)量的節(jié)點(diǎn)形成節(jié)點(diǎn)集，通過對節(jié)點(diǎn)集進(jìn)行重布線或增邊操作，以實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)彈性提升的目的。選擇方式以節(jié)點(diǎn)自身屬性或社團(tuán)地位等靜態(tài)指標(biāo)為主，較少分析網(wǎng)絡(luò)在發(fā)生全部或部分中斷等動(dòng)態(tài)情形下節(jié)點(diǎn)的屬性變化對于選擇的影響，且優(yōu)化方案缺乏花費(fèi)成本等現(xiàn)實(shí)約束的綜合度量，成果可行性存在一定不足。鑒于此，本文在建立同時(shí)考慮網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行能力和運(yùn)作效率的彈性評估體系基礎(chǔ)之上，基于后向加邊算法，聯(lián)系社團(tuán)理論，提出了一種“節(jié)點(diǎn)集”的動(dòng)態(tài)選擇方法和體現(xiàn)現(xiàn)實(shí)約束的彈性優(yōu)化模型，并以成都都市圈為例進(jìn)行分析和驗(yàn)證，以期為城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)的安全高效運(yùn)營提供借鑒。

Mu：Lao Yang，you’d better sign this contract（簽賣身契）.Or，you know，Master will be very angry!

1 研究方法

1.1 城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)彈性評估體系

在本文的研究中，網(wǎng)絡(luò)彈性應(yīng)包含兩個(gè)維度：一是運(yùn)行能力維度，能夠正確衡量軌道交通網(wǎng)絡(luò)面臨全部或部分中斷時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中能夠維持運(yùn)營的節(jié)點(diǎn)和邊的整體情況；二是運(yùn)行效率維度，能夠精準(zhǔn)評判軌道交通網(wǎng)絡(luò)面臨全部或部分中斷時(shí)，網(wǎng)絡(luò)提供正常服務(wù)的能力和水平。因此，本文在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲笜?biāo)分析的基礎(chǔ)上，參考Mou等[14]提出的彈性公式，基于運(yùn)行能力和運(yùn)作效率的雙重考慮，構(gòu)建軌道交通網(wǎng)絡(luò)彈性評估體系，如下所示：

傍晚，我靠著逐漸暗淡的、最后的陽光指引，走過十八年前的故居。這條街、這個(gè)建筑物開始在我的眼前隱藏起來，像在躲避一個(gè)久別的舊友。但是它們改變了的面貌于我還是十分親切，我認(rèn)識(shí)它們，就像認(rèn)識(shí)我自己，還是那樣寬的街，寬的房屋。巍峨的門墻代替了太平缸和石獅子，那一對常常做我們坐騎的背脊光滑的雄獅也不知逃進(jìn)了哪座荒山。然而大門開著，照壁上“長宜子孫”四個(gè)字卻是原樣地嵌在那里，似乎連顏色也不曾被風(fēng)雨剝蝕。我望著那同樣的照壁，被一種奇異的感情抓住了，我仿佛要在這里看出過去的十九個(gè)年頭，不，我仿佛要在這里尋找十八年以前的遙遠(yuǎn)舊夢。

式中：R(G)表示網(wǎng)絡(luò)彈性；GC表示網(wǎng)絡(luò)連通度；GE表示全局網(wǎng)絡(luò)效率；GD表示網(wǎng)絡(luò)密度；FC表示網(wǎng)絡(luò)融合中心性。

從各指標(biāo)的意義來看，GC、GD是網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行能力的重要衡量，而GE、FC則是網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行效率的重要評判，計(jì)算如下：

（1）網(wǎng)絡(luò)連通度GC

圖A1中的算法描述了多個(gè)地震事件檢測的歸一化質(zhì)點(diǎn)濾波的概要。 “CONVERGED”（收斂）的判據(jù)可由理想條件來取代（例如在估計(jì)‖＾θt－10－＾θt－1‖＜δ 時(shí)發(fā)生變化）。

考慮到當(dāng)網(wǎng)絡(luò)遭受沖擊導(dǎo)致若干節(jié)點(diǎn)失效時(shí)，一個(gè)連通性良好的網(wǎng)絡(luò)被波及的節(jié)點(diǎn)數(shù)量較少，可避免網(wǎng)絡(luò)發(fā)生大范圍中斷，因此，網(wǎng)絡(luò)連通度與彈性成正比：

式中：GC表示網(wǎng)絡(luò)最大連通子圖包含節(jié)點(diǎn)數(shù)量與網(wǎng)絡(luò)初始節(jié)點(diǎn)數(shù)的比值；Np表示網(wǎng)絡(luò)最大連通子圖包含節(jié)點(diǎn)數(shù)量；N為網(wǎng)絡(luò)初始節(jié)點(diǎn)數(shù)。

為精準(zhǔn)解決成都都市圈軌道交通網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)營安全問題，針對成都都市圈軌道交通網(wǎng)絡(luò)可能面臨的中斷情形，本文從中斷來源和影響程度兩個(gè)方面對其進(jìn)行分類：在中斷來源方面，分為帶有目的性的干擾（人為破壞）和隨機(jī)突發(fā)事件干擾（設(shè)備故障、自然災(zāi)害、公共衛(wèi)生事件）兩種情況，映射復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的蓄意攻擊和隨機(jī)攻擊兩種模式；在影響程度方面，設(shè)備、人員、環(huán)境、管理等因素均可能導(dǎo)致成都都市圈軌道交通系統(tǒng)運(yùn)營受到影響，影響因素的不同使得軌道交通網(wǎng)絡(luò)站點(diǎn)被波及的范圍和受影響的程度有所區(qū)別，映射復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的累計(jì)失效和單點(diǎn)失效兩種情況。本文將基于以上情形對成都都市圈軌道交通網(wǎng)絡(luò)彈性變化及內(nèi)在機(jī)理進(jìn)行分析。

全局網(wǎng)絡(luò)效率通常用來反映整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間連接的難易程度，因此與網(wǎng)絡(luò)彈性成正比：

式中：GE反映節(jié)點(diǎn)之間連接的難易程度；N表示節(jié)點(diǎn)數(shù)量；dij為從節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j的最短路徑上的邊數(shù)。

（3）網(wǎng)絡(luò)密度GD

如果成都都市圈軌道交通網(wǎng)絡(luò)發(fā)生局部破壞，如地震、洪澇等，網(wǎng)絡(luò)密度越高，受影響的站點(diǎn)和路段就越多，對維持網(wǎng)絡(luò)正常運(yùn)作產(chǎn)生不利影響。因此，網(wǎng)絡(luò)的密度與其彈性成反比：

式中：GD表示節(jié)點(diǎn)之間連接的稀疏程度[15]；ep表示網(wǎng)絡(luò)正常運(yùn)營連邊數(shù)量。

彈性填料密封，采用涂有耐油橡膠的尼龍布袋(也有直接采用丁腈橡膠)作為與罐壁接觸的滑行部件，內(nèi)部裝有彈性海綿或軟泡沫塑料塊，利用這類彈性填充物來達(dá)到與儲(chǔ)罐罐壁密封。這類密封在實(shí)際應(yīng)用中占比最大。

“我國目前已掌握世界上全部鉀肥生產(chǎn)技術(shù)，鉀鹽綜合利用率由最初的27%提升至80%以上，鉀鹽自給率由完全依賴進(jìn)口上升至58%，在提升中國國際鉀肥市場話語權(quán)的同時(shí)，中國已成為世界鉀肥貿(mào)易價(jià)格凹地。鹽湖鉀肥、鹽湖循環(huán)產(chǎn)業(yè)已經(jīng)成為青海在國家乃至世界的品牌?！鼻嗪｛}湖工業(yè)股份有限公司總裁謝康民在8月22日召開的“2018鉀鹽鉀肥大會(huì)暨格爾木鹽湖論壇”上表示。

融合中心性定義為網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)中心性的平均值，反映了網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的集中程度。軌道交通網(wǎng)絡(luò)的集中程度越大，表示站點(diǎn)之間的聯(lián)系越緊密，如果一個(gè)站點(diǎn)被破壞，越有可能造成大規(guī)模的路由影響。因此，較高的融合中心性降低了網(wǎng)絡(luò)的彈性，即融合中心性與彈性成反比：

式中：將節(jié)點(diǎn)i的度中心性值、緊密中心性值和中介中心性值進(jìn)行歸一化和標(biāo)準(zhǔn)化處理后分別用CC(i)、CD(i)和CB(i)表示。

Hi計(jì)算公式如下：

依照前面論述，節(jié)點(diǎn)重要度評估是蓄意攻擊中必不可少的一環(huán)。常用的節(jié)點(diǎn)重要度評價(jià)指標(biāo)包括：度、介數(shù)、節(jié)點(diǎn)中心性等，側(cè)重于從節(jié)點(diǎn)自身鄰接屬性出發(fā)進(jìn)行節(jié)點(diǎn)重要性判斷，鮮少有研究從節(jié)點(diǎn)聚集特征方面進(jìn)行度量。事實(shí)上，大量的研究表明：軌道交通運(yùn)營網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)表現(xiàn)出不同的連接傾向性，可聚集為不同的簇，對網(wǎng)絡(luò)運(yùn)作過程造成極大影響[17-19]。因此，本文將基于節(jié)點(diǎn)體系的簇劃分，構(gòu)造基于社區(qū)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)重要度評判體系對成都都市圈軌道交通網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的重要性進(jìn)行度量，公式如下：

式中：BM(i)為節(jié)點(diǎn)i的重要度；Hi為節(jié)點(diǎn)i的社區(qū)密度熵；DeDi為節(jié)點(diǎn)i的度值；Bi為節(jié)點(diǎn)i的介數(shù)值；N為網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)總數(shù)。

二是創(chuàng)設(shè)具有“行知教育”氣息的人文環(huán)境，發(fā)揮環(huán)境育人的功效。以生活教育為載體，全心“學(xué)陶”“師陶”和“研陶”，以“愛滿天下”的情懷善待學(xué)生，逐漸形成了“行知文化”特色：學(xué)校把陶行知的塑像請進(jìn)校園，讓師生瞻仰的同時(shí)，也顯示著學(xué)校的教育特色。圍繞著“行知教育”，學(xué)校建立了樓道閱讀長廊、行知文化宣傳欄等。人文的校園環(huán)境，彰顯著學(xué)?！靶兄逃?，育人行知”的辦學(xué)理念。

軌道交通網(wǎng)絡(luò)的中斷事件映射復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)失效，因此，攻擊方式的確定對于網(wǎng)絡(luò)彈性的衡量至關(guān)重要。與隨機(jī)攻擊下的等概率失效不同，蓄意攻擊的節(jié)點(diǎn)刪除程序有同步定向攻擊和順序定向攻擊兩種，前者在初始排序后，按照自頂向下的原則對節(jié)點(diǎn)進(jìn)行逐一刪除，并計(jì)算由此產(chǎn)生的擾動(dòng)對網(wǎng)絡(luò)性能的影響；后者則在每一次刪除步驟中，重新計(jì)算節(jié)點(diǎn)重要性，同時(shí)評估移除最重要節(jié)點(diǎn)對網(wǎng)絡(luò)性能的影響。研究發(fā)現(xiàn)，順序定向攻擊比同步定向攻擊更具危害性且與實(shí)際情況更為貼合[16]，在后續(xù)仿真中，本文將采用順序定向攻擊策略進(jìn)行研究。

1.2 清理的方法可分為割除清理、火燒清理和用化學(xué)藥劑清理。割除清理可以是人工，也可以用機(jī)具，如推土機(jī)、割灌機(jī)、切碎機(jī)等機(jī)具。清理后歸堆和平鋪，并用火燒方法清除。也可以采用噴灑化學(xué)除草劑，殺死灌木和草類植物。整地方式分為全面整地和局部整地。局部整地又分為帶狀整地和塊狀整地。全面整地是翻墾造林地全部土壤，主要用于平坦地區(qū)。局部整地是翻墾造林地部分土壤的整地方式。包括帶狀整地和塊狀整地。

1.2 城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)彈性優(yōu)化模型

“重布線”和“增邊”是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)彈性優(yōu)化最主要的兩種形式，前者通過重新布線的方式對現(xiàn)有格局進(jìn)行大幅更改，以適應(yīng)現(xiàn)階段的網(wǎng)絡(luò)需求；后者在現(xiàn)有格局的基礎(chǔ)上增加一定數(shù)量的連邊，通過在節(jié)點(diǎn)集之間創(chuàng)建冗余路徑，以提高自身在中斷情形下維持自身正常運(yùn)營的能力?？紤]到在實(shí)際軌道交通路網(wǎng)中，第一種優(yōu)化方式工程量大且成本極高，現(xiàn)實(shí)可行性不佳，本文將采取第二種方式，通過增加連邊的形式來達(dá)成軌道交通網(wǎng)絡(luò)彈性提升的目的。

從功能定位和服務(wù)對象看，服務(wù)于成都都市圈的軌道交通包含城際鐵路、市域（郊）鐵路及城市軌道交通快線3 種類型。由于軌道交通車輛具有成對運(yùn)行等特征，不考慮各路段的方向、運(yùn)載能力和鐵路線級(jí)別，將成都都市圈軌道交通網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建為無向無權(quán)網(wǎng)絡(luò)。考慮到成都都市圈軌道交通網(wǎng)絡(luò)體系制式多、規(guī)模大，在研究過程中，采用Space-L 模型構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，即基于現(xiàn)實(shí)空間結(jié)構(gòu)，在兩個(gè)站點(diǎn)間存在一條軌道路段，則視為兩站點(diǎn)間存在連邊，且二者互為鄰居節(jié)點(diǎn)。

圖1 網(wǎng)絡(luò)彈性優(yōu)化的后向添加邊算法Fig.1 Posteriorly adding algorithm for network resilience optimization

盡管PA 算法能夠使網(wǎng)絡(luò)彈性得到有效提升，但無序的增邊模式在改變網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的同時(shí)，也可能造成網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)功能和運(yùn)行效率發(fā)生重大改變。由于社團(tuán)結(jié)構(gòu)決定了網(wǎng)絡(luò)功能和拓?fù)渲g的關(guān)系，對網(wǎng)絡(luò)運(yùn)作效率影響巨大[21]，因此，為了在提高網(wǎng)絡(luò)彈性的同時(shí)減少新連接對網(wǎng)絡(luò)原有功能的影響，即最大限度地維持網(wǎng)絡(luò)社團(tuán)結(jié)構(gòu)不被增邊所改變。本文將借鑒PA 算法，將其與社團(tuán)理論相融合，形成一套適用于確定增邊操作的節(jié)點(diǎn)集動(dòng)態(tài)選擇流程，如圖2 所示。其中，社區(qū)劃分采用了Newman方法，通過求解模塊度矩陣的最大正特征值以及對應(yīng)的特征向量的方式發(fā)現(xiàn)社區(qū)結(jié)構(gòu)的層次性[22]，這也是目前性能最好、應(yīng)用范圍最廣的社團(tuán)劃分方法之一。而網(wǎng)絡(luò)中的核心節(jié)點(diǎn)表述為基于自頂向下的次序，采用每一次重新計(jì)算網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)重要度的方式，連續(xù)、動(dòng)態(tài)地刪除每一次攻擊下社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)重要度最高的節(jié)點(diǎn)，最終找出核心節(jié)點(diǎn)和次核心節(jié)點(diǎn)。

《詩志》大多數(shù)地方屬于純粹文學(xué)批評，喜好以后世的詩歌與《詩》相比較，相對其他文學(xué)性解經(jīng)書籍更為鮮明成熟。如牛氏評點(diǎn)《詩經(jīng)·漢廣》說“漢廣不可泳，江永不可方，言游女有二漢之隔，婷婷獨(dú)立，可望而不可即也。正與‘盈盈一水間，脈脈不得語’相似”[19]。評點(diǎn)《詩經(jīng)·柏舟》說：“憂極不能自遣，算到奮飛一著，真煩騷無聊之至?！笧殡p黃鵠，奮翅起高飛’，古之憂患人于此躊躇多少?！盵19]用后世詩句與《詩》對照闡發(fā)，注重的是《詩》作為文學(xué)的神理氣味，讀者自行比較不同詩句，則詩歌的妙味不言而自然領(lǐng)悟。這明顯不同于漢人注解《詩經(jīng)》的方式，以考據(jù)訓(xùn)詁追求字詞確義。

圖2 適宜增邊操作的節(jié)點(diǎn)列表動(dòng)態(tài)選擇流程Fig.2 Dynamic selection strategy of node setsuitable for edge adding operation

實(shí)際運(yùn)用中，通過添加節(jié)點(diǎn)或邊來提高網(wǎng)絡(luò)彈性往往伴隨著資源限制，盡管資源限制在各種應(yīng)用中有不同的含義，但通常指的是網(wǎng)絡(luò)變化所導(dǎo)致的經(jīng)濟(jì)成本。王輝[23]提出了在城市軌道交通線網(wǎng)規(guī)劃階段進(jìn)行投資匡算的一種快速、合理的計(jì)算方法，分析得出軌道交通網(wǎng)絡(luò)建設(shè)的總費(fèi)用由工程費(fèi)用、工程建設(shè)其他費(fèi)用、預(yù)備費(fèi)和專項(xiàng)費(fèi)用四項(xiàng)組成，占比分別約為60%、18%、8%和4%，最終計(jì)算得到城市軌道交通建設(shè)的單位費(fèi)用為5.22 億元/km。因此，本文將以網(wǎng)絡(luò)彈性作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，以網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化成本作為約束條件，構(gòu)建成都都市圈軌道交通網(wǎng)絡(luò)彈性優(yōu)化模型，從第一步的節(jié)點(diǎn)集中選擇一定數(shù)量的節(jié)點(diǎn)構(gòu)建最優(yōu)邊集來解決網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)彈性的問題。模型如下：

社交娛樂方面，絕大多數(shù)學(xué)生參加各種社交娛樂的時(shí)間和頻次正常。學(xué)生談戀愛現(xiàn)象比較普遍，問卷表明，大三學(xué)生中談戀愛的已占到班級(jí)的七成以上。而認(rèn)為談戀愛對自己產(chǎn)生積極影響、負(fù)面影響的，后者略高于前者，約各占三成左右。絕大多數(shù)學(xué)生在與親友QQ、微信或電話聊天，參加朋友聚會(huì)、聚餐，逛街、購物，節(jié)假日及假期外出旅游，到歌廳、茶室等公眾娛樂場所玩樂的時(shí)間和頻次，均在正常范圍之內(nèi)。

式中：di(c)為節(jié)點(diǎn)i與社區(qū)c包含節(jié)點(diǎn)之間的連接關(guān)系之和；Sc為社區(qū)c包含的節(jié)點(diǎn)總數(shù)；C為社區(qū)總數(shù)。

目標(biāo)函數(shù)：

式中：cij表示節(jié)點(diǎn)vi到節(jié)點(diǎn)vj之間是否產(chǎn)生新的連接關(guān)系，cij值為1，則節(jié)點(diǎn)間產(chǎn)生新的連接關(guān)系，反之則無；wij表示節(jié)點(diǎn)vi到節(jié)點(diǎn)vj之間的路段連接費(fèi)用；B為成本預(yù)算；m表示城市軌道交通建設(shè)單位費(fèi)用，本文取5.22億元/km；tij表示節(jié)點(diǎn)vi到節(jié)點(diǎn)vj之間的實(shí)際空間距離，km。

由于構(gòu)建的成都都市圈軌道交通網(wǎng)絡(luò)彈性優(yōu)化模型的解空間較大，需要尋求一種較好的算法得到較為理想的最優(yōu)邊集方案，而模擬退火算法具有通用性、靈活性、高效性，全局搜索能力強(qiáng)，不容易陷入局部最優(yōu)等優(yōu)勢。因此，本文擬采用模擬退火算法來求解成都都市圈軌道交通網(wǎng)絡(luò)彈性優(yōu)化模型，算法流程如圖3所示。

圖3 模擬退火算法流程圖Fig.3 Flowchart of the simulated annealing algorithm

2 算例分析

2.1 算例說明

城市群或都市圈的軌道交通建設(shè)是“十四五”期間國家和社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要方向[24]。成都都市圈位于成都平原經(jīng)濟(jì)區(qū)內(nèi)圈，以成都市為中心,與聯(lián)系緊密的德陽市、眉山市、資陽市共同組成，是全國經(jīng)濟(jì)發(fā)展最活躍、創(chuàng)新能力最強(qiáng)、開放程度最高的區(qū)域之一（見圖4）。隨著2021年《成都都市圈發(fā)展規(guī)劃》的發(fā)布，成都都市圈同城化、一體化發(fā)展進(jìn)入全面提速期，軌道交通系統(tǒng)也在不斷集線成網(wǎng)，結(jié)構(gòu)復(fù)雜性倍增，網(wǎng)絡(luò)中斷事件時(shí)有發(fā)生。

（4）網(wǎng)絡(luò)融合中心性FC

圖4 成都都市圈軌道交通站點(diǎn)空間布局及節(jié)點(diǎn)編號(hào)Fig.4 Spatial layout and node numbers of rail transit stations in Chengdu metropolitan area

（2）全局網(wǎng)絡(luò)效率GE

全球常規(guī)與非常規(guī)石油可采資源量約為9000億噸，天然氣可采資源量約為3800萬億立方米，按現(xiàn)有水平可消費(fèi)數(shù)百年。石油時(shí)代的結(jié)束不會(huì)因?yàn)楹谋M石油，而是被比石油更優(yōu)質(zhì)的能源取代。

《詩經(jīng)》是我國最早的一部詩歌總集，它收集和保存了周初至春中葉五百多年間的作品，按照《風(fēng)》《雅》《頌》的體例編撰而成?！对娊?jīng)》中的作品，是一部反映周代社會(huì)的百科全書，具有深厚而豐富的文化積累，食譜文化也是其中一個(gè)組成部分。從其中涉及到的食譜，可以感受到先民們已經(jīng)有了基本的食物養(yǎng)生、祭祀等觀念，也可以了解到周人們對食文化的重視。下面就從《詩經(jīng)》中涉及到的食物來研究食譜文化。

對于“增邊”提升網(wǎng)絡(luò)彈性的問題，Li等[20]提出了一種后向加邊的算法（Posteriorly Adding Algorithm，PA 算法），即通過一種動(dòng)態(tài)的節(jié)點(diǎn)重要度評判準(zhǔn)則，按照自頂向下的次序依次刪除網(wǎng)絡(luò)中重要度最高的節(jié)點(diǎn)，將網(wǎng)絡(luò)裂解為數(shù)個(gè)連通分量，找尋其中維持網(wǎng)絡(luò)最大連通分量不完全潰散的核心節(jié)點(diǎn)（去掉該節(jié)點(diǎn)，連通分量中的連邊數(shù)量變?yōu)?），以及網(wǎng)絡(luò)完全潰散前與核心節(jié)點(diǎn)直接相連的次核心節(jié)點(diǎn)，將所有次核心節(jié)點(diǎn)構(gòu)成最優(yōu)節(jié)點(diǎn)集，并通過增加最優(yōu)節(jié)點(diǎn)集中節(jié)點(diǎn)的連邊關(guān)系達(dá)成網(wǎng)絡(luò)彈性提升的目的，如圖1所示。該方法的有效性在空手道俱樂部網(wǎng)絡(luò)、甘肅電網(wǎng)、河南電網(wǎng)等多個(gè)現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)的彈性優(yōu)化中均得到了驗(yàn)證。

為保證研究結(jié)果的真實(shí)可靠，本文從成都軌道交通集團(tuán)官方網(wǎng)站（https://www.chengdurail.com/index.html）、《成都市軌道交通線網(wǎng)規(guī)劃（2021）》、高鐵網(wǎng)（http://www.gaotie.cn/）等多個(gè)數(shù)據(jù)搜集渠道提取了成都地鐵1～10 號(hào)線、17 號(hào)線、18 號(hào)線、蓉2 號(hào)線，成都市域鐵路S1、S5、S10、S11號(hào)線和資陽線等多條線路信息，整合處理后得到373個(gè)軌道交通站點(diǎn)和500條運(yùn)營線路。以此為基礎(chǔ)，引入站點(diǎn)地理坐標(biāo)，在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析軟件Gephi 中生成成都都市圈軌道交通復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，如圖5所示。

圖5 成都都市圈軌道交通網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.5 Topological structure of rail transit network in Chengdu metropolitan area

2.2 彈性評估

為了分析成都都市圈軌道交通網(wǎng)絡(luò)遭遇突發(fā)事件后的動(dòng)態(tài)彈性變化，本文采取單點(diǎn)失效、累計(jì)-隨機(jī)失效、累計(jì)-蓄意失效三種攻擊模式，分別模擬軌道交通站點(diǎn)遭受突發(fā)事件失效的情況。其中：單點(diǎn)失效通過刪除網(wǎng)絡(luò)中單個(gè)節(jié)點(diǎn)的方式模擬單個(gè)站點(diǎn)遭遇突發(fā)事件失效的情況；累計(jì)-隨機(jī)失效、累計(jì)-蓄意失效則分別通過隨機(jī)連續(xù)刪除網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)或基于節(jié)點(diǎn)重要度大小蓄意連續(xù)刪除網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的方式模擬多個(gè)站點(diǎn)遭遇突發(fā)事件失效的情況。

首先是單點(diǎn)失效情況下的網(wǎng)絡(luò)彈性變化模擬。為驗(yàn)證彈性測度指標(biāo)的有效性，將該指標(biāo)與網(wǎng)絡(luò)連通度、網(wǎng)絡(luò)連通效率等網(wǎng)絡(luò)安全和運(yùn)作效能指標(biāo)進(jìn)行對比，為了更好地比較三類指標(biāo)對網(wǎng)絡(luò)性能變化的敏感性，對三類指標(biāo)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了歸一化處理，對比結(jié)果如圖6所示。

圖6 單點(diǎn)攻擊：網(wǎng)絡(luò)彈性變化對比Fig.6 Single point attack:comparison of network resilienceperformance changes

由圖6 分析可知，單點(diǎn)失效模式下，網(wǎng)絡(luò)彈性、網(wǎng)絡(luò)連通度和全局網(wǎng)絡(luò)效率均出現(xiàn)不同程度的變化，其中大部分節(jié)點(diǎn)失效對網(wǎng)絡(luò)性能的影響較小，僅有少部分節(jié)點(diǎn)對網(wǎng)絡(luò)整體性能的影響較大，表明這類節(jié)點(diǎn)是網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。從圖像變化幅度可以推斷，網(wǎng)絡(luò)連通度對于節(jié)點(diǎn)失效的敏感度相對較低，只有極少數(shù)節(jié)點(diǎn)發(fā)生改變能引起網(wǎng)絡(luò)連通度變化，不能很好地衡量不同節(jié)點(diǎn)失效造成的網(wǎng)絡(luò)性能變化；網(wǎng)絡(luò)彈性與全局網(wǎng)絡(luò)效率整體性能變化趨勢較為一致，但網(wǎng)絡(luò)彈性變化程度明顯更大，這也說明了網(wǎng)絡(luò)彈性指標(biāo)在綜合評判運(yùn)行能力和運(yùn)作效率的同時(shí)，對網(wǎng)絡(luò)性能變化也較為敏感。根據(jù)攻擊結(jié)果，確定了成都都市圈軌道交通網(wǎng)絡(luò)中影響網(wǎng)絡(luò)性能的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)涵蓋了世紀(jì)城、中醫(yī)大省醫(yī)院、西博城、太平園等成都市域地鐵主要換乘節(jié)點(diǎn)和成都西站、成都東站、德陽站、資陽北站、眉山東站等城際鐵路樞紐節(jié)點(diǎn)，其中成都西站、成都東站等站點(diǎn)同時(shí)具備地鐵樞紐和城際鐵路樞紐雙重屬性，對網(wǎng)絡(luò)性能的維持發(fā)揮重要作用，在實(shí)際運(yùn)營過程中需要重點(diǎn)關(guān)注和保護(hù)。

于是，習(xí)慣了大手大腳的韓莎，不得不算計(jì)著過日子。星巴克沒了，西餐沒了，進(jìn)口水果也不敢買了，甚至買兩斤排骨，杜飛都要心疼半天。

其次是累計(jì)失效情況下的網(wǎng)絡(luò)彈性變化模擬。為驗(yàn)證節(jié)點(diǎn)重要度評判指標(biāo)的有效性，分別選取節(jié)點(diǎn)度、節(jié)點(diǎn)介數(shù)和本文提出的節(jié)點(diǎn)重要度指標(biāo)作為蓄意攻擊模式下的節(jié)點(diǎn)刪除依據(jù)，并比較結(jié)果，三類指標(biāo)下網(wǎng)絡(luò)彈性變化如圖7 所示。

圖7 累計(jì)攻擊：網(wǎng)絡(luò)彈性變化對比Fig.7 Cumulative attacks:comparison of network resilience changes

由圖7分析可知，相較于隨機(jī)攻擊，累計(jì)-蓄意攻擊給成都都市圈軌道交通網(wǎng)絡(luò)帶來的破壞程度更大，無論在哪種攻擊模式下，失效節(jié)點(diǎn)比率超過20%時(shí)，網(wǎng)絡(luò)彈性均趨近于零，這也反映了軌道交通網(wǎng)絡(luò)彈性較低，抵御風(fēng)險(xiǎn)能力較弱的特點(diǎn)。失效節(jié)點(diǎn)中，節(jié)點(diǎn)重要度指標(biāo)下的網(wǎng)絡(luò)性能下降速率略快于節(jié)點(diǎn)介數(shù)，顯著快于節(jié)點(diǎn)度，由此可得出相較于度和介數(shù)，重要度指標(biāo)對于彈性變化敏感性更強(qiáng)、排名靠前的節(jié)點(diǎn)在軌道交通網(wǎng)絡(luò)的安全中占據(jù)更重要的位置這一結(jié)論。對兩個(gè)指標(biāo)和節(jié)點(diǎn)重要度的重合程度進(jìn)行對比之后不難發(fā)現(xiàn)，整體上而言，介數(shù)指標(biāo)和重要度指標(biāo)的失效節(jié)點(diǎn)重合程度更高，且重合部分節(jié)點(diǎn)也是軌道交通系統(tǒng)中客流量最大、中轉(zhuǎn)換乘能力最強(qiáng)的一批站點(diǎn)，包括：成都西站、成都東站、中醫(yī)大省醫(yī)院站等，如圖8所示。

圖8 失效節(jié)點(diǎn)重合數(shù)目對比Fig.8 Comparison of overlap number of failed nodes

由此表明重要度指標(biāo)與介數(shù)指標(biāo)具有強(qiáng)相關(guān)性，當(dāng)站點(diǎn)的介數(shù)越高，對網(wǎng)絡(luò)運(yùn)輸路徑的影響力也越大，一旦失效對整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的破壞性也越大。度指標(biāo)和節(jié)點(diǎn)重要度指標(biāo)的失效節(jié)點(diǎn)重合程度相對低一些，反映出成都都市圈軌道交通網(wǎng)絡(luò)存在節(jié)點(diǎn)聚集特性明顯且局部網(wǎng)絡(luò)活躍度較高的特性，當(dāng)度值較高的節(jié)點(diǎn)失效之后，局部網(wǎng)絡(luò)各自運(yùn)作，較好地維持網(wǎng)絡(luò)彈性。隨著失效節(jié)點(diǎn)比例的增多，度、介數(shù)指標(biāo)和重要度指標(biāo)的節(jié)點(diǎn)重合程度差距也在不斷縮小，可見成都都市圈軌道交通網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)體系層次較為分明，重要度靠前的節(jié)點(diǎn)往往具備較高的度值和介數(shù)，各指標(biāo)之間存在一定相關(guān)性。

由表2及圖1可知,前兩組數(shù)據(jù)擬合程度較好,數(shù)據(jù)原點(diǎn)附近最小相對誤差為1.1314%；后面幾組擬合較差，其相對誤差超過10%,而且距離原點(diǎn)數(shù)據(jù)越遠(yuǎn)誤差越大,這也正符合灰色預(yù)測的特征,即:適用于短期預(yù)測,而長期預(yù)測誤差較大。

2.3 彈性優(yōu)化

根據(jù)1.2 節(jié)中的網(wǎng)絡(luò)彈性優(yōu)化模型，用Matlab2018a 模擬了自頂向下攻擊模式下網(wǎng)絡(luò)中社團(tuán)的節(jié)點(diǎn)失效情況?；贜ewman方法，網(wǎng)絡(luò)被劃分為20 個(gè)社團(tuán)，且各社團(tuán)內(nèi)節(jié)點(diǎn)與軌道交通各運(yùn)營線路包含站點(diǎn)具有高度重合性，如圖9所示。

圖9 成都都市圈軌道交通網(wǎng)絡(luò)社團(tuán)劃分示意圖Fig.9 Schematic diagram showing node set of rail transit network in Chengdu metropolitan area

根據(jù)成都都市圈軌道交通網(wǎng)絡(luò)各個(gè)社團(tuán)包含節(jié)點(diǎn)的情況，核心節(jié)點(diǎn)和次核心節(jié)點(diǎn)連接情況共有兩種：一是三個(gè)節(jié)點(diǎn)首尾相連，形成中間核心節(jié)點(diǎn)和兩個(gè)次核心節(jié)點(diǎn)；二是兩個(gè)節(jié)點(diǎn)直接相連，互為核心節(jié)點(diǎn)和次核心節(jié)點(diǎn)，這使得每個(gè)社團(tuán)生成了兩個(gè)次核心節(jié)點(diǎn)加入節(jié)點(diǎn)集，如表1 所示，表中中轉(zhuǎn)節(jié)點(diǎn)記為1，非中轉(zhuǎn)節(jié)點(diǎn)記為0。分析可知，節(jié)點(diǎn)集包含節(jié)點(diǎn)大多為非中轉(zhuǎn)節(jié)點(diǎn)，樞紐地位不強(qiáng)，但集點(diǎn)成線將使網(wǎng)絡(luò)的延展性和彈性大幅增加，在后續(xù)的都市圈軌道交通一體化建設(shè)中應(yīng)重點(diǎn)分析和考慮。

表1 成都都市圈軌道交通網(wǎng)絡(luò)“節(jié)點(diǎn)集”Tab.1 Node set of rail transit network in Chengdu metropolitan area

受建設(shè)成本的影響，在節(jié)點(diǎn)集中選擇部分節(jié)點(diǎn)進(jìn)行增邊操作，由于成都都市圈交通網(wǎng)絡(luò)規(guī)模較大，少數(shù)幾條連邊對于網(wǎng)絡(luò)整體彈性變化影響不大，本文在多次試驗(yàn)之后選擇500作為起始約束條件，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行遞增，在不同比例的節(jié)點(diǎn)中斷下，模擬不同成本預(yù)算下成都都市圈軌道交通網(wǎng)絡(luò)在遭受累計(jì)-蓄意攻擊下的彈性變化過程，如圖10所示。

圖10 中，不同成本預(yù)算下各個(gè)優(yōu)化方案的初始網(wǎng)絡(luò)彈性都較原網(wǎng)絡(luò)有所提高,網(wǎng)絡(luò)潰散點(diǎn)也相對延后，說明在正常運(yùn)營和節(jié)點(diǎn)失效的情形下，優(yōu)化方案均能夠通過增加網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的連接從而提升網(wǎng)絡(luò)彈性。為了進(jìn)一步分析不同層級(jí)節(jié)點(diǎn)失效對網(wǎng)絡(luò)效能的影響程度，計(jì)算[5002 500]成本區(qū)間內(nèi)的新增邊數(shù)（A(e)）、實(shí)際成本（Cost）以及初始網(wǎng)絡(luò)彈性（IR(G)）和累計(jì)-蓄意失效下的網(wǎng)絡(luò)彈性（UR(G)），并在此基礎(chǔ)上分別計(jì)算兩種情況下的單位成本彈性增量，分別用CR1、CR2表示，考慮到累積-蓄意失效模式下網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)性，網(wǎng)絡(luò)彈性值取各失效階段平均值，對比各指標(biāo)計(jì)算結(jié)果，制定最優(yōu)方案，如表2所示。

表2 成本約束下成都都市圈軌道交通網(wǎng)絡(luò)屬性分析Tab.2 Attribute analysis of rail transit network in Chengdu metropolitan area under cost constraints

圖10 成本約束下成都都市圈軌道交通網(wǎng)絡(luò)彈性變化Fig.10 Changes in resilience of rail transit network in Chengdu metropolitan area under cost constraints

由表2可知，五個(gè)方案下，初始-網(wǎng)絡(luò)彈性的值分別為1.230 7、1.257 6、1.295 8、1.348 5、1.370 6，表明在無突發(fā)事件發(fā)生的情況下，增加連線對于提高網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行效率能起到一定作用，且連線增加數(shù)目越多，網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行效率越高，這也意味著本文所提出的彈性優(yōu)化策略對網(wǎng)絡(luò)原有結(jié)構(gòu)和功能影響較小。累計(jì)-蓄意失效下的網(wǎng)絡(luò)彈性值分別為0.017 88、0.024 58、0.025 41、0.022 48、0.026 08，表明增加連線雖然能提高網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行效率，維持網(wǎng)絡(luò)安全，但并非增加數(shù)目越多，網(wǎng)絡(luò)增幅狀況越好。當(dāng)連線過多時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中斷情況下受影響的站點(diǎn)就越多，對維系網(wǎng)絡(luò)正常運(yùn)作將產(chǎn)生不利影響（如：方案二、四或方案三、四）。而對兩種模式下網(wǎng)絡(luò)的單位成本彈性增量進(jìn)行計(jì)算后不難發(fā)現(xiàn)，方案一的結(jié)果顯著優(yōu)于其他四項(xiàng)方案（見圖11）。

圖11 不同方案下單位成本彈性增量Fig.11 Network resilience improvement range and actual optimization cost under different schemes

因此，本文選擇方案一作為成都都市圈軌道交通網(wǎng)絡(luò)線路優(yōu)化方案，由天府商務(wù)區(qū)、金華寺東路、省骨科醫(yī)院、雙店路等在內(nèi)的9 個(gè)節(jié)點(diǎn)和8 條連邊組成，總花費(fèi)452.197 億元。相較于原始網(wǎng)絡(luò)，初始網(wǎng)絡(luò)彈性和累計(jì)-蓄意失效下的網(wǎng)絡(luò)彈性分別增加23.07%、11.26%，改善了成都都市圈軌道交通的銜接狀況，提高了網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)作效率和運(yùn)作安全性，優(yōu)化后的網(wǎng)絡(luò)如圖12所示。

圖12 成都都市圈軌道交通優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)Fig.12 The optimized network of rail transit in Chengdu metropolitan area

3 結(jié)束語

本文構(gòu)建了一個(gè)同時(shí)考慮運(yùn)行能力和運(yùn)作效率的彈性評估體系和基于后向加邊算法與現(xiàn)實(shí)約束的彈性優(yōu)化模型，以成都都市圈的軌道交通網(wǎng)絡(luò)為例進(jìn)行分析驗(yàn)證。通過仿真研究發(fā)現(xiàn)，彈性指標(biāo)對網(wǎng)絡(luò)性能變化敏感性較強(qiáng)，對其影響最大的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)是軌道交通系統(tǒng)中客流量最大、中轉(zhuǎn)換乘能力最強(qiáng)的一批站點(diǎn)，它們同時(shí)有較高的節(jié)點(diǎn)度和介數(shù)，一旦失效會(huì)對網(wǎng)絡(luò)彈性造成巨大破壞，需重點(diǎn)維系和保護(hù)。彈性優(yōu)化中，軌道交通網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)節(jié)點(diǎn)集所含節(jié)點(diǎn)大多非中轉(zhuǎn)站點(diǎn)，樞紐地位不強(qiáng)，但集點(diǎn)成線將使網(wǎng)絡(luò)的延展性和彈性大幅增加，在考慮經(jīng)濟(jì)效益的前提下可適當(dāng)對這些節(jié)點(diǎn)進(jìn)行增邊設(shè)計(jì)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也證明了所提方法的有效性，這將為未來的軌道交通系統(tǒng)規(guī)劃布局提供重要的理論依據(jù)。

未來的研究中，考慮結(jié)合更多的系統(tǒng)外部因素，在問題模型方面引入更多現(xiàn)實(shí)約束條件，如：建設(shè)時(shí)間、交通限制、居民圈影響等，并設(shè)計(jì)精度更高、收斂速度更快的算法進(jìn)行運(yùn)算。