中英小學數(shù)學教材中“圖形的運動”難度比較研究

俞 蓉，趙世恩

中英小學數(shù)學教材中“圖形的運動”難度比較研究

俞 蓉1，趙世恩2

（1．中國人民大學附屬中學實驗小學，北京 100086；2．首都師范大學 初等教育學院，北京 100048）

“圖形的運動”（對稱、平移、旋轉(zhuǎn)）知識模塊是培養(yǎng)學生空間觀念的重要組成部分．以中國人教版小學教材和英國NPM教材為比較對象，考察“圖形的運動”這部分內(nèi)容的難度．首先，考慮到學生所處年級對課程難度的影響，對已有課程難度模型做了適當改進；其次，利用改進后的模型對兩版教材中這一知識模塊進行定量分析與比較，發(fā)現(xiàn)英國NPM教材呈現(xiàn)出雖廣而深卻不難的特點，即課程難度在課程深度與課程廣度兩維度上更加平衡；最后，在此定量分析結果基礎之上，發(fā)現(xiàn)英國NPM教材具有滲透性廣、輻射性廣、遞進性強與連貫性強4個特點．

小學數(shù)學教材；空間觀念；對稱；平移；旋轉(zhuǎn)；課程難度；比較研究

1 研究背景

“空間觀念”是中國《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中提出的10個核心概念之一，它與課程標準中的其它幾個核心概念“推理能力”“應用意識”“創(chuàng)新意識”之間又有著千絲萬縷的聯(lián)系．可以說，沒有空間觀念，幾乎談不上任何發(fā)明創(chuàng)造，因為許多發(fā)明創(chuàng)造所經(jīng)歷的過程基本如此：頭腦中構思想象—畫出圖紙—制作模型—修改圖紙—完善模型，而在這個過程中需要不斷演算、推理、應用方方面面的知識與技能等，需要思維在抽象與具體、二維平面與三維空間之間不斷切換[1]．

小學數(shù)學教材中的“圖形的運動”知識模塊，作為空間觀念培養(yǎng)的重要組成部分，它不僅可以為學生今后深入學習平面幾何、立體幾何等打下必要基礎，還可以促進學生思維發(fā)展，培養(yǎng)學生用發(fā)展、運動的眼光來認識其所生活的空間，因此對小學數(shù)學教材中“圖形的運動”進行研究具有十分重要的意義．需要說明的是，這里的“圖形的運動”指圖形的對稱、平移與旋轉(zhuǎn)．

關于數(shù)學教材難度方面的研究，史寧中等人從課程內(nèi)容出發(fā)，認為影響課程難度的基本要素至少應包括課程深度、課程廣度和課程時間這3個方面，由此建立了對課程難度進行量化研究的相關模型理論，并利用這個模型先后比較了1949年以來的兩個“教學大綱”和2001年版“課程標準”的課程難度以及國內(nèi)不同版本初中數(shù)學課程標準實驗教科書中“三角形”“不等式”“四邊形”等課程內(nèi)容的難度[2-3]．2009年，張維忠等利用此課程難度模型對3個版本的初中數(shù)學教材中的“三角形”課程難度和各章后的復習題難度進行定量分析和比較[4]．2010年，李高峰對上述模型進行了有效的修正，并比較了國內(nèi)幾版主要的教材以及《課程標準》的課程難度[5]．2013年，蔡慶有等進一步完善史寧中原有的模型，提出了影響小學數(shù)學教材難度的9個因素，并做了探索性和驗證性因子分析[6]．上述關于課程難度模型的工作對于教材的定量研究都有著很強的理論價值和指導意義．此外，諸多關于教材內(nèi)容比較研究的參考文獻[7-9]也為研究者提供了一些研究思路與想法．

2 研究設計

2.1 樣本選取

這里選取的兩套小學一～六年級數(shù)學教材分別為人民教育出版社出版的《義務教育教科書數(shù)學》（以下簡稱“人教版”）[10]，英國柯林斯出版社出版的（以下簡稱UK NPM）[11]．

2.2 研究思路與研究方法

首先，以上述兩版教材中“圖形的運動”（對稱、平移與旋轉(zhuǎn)）相關內(nèi)容為研究對象，從內(nèi)容設置與課程難度兩個角度進行比較，采取定性描述與定量研究的方法．其中，課程難度分析主要基于史寧中等人提出的關于課程難度模型的相關理論，從課程廣度、課程深度與課程時間3個維度來刻畫課程難度，但在上述模型基礎上做了一些改進，使之更適合刻畫和對比分析這兩版教材的課程難度．

其次，在定量研究基礎之上，再對兩版教材在“圖形的運動”知識模塊中所呈現(xiàn)出的一些特點進行定性分析，并列舉從UK NPM教材中所得到的一些啟示，以期能為中國小學數(shù)學教材的更好建設提供一些參考．

3 研究內(nèi)容

3.1 內(nèi)容設置

首先，對人教版教材與UK NPM教材的知識內(nèi)容設置及其年級分布等相關信息進行梳理（見表1），一方面可以對兩版教材中圖形的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)各部分相關知識點及其分布有一個大致了解，另一方面也為后文中進行定量分析提供數(shù)據(jù)來源．

3.2 課程難度

3.2.1 課程難度模型的簡介

表1 兩版本教材內(nèi)容設置

3.2.2 課程難度模型的改進

根據(jù)研究對象的特征，研究者對上述已有課程難度模型做如下兩條改進．

第一，在模型中考慮學生所處年級對課程難度的影響；

第二，對于課程深度的刻畫，將部分繼承原模型中所采取的給目標動詞賦值的方法，所不同的是，不以目標賦值后的平均值而是取總和進行計算，具體說明如下．

（1）關于年級系數(shù)．

在課程難度模型中考慮學生所處年級的原因有兩點．

其一，此前學者們基于原課程難度模型所研究的內(nèi)容主要集中于國內(nèi)各版教材之間的對比，因而可以忽略課程所分布年級．然而通過觀察表1中兩版教材內(nèi)容設置情況，可以發(fā)現(xiàn)這兩版教材教學內(nèi)容的年級分布差異較大．

其二，以往的相關研究表明，小學三、四年級學生處于數(shù)學學習思維發(fā)展的質(zhì)變或關鍵轉(zhuǎn)折期，五、六年級一般處于上升發(fā)展時期[12]，這與皮亞杰的認知發(fā)展階段理論也吻合，因此課程內(nèi)容是分布于低段（一～二年級）、中段（三～四年級）還是高段（五～六年級），對于學生而言無疑會產(chǎn)生不同的學習影響．

綜上，研究者認為教材內(nèi)容所分布的年級因素會影響課程深度，故而考慮在課程深度處增加年級系數(shù)．

為了能夠定量刻畫年級因素對課程深度所造成的影響，研究者首先對10名工作10年以上的一線教師進行了口頭訪談，初步了解涉及空間觀念培養(yǎng)的相同學習內(nèi)容如果分別放在低段、中段與高段進行學習是否存在差異，結果這些教師一致認為相同學習內(nèi)容如果安排在中段或高段學習，學生會更容易接受，且中、高段間的差異較低，中段間的差異要?。?/p>

為了對模型進行有效的定量分析，研究者設計了相關問卷，對全國（遍布北京、深圳、南京、西安等三十余座城市）143名一線教師進行了調(diào)查，題目如下．

如果將低年級空間觀念的教學內(nèi)容深度視為1，那么同樣的內(nèi)容放到中年級和高年級的深度分別是（請選擇你認為最合適的選項）：

A. 1/2和1/3 B. 1/2和1/4

C. 1/3和1/4 D. 1/3和1/5

結果顯示，低年級、中年級與高年級均執(zhí)教過的104名教師中，4個選項的人數(shù)比例較為接近，差異不大（見圖1）．

圖1 各學段課程深度差異選項比例分布

最終，對的取值具體如表2，假設中年級學生所感受到的課程深度為低年級學生的一半，而高年級學生所感受到的課程深度為中年級學生的一半，且中、高年級間的差異小于中、低年級間的差異，因而年級系數(shù)的值呈遞減．

表2 年級系數(shù)β取值

（2）關于課程深度的計算．

關于課程深度的刻畫，根據(jù)史寧中等人的課程難度模型計算方法，可比深度由平均課程深度值除以課程時間而得，但是經(jīng)研究者計算及參考其他學者的研究，發(fā)現(xiàn)將課程目標的總賦值除以知識點的個數(shù)以獲得平均課程深度值的做法，會導致課程深度的權重顯著降低[5]．

此外，課程深度不能簡單以知識點的多少來衡量，比如對稱模塊中，對比觀察兩版教材的主要內(nèi)容編排（見表1），對于此概念的聯(lián)系與運用，人教版教材中未見相應的內(nèi)容安排，而UK NPM教材中安排了5個知識點的學習，但由于這些知識點的學習基于學生中高年級已學過的三角形、平行線等知識，所以并不能直接定論UK NPM教材的對稱模塊就比人教版的要深．因此，課程深度不能單純考慮知識點數(shù)量，還需考慮學生所處年級的影響，且年級越高，深度應有所降低．

3.2.3 課程難度的計算

（1）課程深度．

如前所述，研究中采取給兩版教材中的目標動詞賦值的辦法來刻畫課程深度，中國課程標準中刻畫結果與過程目標的動詞有“了解”“理解”“掌握”等[13]，英國國家課程標準中刻畫目標的動詞有recognize、compare等[14]，具體賦值規(guī)定如表3．

表3 課程深度賦值

由此，可對兩版教材中的各個知識要點所對應的目標動詞進行賦值（見表4）．

（2）課程廣度．

課程廣度由教材中知識點的數(shù)量來刻畫．據(jù)統(tǒng)計，人教版教材在“圖形的運動”部分的課程廣度值1=13，UK NPM教材的課程廣度值為2=30．

（3）課程時間．

根據(jù)人教版教材的教師用書，該教科書在處理這一知識模塊時的建議課時共計12課時，故取1=12.0；根據(jù)UK NPM教材的教師用書，該教科書在處理這一知識模塊時建議課時約為2=34.5．

表4 兩版教材課程深度值

將以上課程深度、課程廣度、課程時間數(shù)據(jù)匯總如表5．

表5 兩版本課程難度相關因素值

經(jīng)計算可以得到：

圖2 兩版教材的課程難度對比

4 研究結果分析

從圖2不難發(fā)現(xiàn)，UK NPM教材和人教版教材在課程難度的比較方面不受的影響，且不論是側重課程深度，還是課程廣度，UK NPM教材的課程難度都小于人教版教材．

結合研究者所采用的課程難度模型計算式

與上文中的數(shù)據(jù)信息，對圖2做進一步分析．

第一，UK NPM教材在課程深度、課程時間、課程廣度這3個方面均顯著高于人教版教材，也就是說，從課程難度模型中的單一要素角度來看，UK NPM教材所設置的課程深度、總體知識點數(shù)量、安排的課程時間均明顯多于人教版教材中相應的設置．

第二，UK NPM課程廣度是人教版教材的兩倍多，但其可比廣度卻是人教版教材的81%左右，這說明在同樣的課程時間內(nèi)，人教版教材中編排的知識點數(shù)量更多；UK NPM課程深度是人教版教材的2倍多，但其可比深度卻是人教版教材的74%左右，這說明人教版教材中知識點的深度更高．

第三，如圖2所示，兩個教材的課程難度都是關于的遞增函數(shù)，模型結果恰恰表明：相同的課程時間下，越側重課程深度，課程難度越大；而越側重課程廣度，則課程難度越?。缭凇捌揭啤蹦K中，如果將兩版教材中的“初步認識平移”的學習目標提升至“掌握平移”，并保持課程時間不變的前提下，那么這部分的課程難度無疑都會增加．反而言之，在相同的課程時間下，如果越側重課程廣度，那么課程難度則會降低．以上與史寧中等人提出課程難度模型時所給出的結論均是相符的[2-3]．

第四，兩版教材的課程難度關于的變化率呈現(xiàn)出顯著不同：人教版教材課程難度關于的變化率（0.15）是UK NPM教材（0.04）的3.75倍，且UK NPM教材的課程難度和的選取幾乎無關（見表6），即無論加權系數(shù)更側重課程深度，還是更側重課程廣度，UK NPM教材的課程難度值的變化幅度明顯低于人教版教材．

表6 兩版本課程難度值范圍

這表明UK NPM教材在課程深度和課程廣度這兩個維度上更加平衡，在保持課程時間不變的前提下，即便更加側重課程深度，整個教材的課程難度也不會因此大幅增加；而對于人教版教材，隨著課程深度的側重程度的增加，其課程難度相比之下會產(chǎn)生更加顯著的提高，即人教版教材的課程難度更易受課程深度的影響．以“對稱”模塊為例，從表面上看，似乎UK NPM教材的課程難度要高（見表4），但是由于一方面該版教材所安排的課程時間明顯多于人教版教材，且探索、運用等較高層次學習目標的知識點均分布在中高年級（三～六年級），從而使得課程可比深度有所降低．另一方面，該版教材的課程廣度也明顯高于人教版教材，這在某種程度上也使UK NPM課程難度有所降低．因此，的選取對于UK NPM教材課程難度的影響很?。?/p>

綜上，兩版教材相比之下，UK NPM教材呈現(xiàn)出“廣而深卻不難”的特點，從所采用的課程難度模型來看，原因在于其課程時間大，知識點分布的年級多且更偏向中高年級，從而導致課程難度降低．

5 一些啟示

基于上述定量研究結果，研究者認為有必要進一步分析UK NPM教材如何在課程深度與課程廣度之間取得較好的平衡，從而較好地控制課程難度，故而對兩版教材中的相關內(nèi)容框架進行了定性梳理（見圖3、圖4），發(fā)現(xiàn)UK NPM教材除了通過增加課程時間等來降低課程難度之外，更重要的是通過知識間的聯(lián)系與多種思想方法的滲透等方式來降低教材整體難度，同時還注重拓寬學生知識面與培養(yǎng)學生發(fā)散性思維．具體而言，UK NPM教材呈現(xiàn)出以下4個特點，而這些或許也正是值得借鑒之處．

第一，滲透性廣．這種滲透性也包含了聯(lián)系性，一方面它體現(xiàn)在某一較為抽象的概念可以滲透在其它相對淺顯直觀的概念中．比如旋轉(zhuǎn)的概念，英國NPM教材中沒有像人教版教材專辟一節(jié)來介紹旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象等，而是在學生學習鐘表時間時融入了旋轉(zhuǎn)這一概念，并在學生學習角的概念時不斷滲透與深化旋轉(zhuǎn)這一概念．另一方面它也表現(xiàn)在潛移默化地融入多種數(shù)學思想、數(shù)學方法，而這也是當前課程標準中所提倡、所要求的．

第二，輻射性廣．此處的輻射性，也可以看作是一種發(fā)散性，即某一知識點可以與多個知識點聯(lián)系到一起，彼此之間關系錯綜，而發(fā)散性思維正是發(fā)現(xiàn)復雜關系所必需的．比如UK NPM教材中“圖形的運動”不僅和幾何與圖形領域內(nèi)部多個知識點之間聯(lián)系密切，還與代數(shù)中的坐標系等知識點聯(lián)系在一起．如此一來，教材不僅可以使學生較為全面地認識與掌握一個知識點，更重要的是傳遞學生知識之間是普遍聯(lián)系的觀點，用各種事實來培養(yǎng)學生養(yǎng)成發(fā)散性思維方式的習慣．

第三，遞進性強．UK NPM教材中每一單元圍繞一個主題或?qū)ｎ}而設置2～3個由易到難的問題，以探究活動的形式為主，既有獨立思考解決部分，也有需要同伴或小組合作的問題．整體而言，每課“花樣”不多，但是對一個問題的討論會比較深入．雖然問題間的層次差異比較明顯，但卻因逐級而上而不會顯得很突兀、讓人無從下手．換而言之，該教材更看重的是深層次思考，而非題量多．與此同時，這種層次化的教材設計也能滿足處于不同數(shù)學水平的學生的需求，“使人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”[13]也正是中國數(shù)學課程標準與數(shù)學教育中所強調(diào)的．

第四，連貫性強．UK NPM教材將這一知識模塊集中安排在中高年級進行學習，幾乎每學期都會設計相應的單元進行學習，前后內(nèi)容間會有所銜接但不是單調(diào)重復，總會融入其它新的知識點或思想方法，使學生知識面逐步拓寬，學到多樣化的數(shù)學方法與數(shù)學思想，尤其到了高年級后，教材在編排上比較注重為中學階段的數(shù)學學習埋下伏筆，由此可見該教材強調(diào)各年級間的數(shù)學知識、技能與數(shù)學學習經(jīng)驗等多方位的銜接．

圖3 人教版教材“圖形的運動”內(nèi)容匯總

圖4 英國NPM教材“圖形的運動”內(nèi)容匯總

研究教材對比的目的在于了解不同教材的長處與短處，以便借鑒“他山之石”．當然，教材編排只是其中一個方面，教材對教學的影響程度還取決于教材使用者——教師對教材加工組織及采用的教學方法等多因素的影響．因此，對于教材內(nèi)容的對比分析，或許也能為教師創(chuàng)造性使用教材提供一個新的視角[15]．

[1] 孫曉天，孔凡哲，劉曉玫．空間觀念的內(nèi)容及意義與培養(yǎng)[J]．數(shù)學教育學報，2002，11（2）：50-53．

[2] 史寧中，孔凡哲，李淑文．課程難度模型：我國義務教育幾何課程難度的對比[J]．東北師大學報（哲學社會科學版），2005（6）：151-155．

[3] 孔凡哲，史寧中．四邊形課程難度的定量分析比較[J]．數(shù)學教育學報，2006，15（1）：11-15．

[4] 張維忠，黃麗虹．新教材“三角形”課程難度的對比分析[J]．數(shù)學教育學報，2009，18（4）：61-64．

[5] 李高峰．課程難度模型運用中的偏差及其修正——與史寧中教授等商榷[J]．上海教育科研，2010（3）：46-49．

[6] 蔡慶有，鄺孔秀，宋乃慶．小學數(shù)學教材難度模型研究[J]．教育學報，2013，9（5）：97-105．

[7] 王建波，曹一鳴．中美澳初中數(shù)學教材統(tǒng)計內(nèi)容比較研究[J]．數(shù)學教育學報，2016，25（3）：14-19．

[8] 呂世虎，劉鵬飛．《標準》與《大綱》中函數(shù)內(nèi)容難度的比較研究[J]．數(shù)學教育學報，2010，19（3）：63-66．

[9] 朱雪芳，葉立軍．中國和澳大利亞高中數(shù)學微積分教材比較研究[J]．數(shù)學教育學報，2014，23（2）：25-27．

[10] 課程教材研究所，小學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心．義務教育教科書數(shù)學（1～6冊）[M]．北京：人民教育出版社，2012．

[11] PETER C. Collins new primary maths (1～6) [M]. London, United Kingdom: Harper Collins Publishers, 2008: 56.

[12] 林崇德．發(fā)展心理學[M]．2版．北京：人民教育出版社，2009：270-277．

[13] 中華人民共和國教育部．義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M]．北京：北京師范大學出版社，2012：2-73．

[14] Department for Education. The national curriculum in England [EB/OL]. (2013-09-11) [2018-10-11]. https://www. gov.uk/government/publications/national-curriculum-in-england-primary-curriculum.

[15] 王科，汪曉勤．“中美日新”四國高中教材中的數(shù)學歸納法比較研究[J]．數(shù)學教育學報，2015，24（2）：40-45．

Research on the Comparison of the Difficulty of “ Graphic Motion” in Chinese and British Primary Mathematics Textbooks

YU Rong1, ZHAO Shi-en2

(1. Primary School Affiliated to the High School Affiliated to Renmin University of China, Beijing 100086, China;2. Elementary Education College, Capital Normal University, Beijing 100048, China)

The “graphic motion” (including symmetry, translation and rotation) is an important part of cultivating students’ spatial concept. By comparing the primary school textbooks published respectively by the People’s Education Press of China (PEP) and the Harper Collins Publishers of the UK (NPM), this paper investigates the setting of “graphic motion” in terms of textbook content and the degree of curriculum difficulty. Firstly, in order to compare the two textbooks better, the existing quantitative model of degree of curriculum difficulty is improved appropriately, particularly considering the influence of students’ grades on curriculum difficulty. Secondly, the improved model is used to quantitatively analyze and compare the degree of curriculum difficulty of the two textbooks, and it is found that NPM textbooks are broader and easier than PEP in terms of content, and it reaches a kind of balance between its curriculum depth and curriculum breadth. Finally, a qualitative analysis of the two textbooks shows that the NPM textbook has four characteristics, which could give us some implications in compiling textbooks: broad permeation, broad radiation, progressive and deep coherence.

primary mathematics textbook; spatial concept; symmetry; translation; rotation; the degree of curriculum difficulty; comparison research

G40–059.3

A

1004–9894（2022）06–0080–07

俞蓉，趙世恩．中英小學數(shù)學教材中“圖形的運動”難度比較研究[J]．數(shù)學教育學報，2022，31（6）：80-86．

2022–08–10

北京市海淀區(qū)教育科學“十四五”規(guī)劃課題——基于單元整合的小學分數(shù)概念學習現(xiàn)狀調(diào)查與實踐研究（HDGH20211376）

俞蓉（1983—），女，江蘇鹽城人，碩士生，主要從事小學數(shù)學教育與教學研究．

[責任編校：陳漢君、張楠]