小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識的評價模型構(gòu)建與應用

張 岳，劉曉玫，Max Stephens，郟超超

小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識的評價模型構(gòu)建與應用

張 岳1，劉曉玫2，Max Stephens3，郟超超4

（1．北京語言大學 國際學生教育政策與評價研究院，北京 100083；2．首都師范大學 教師教育學院，北京 100037；3．墨爾本大學 教育研究生院，澳大利亞 墨爾本 3010；4．中國基礎教育質(zhì)量監(jiān)測協(xié)同創(chuàng)新中心，北京 100875）

小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識的評價模型為包含內(nèi)容與認知維度的二維結(jié)構(gòu)．其中，認知維度包括“預測學生錯誤”“運用數(shù)學和課程相關(guān)知識識別和描述某個特定數(shù)學主題的錯誤”“分析與闡釋學生錯誤的原因”“處理與糾正學生錯誤的策略”4個分維度，內(nèi)容維度以《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》為確立依據(jù)，依據(jù)模型開發(fā)測試工具，通過對來自東、中、西部地區(qū)8個省市701名小學數(shù)學教師的實測數(shù)據(jù)進行驗證．結(jié)果表明：評價模型具有良好的信效度；小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識的整體表現(xiàn)不佳；在認知與內(nèi)容分維度上表現(xiàn)迥異．

小學數(shù)學教師；有關(guān)學生錯誤的知識；評價模型；驗證與應用

1 問題提出

教師有關(guān)學生錯誤、誤解的理解是其從事教學活動應具備知識的重要組成部分[1]．對學生學習過程中產(chǎn)生的錯誤進行評估并予以糾正，有助于教師及時調(diào)整教學重點和計劃，并最終改善學生學業(yè)表現(xiàn)[2]．然而，在實際教學中，許多數(shù)學教師將學習錯誤視為教學的阻礙．學生一旦產(chǎn)生錯誤，教師們最常用的方法是不斷地重復標準答案，讓學生加強練習，或簡單地將學習錯誤歸結(jié)為學生粗心大意、上課沒有仔細聽講等淺層次的原因[3]．這種膚淺的、武斷的行為對學生理解知識、發(fā)展能力有害無益，同時也會對學生學習興趣和自信心造成消極的影響[4]．《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課程標準》）教學建議中也提出，對于學習有困難的學生，教師應及時給予關(guān)注與幫助，鼓勵他們積極參與數(shù)學學習活動，并嘗試以自己的方式解決問題和表達意見和看法；要及時肯定他們的進步，耐心地指導他們分析出現(xiàn)困難或錯誤的原因，并鼓勵他們自我改正，進而增強學習數(shù)學的興趣和信心[5]．因此，對數(shù)學教師有關(guān)診斷和處理學生在不同的教學情境中學習數(shù)學時所犯的錯誤，意識到錯誤對數(shù)學學習的重要性，知悉錯誤的原因，并采取有效、及時的教學策略加以糾正的知識，無論對學生學業(yè)發(fā)展還是對教師專業(yè)發(fā)展都至關(guān)重要．

既有研究對在職數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識的實證研究較少．國際教育評價項目，如21世紀數(shù)學教學研究（Mathematics Teaching in the 21st Century，簡稱MT21）[6]、數(shù)學教師教育與發(fā)展（Teacher Education and Development Study in Mathematics，簡稱TEDS-M）[7]已采用最新測量與評價手段對教師知識進行了測查．但是，其測評對象均為職前數(shù)學教師，并沒有涉及到更大范圍的教師群體．同時，在這些項目中數(shù)學教師對學生錯誤的調(diào)查僅是學科教學知識的一個子維度，并未進行深入地挖掘[8-9]．目前，國內(nèi)研究者提出的有關(guān)數(shù)學教師診斷學生錯誤的知識的評價多以某個特定數(shù)學主題或診斷學生錯誤的某個關(guān)鍵環(huán)節(jié)為研究對象[10-12]，且已有的實證研究多以傳統(tǒng)測驗方法為依托，難以揭示數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤知識的潛在認知結(jié)構(gòu)與過程，評價結(jié)果解釋具有一定的局限性．因此，試圖構(gòu)建小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識的評價模型并進行驗證，旨在為教師教育改革、教師專業(yè)成長提供實證依據(jù)，具體包括如下問題：（1）構(gòu)建小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識的認知與內(nèi)容的二維評價模型；（2）據(jù)此開發(fā)工具，并實施測試并驗證；（3）揭示數(shù)學教師在總體、認知與內(nèi)容分維度上的表現(xiàn)與差異狀況．

2 評價模型的構(gòu)建

小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識的評價理論模型包含內(nèi)容標準、表現(xiàn)標準兩個部分．具體而言，內(nèi)容標準也稱為內(nèi)容細目，是指評價中要求小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識“做什么”的問題．表現(xiàn)標準，也稱為表現(xiàn)水平描述，旨在呈現(xiàn)處于不同水平的小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識在內(nèi)容標準上的掌握程度．內(nèi)容標準回答評價中期望小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識所要求的知識與技能，而表現(xiàn)標準是對數(shù)學教師要達到的程度或水平的界定，是教師有關(guān)學生錯誤的知識“能做什么”的問題．

通常情況下，一項評價任務涉及的內(nèi)容或知識是具有復雜性的，單維的指標難以滿足測評的要求．國際上許多大規(guī)模的教育評價項目的框架都是分層的、分類的，由兩個或兩個以上的維度構(gòu)成．其中一個維度為評價內(nèi)容，另一個維度為認知過程，體現(xiàn)評價對象的認知水平或操作的層級．小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識的評價指標體系也采用二維結(jié)構(gòu)，即課程內(nèi)容的分類和認知過程的分類．

2.1 認知維度

科克斯（Cox）的研究提到，在確定一個錯誤后，有兩個問題是相關(guān)的，一是如何系統(tǒng)化地檢測出錯誤？二是一旦錯誤的模型被識別出來，可以用什么樣的方法來彌補這個錯誤[13]．隨著有關(guān)數(shù)學教師對學生錯誤行為診斷的研究越來越細化，對學生錯誤產(chǎn)生的原因做出假設、是否將錯誤作為課堂教學的重點等指標也被認為是教師處理與分析學生錯誤的關(guān)鍵步驟．如里科米尼（Riccomini）將對學生錯誤分析聚集于3個方面：確定教師是否能夠識別減法的特定錯誤模式，確定教師是否能夠描述常見的減法錯誤，確定教師是否能夠?qū)⑦@些錯誤模式作為教學重點[14]．庫珀（Cooper）開發(fā)了一項培養(yǎng)未來教師分析學生錯誤的能力，以便使其做出教學決策的課程，包括識別學生錯誤，對錯誤可能產(chǎn)生的原因做出假設，然后思考并采取教學策略3個步驟[15]．這是在1988年庫尼（Cooney）開發(fā)的模型基礎上建立起來的．庫尼將教學定義為教師收集學生學習的各類信息，分析結(jié)果，做出診斷，并在此基礎上給予學生回應的互動過程[16]．海因里克斯（Heinrichs）和凱撒（Kaiser）提出，教師分析與診斷學生錯誤通常包括3個步驟，即感知或識別錯誤，解釋錯誤，最后對錯誤進行處理[17]．中國一些一線數(shù)學教育工作者從實踐的角度提出教學是教師分析學生錯誤行為的過程．華應龍?zhí)岢鰬獜娜绾握J識學習錯誤，分析學習錯誤及處理學習錯誤3方面來對待學生錯誤[18]．吳文娟在此基礎上提出，教師對學生錯誤的診斷過程經(jīng)歷了預設—發(fā)現(xiàn)—反饋3個階段[19]．

數(shù)學教師在某個特定數(shù)學主題的錯誤分析上，祖亞（Zuya）選擇代數(shù)中的變量、代數(shù)分式、方程式和文字題為內(nèi)容，試圖解釋數(shù)學教師能否預測和識別學生思維過程，并提供有用的糾錯建議[20]．黃興豐等人以概念性知識和程度性知識為分析框架，對職前數(shù)學教師應對學生概率錯誤進行調(diào)查．結(jié)果表明，極少數(shù)職前教師可以達到概念性解釋學生數(shù)學錯誤的水平，多數(shù)教師不能真正解釋學生的錯誤[12]．在教師診斷學生錯誤的關(guān)鍵環(huán)節(jié)上，馬文杰深入研究了小學數(shù)學教師對數(shù)學學習錯誤的矯正原則，并細化為13項[21]．李娜等人基于對初中數(shù)學課堂的錄像分析將教師反饋學生錯誤的類型分為陳述型和質(zhì)疑型[22]．

將上述研究者有關(guān)教師對待錯誤的模型進行歸納提煉發(fā)現(xiàn)，教師診斷學生錯誤的基本過程都包括3個步驟：識別學習錯誤、尋找錯誤的原因，以及做出適當?shù)姆磻畤鴥?nèi)外研究者有關(guān)數(shù)學教師診斷學生錯誤模型的對比見表1．

此外，專家咨詢結(jié)果表明，數(shù)學教師對學生錯誤的預判也是其辨析能力的重要組成部分，正如祖亞和吳文娟所言，數(shù)學教師應該能夠預測學生的典型錯誤，及時獲得學生學習新課前的知識掌握程度的信息．因此，研究將小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識的認知過程分為以下4個階段．

第一階段，數(shù)學教師對學生錯誤的預測．這一階段是后續(xù)3個階段的前提，決定著教師對待學生錯誤的反應行為．在多數(shù)診斷模型中，此階段并沒有涵蓋在內(nèi)．但是，在實際教學中，教師對學生錯誤的估計往往來源于經(jīng)驗、來源于教材，并非來源于當下所教的學生[19]．所以，學生錯誤的現(xiàn)狀與教師對錯誤的理解的脫節(jié)促使研究將教師對學生錯誤的預測作為認知過程的第一個階段．

第二階段，數(shù)學教師運用數(shù)學和課程相關(guān)知識識別和描述某個特定數(shù)學主題的錯誤．只有當一個錯誤被感知的時候，教師才可能對其做出反應．在上述提到的模型中，這一階段常常作為教師診斷學生錯誤的第一個階段．可見，此階段是教師對學生錯誤進行原因分析與處理的基礎環(huán)節(jié)．

第三階段，數(shù)學教師對錯誤的原因進行假設、分析與闡釋．這個階段基本可以在前文提到的所有診斷過程模型中找到．為了能夠識別錯誤的根源在哪，教師們需要對造成錯誤的原因做出恰當?shù)募僭O，并在此基礎上深入分析，這對糾正學生的錯誤至關(guān)重要．

第四階段，數(shù)學教師在對前3個階段的認識與分析基礎上，找到解決學生錯誤的教學方法，并處理與矯正學生的錯誤．已有研究也顯示，教師必須處理錯誤，以培養(yǎng)和糾正學生的理解力，才能最終達成教學目標．

表1 有關(guān)數(shù)學教師診斷學生錯誤模型的對比

2.2 內(nèi)容維度

在建立小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識的認知過程維度基礎上，需要考慮的另一個維度就是在不同的數(shù)學內(nèi)容領(lǐng)域數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識．《課程標準》是國家對學生學業(yè)發(fā)展的總體目標和要求，是教材編寫、教師教學的基本依據(jù)，集中體現(xiàn)了教育目標，自然為教師知識的評價提供了基本框架，即《課程標準》所要求掌握的知識和能力應作為小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識的內(nèi)容維度的重要依據(jù)和現(xiàn)實選擇．據(jù)此建構(gòu)評價模型，如圖1．

3 研究設計

3.1 研究方法

參照國際教育評價項目的整體設計思路，結(jié)合專家咨詢法和訪談法構(gòu)建小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識的評價模型，并據(jù)此開發(fā)測試工具，采用測量研究法進行實測．

圖1 小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識的評價模型

3.2 研究對象

參與模型修訂與確立的咨詢專家包括墨爾本大學、迪肯大學、北京師范大學、華東師范大學、首都師范大學、南京師范大學、北京教育學院等國內(nèi)外高校數(shù)學教育領(lǐng)域、教育測量領(lǐng)域的學者，以及北京、浙江、安徽、陜西和廣西等地區(qū)的教研員及一線教師，共計32名．實施測試后，參與結(jié)果訪談的專家包括來自北京、浙江的數(shù)學教育專家、一線教師和教研員，共計12名．

參與模型驗證的小學數(shù)學教師樣本來自東、中、西部地區(qū)，共計8個?。ㄊ校紤]學校所在地理位置等因素，在每個省隨機選取區(qū)縣，按照城市、縣鎮(zhèn)、鄉(xiāng)鎮(zhèn)和農(nóng)村4個類別進行抽樣，在每個類別中抽取60名四～六年級的數(shù)學教師，共計720名教師．抽取教師的平均年齡為38歲，教授數(shù)學學科的平均教齡為15年．樣本分布情況見表2．

3.3 數(shù)據(jù)收集與處理

正式測試在各地教育行政部門或教研員的統(tǒng)一安排下進行．問卷回收后，對測試卷的異常作答，如抄襲、隨機作答等進行處理與刪除．共發(fā)放問卷720份，剔除測試卷的異常作答，如抄襲、隨機作答等，回收有效問卷701份，有效率為97%．

采用驗證性因子分析對評價模型進行驗證，通過項目反應理論對教師表現(xiàn)進行估計．數(shù)據(jù)處理與分析采用SPSS22.0、Mplus7.0、ConQuest軟件完成．

表2 小學數(shù)學教師各類別變量的分布情況

注：因教師在性別、教齡上的填答有缺失，故在這兩個變量的人數(shù)加總小于總?cè)藬?shù)．但因不涉及針對性別、教齡的數(shù)據(jù)分析，所以并不影響分數(shù)估計、驗證性因子分析結(jié)果的科學性．

4 評價模型的構(gòu)建及應用

4.1 測試工具的開發(fā)

選取四年級“圖形與幾何”課程內(nèi)容開發(fā)測試工具．

選擇四年級的主要原因如下：皮亞杰認知發(fā)展理論提出，7～11歲兒童處于具體運算階段．在這個階段，兒童已迅速獲得認知操作能力，并能運用這些新的技能思考事物，可以很好地理解數(shù)量關(guān)系和邏輯關(guān)系．在數(shù)學概念發(fā)展上，9～11歲的兒童處于認識形狀、水平和垂直坐標及面積概念的階段．再者，根據(jù)《課程標準》對學段的劃分，四年級是小學高年級的開始，對學生學習數(shù)學起著承前啟后的作用．最后，無論是國際大規(guī)模教育評價項目，如TIMSS、NAEP等，還是中國義務教育質(zhì)量監(jiān)測，均認為四年級是學生個體能力水平發(fā)展的關(guān)鍵階段[23]．

選擇“圖形與幾何”作為工具研發(fā)的內(nèi)容維度的原因主要包括兩個方面：就內(nèi)容本身而言，幾何初步知識是小學數(shù)學基礎知識的重要組成部分，是數(shù)學中最直觀、最具體的一部分，并且與現(xiàn)實生活聯(lián)系緊密，同時也是將來小學高年級和初中階段學習的必備基礎．此外，幾何知識不是獨立的，而是環(huán)環(huán)相扣的，是一個系統(tǒng)化的整體．如果學生在發(fā)展的關(guān)鍵階段沒有打好幾何學習的基礎，會影響后續(xù)幾何知識，乃至整個數(shù)學學習的效果．另外，中國從2001年課程改革開始，幾何課程的內(nèi)容變得更加豐富，教師作為課程知識的實施者，其幾何知識的教學能力也面臨較大的挑戰(zhàn)．就“圖形與幾何”的教學現(xiàn)狀而言，許多研究指出，學生在識別幾何形狀、解決空間推理問題的過程中存在困難[24]．同樣地，數(shù)學專業(yè)的師范生和有經(jīng)驗的教師與學生一樣，對幾何知識也存在相同的誤解[25]．因為測試年級和幾何學習的重要性等因素，根據(jù)《課程標準》對四年級“圖形與幾何”課程內(nèi)容的規(guī)定，將內(nèi)容維度進一步細化為圖形的認識、測量、圖形的運動、圖形與位置4個子維度．

小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識的測試題目在北京、安徽和廣西三地進行兩輪預試，同時通過多群體、多地域、多輪次的咨詢與訪談，專家在如下方面達成一致：在評價目的與定位方面，絕大多數(shù)專家贊同測試的目的在于獲得教師對四年級學生“圖形與幾何”基礎知識的掌握程度的信息，而非通過本次測試鑒別學生在該內(nèi)容維度上的水平．專家們普遍認為基礎知識的掌握奠定學生未來學習的基礎，對教師針對學生掌握基礎知識時常見錯誤的辨析的評價更有利于從源頭幫助學習有困難的學生消除誤解，矯正錯誤．在題目難度方面，有關(guān)學生錯誤的知識側(cè)重于教師對學生掌握基礎知識的程度進行判斷與分析，學生在難度較小的題目上映射出的典型錯誤是研究的關(guān)注點．在題目的表述和形式方面，對部分題目的語言表述、設問方式等進行規(guī)范化修改，使測試題更貼近小學數(shù)學教育的實際．

最終測試題目確定為主觀建構(gòu)題，共10道大題，38個小題，測試時間為不限時．為了避免主觀建構(gòu)題太多導致測試卷過長，引起參測教師作答疲勞進而降低回收質(zhì)量，研究采用循環(huán)鉚的題本設計．將所有的測試題目根據(jù)評價模型的維度進行組塊，然后將組塊循環(huán)放入不同的題本中，兩兩題本之間有兩道大題為共同題，最終組成5個題本．

4.2 評價模型的驗證

研究采用項目反應理論對測試題目進行估計．結(jié)果表明，測試題區(qū)分度在0.25～0.73之間，難度在0.01～0.64之間，IRT難度在-2.43～2.63之間．題本1至題本5的內(nèi)部一致性系數(shù)分別為0.74、0.80、0.74、0.78和0.77，滿足良好測驗對題目的基本要求．同時，評價模型的驗證性因子分析結(jié)果為：2=155.15，=2，=0.09，=0.96，=0.93，這表明模型的擬合良好，結(jié)構(gòu)效度符合測量學要求．因子分析結(jié)果見圖2．

同時，專家認同測試卷中數(shù)學主題為四年級學生日常學習“圖形與幾何”基礎知識時常犯的學習錯誤，保證了題目的內(nèi)容效度．

圖2 小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識的評價模型的驗證性因子分析結(jié)果

4.3 表現(xiàn)標準的編制

為了便于對測試結(jié)果進行報告與解釋，往往需要根據(jù)相應的表現(xiàn)標準描述將評價對象劃分到有序的表現(xiàn)水平中去．科學的、可操作性的表現(xiàn)標準是衡量與解釋小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識的重要依據(jù)．表現(xiàn)標準的制訂具體可分為以下4個步驟．

第一，依據(jù)評價指標體系的二維結(jié)構(gòu)，結(jié)合兩輪預試的數(shù)學教師的作答結(jié)果，制訂表現(xiàn)標準初稿；

第二，正式測試后，在各題本中抽取約10%的問卷進行預評，根據(jù)預評結(jié)果，對表現(xiàn)標準進行相應的修訂；

第三，將選取出的典型樣題及表現(xiàn)標準發(fā)給專家進行審核與評分，根據(jù)審核意見進行修訂并最終確定表現(xiàn)標準；

第四，為了更好地對數(shù)學教師的分數(shù)做出解釋，說明達到某個分數(shù)的教師能夠做什么．對小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的作答反應采用分步計分模型進行分數(shù)估計，對數(shù)學教師在認知和內(nèi)容維度上的表現(xiàn)分別采用多維Rasch模型進行估計．

在IRT標準分數(shù)基礎上，對其進行線性轉(zhuǎn)換，將小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識的總體表現(xiàn)轉(zhuǎn)換為均值為500分，標準差為100分的量尺分數(shù)；對于內(nèi)容或認知維度，以其中表現(xiàn)最弱的一個子維度為基準進行標準化，再進行線性轉(zhuǎn)換為均值為200分，標準差為50分的量尺分數(shù)，從而使內(nèi)容和認知維度各子維度之間具有可比性．

研究中，小學數(shù)學教師預測和了解學生錯誤子維度賦值0～1分，依據(jù)學生測試卷得到的正確作答率，教師能夠準確預測學生正確作答率所在范圍計為1分，否則計為0分．小學數(shù)學教師有關(guān)學科和課程知識的理解、有關(guān)學生錯誤的原因分析、針對學習錯誤的教學策略3個子維度賦值0～2分．采用反應類別組合方法（參照TIMSS對問卷量表劃分區(qū)域的反應類別組合方法來確定教師表現(xiàn)的不同水平）來確定小學數(shù)學教師原始分數(shù)的切分點．因為Rasch量尺的特點是每個原始分數(shù)都對應一個量尺分數(shù)，把小學數(shù)學教師得到的原始分數(shù)的切分點與量尺分數(shù)進行對應，可以將數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識劃分為3個等級，分別為初等水平、中等水平、優(yōu)等水平，具體描述見表3．為了更直觀地呈現(xiàn)小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的表現(xiàn)水平，以“圖形的運動”子維度的樣題為例進行說明，見表4．

4.4 實測結(jié)果

第一，小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識的整體表現(xiàn)不佳，多數(shù)數(shù)學教師仍處于中等偏下的水平，僅有15.0%的數(shù)學教師可以達到優(yōu)等水平．這一結(jié)論在一定程度上驗證了以往研究關(guān)于數(shù)學教師辨析錯誤能力的研究結(jié)果．

第二，在內(nèi)容維度上，小學數(shù)學教師在“圖形的認識”子維度上表現(xiàn)最差，量尺分數(shù)為200分，達到優(yōu)等水平的教師比例為12.0%；在“測量”子維度上表現(xiàn)最好，量尺分數(shù)為250分，達到優(yōu)等水平的教師比例為47.0%．

第三，在認知維度上，小學數(shù)學教師在“分析學生錯誤的原因”子維度上表現(xiàn)最差，量尺分數(shù)為200分，達到優(yōu)等水平的教師比例為3.4%；在“運用數(shù)學和課程知識描述學生錯誤”子維度表現(xiàn)最好，量尺分數(shù)為343分，達到優(yōu)等水平的教師比例為52.9%．具體結(jié)果見表5．

表3 小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識的表現(xiàn)標準描述

表4 小學數(shù)學教師在“圖形的運動”子維度的樣題及典型作答

表5 小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識內(nèi)容和認知維度的量尺分數(shù)與表現(xiàn)水平

5 分析與討論

小學數(shù)學教師在“圖形的認識”和“測量”子維度上存在差異，其原因可能在于課程內(nèi)容本身的屬性以及長久以來中國幾何教學中存在的歷史問題．首先，《課程標準》中“圖形與幾何”課程內(nèi)容屬性的不同，在一定程度上導致了數(shù)學教師在不同內(nèi)容子維度上表現(xiàn)的差異．測量的內(nèi)容與解決問題的方法相關(guān)較高，學生容易從抽象的問題中找到解題方法，所以學生易犯錯誤的地方與相應的教師糾錯方法也相對明確．從學段上看，四年級學生在測量上只學習了二維圖形，如長方形與正方形面積和周長的計算方法，需要解決的度量問題較少，且圖形的種類單一．而圖形的認識的內(nèi)容涉及有關(guān)圖形的要素之間、圖形的本質(zhì)、關(guān)系與特征的內(nèi)容，一些教師自身對這方面的知識存在認知盲區(qū)，受到自身能力的限制，他們在講課時采用的教學設計與方法也存在一定的偏差，課后又不能及時地發(fā)現(xiàn)學生錯誤的本質(zhì)，糾錯的策略也就不成熟，不具有針對性．吳衛(wèi)東等人的研究表明，小學數(shù)學教師的新課程教學的內(nèi)容知識，即關(guān)于數(shù)學概念和過程的知識急待提高[26]．尹瑤芳也提出，小學數(shù)學教師對坐標幾何、度量幾何和畫法幾何總體掌握較好，變換幾何、直觀幾何和演繹幾何知識較為欠缺．同時，訪談結(jié)果也發(fā)現(xiàn)，數(shù)學教師對新課標幾何內(nèi)容寬度廣度認識不足，受教育觀和知識觀的限制，部分教師易出現(xiàn)數(shù)學思維稚化現(xiàn)象[27]．再有，長久以來，中國小學幾何教學側(cè)重于計算幾何．在教學中，許多老師往往在教授幾何知識的時候仍然重視計算的過程，忽略對圖形的要素、關(guān)系與特征的研究．這一歷史遺留問題至今仍然影響著中國小學幾何教學．教師在知識、觀念上的固化致使在教學行為上的缺失，進而導致他們在學生發(fā)生有關(guān)圖形的認識的錯誤時難以跟進與分析．

小學數(shù)學教師在“分析學生錯誤的原因”子維度上的不良表現(xiàn)可能與小學數(shù)學教師關(guān)于學生心理發(fā)展特征與認知過程的知識儲備不足有關(guān)．已有文獻研究表明，職前數(shù)學教師判斷學生反應原因的能力是相對匱乏的．具體到對學生錯誤原因的分析，數(shù)學教師常常過于泛化地、片面地對錯誤進行歸因[28]．學生已有的知識經(jīng)驗包含但不限于他們的知識、技能基礎、學習、生活經(jīng)驗，是實施有效教學的前提條件，對學生知識現(xiàn)狀、困難的掌握與分析應該成為教學的起點．然而教師想要讀懂學生并非易事．學習數(shù)學知識、掌握某種教學技能與方法是相對容易的；洞悉學生深層次的認知、心理變化與特點是困難的，也是漫長的．從時間成本與結(jié)果來看，數(shù)學教師教學技能的提升對學生學業(yè)成績的影響是高效的、顯性的；而花時間關(guān)注學生思維，讀懂學生的工作是隱性的，很難量化對學生的成長產(chǎn)生了多大程度的影響．這可能是多數(shù)小學數(shù)學教師面對學生錯誤“不為”的原因．張曉貴對比兩岸三地數(shù)學教育課程設置發(fā)現(xiàn)，數(shù)學學習的知識包括數(shù)學思維、數(shù)學學習的錯誤分析、數(shù)學學習的情意因素以及學習理論等．與中國臺灣、中國香港相比，中國內(nèi)地數(shù)學學科教學論中雖然包含學生數(shù)學學習知識，但和數(shù)學課程的知識類似，所提供的數(shù)學學習知識是不充分的，缺少學生數(shù)學學習心理學和社會學分析的必要內(nèi)容[29]．從中國數(shù)學教師教育課程設置來看，有關(guān)兒童心理發(fā)展、認知特點的課程仍處在邊緣地位，雖然學校在課程安排中有心理學相關(guān)課程，但學生普遍認為心理學與中文、英語等公共課一樣，不如專業(yè)必修課重要[30]．曾小平等人提出，中國高師院校本科小學教育專業(yè)建設存在缺乏對兒童學習心理的深入研究．小學教育專業(yè)（數(shù)學方向）的核心課程應包括讓教師初步了解數(shù)學學習心理的基本理論，了解小學生數(shù)學認知發(fā)展概況，了解小學生數(shù)學思維的發(fā)展概況，了解數(shù)學教育心理研究的基本方法的內(nèi)容[31]．越來越多的研究者建議小學數(shù)學教育專業(yè)課程中應增加數(shù)學學習心理學、教育學和數(shù)學相結(jié)合的課程[32]．數(shù)學教師在職前教育階段有關(guān)學生心理與認知發(fā)展的知識相對匱乏，導致了他們在今后教學中對學生思維認知關(guān)注的缺位，這也是小學數(shù)學教師面對學生錯誤的“難為”之處．

小學數(shù)學教師在“運用數(shù)學和課程知識描述學生錯誤”子維度上的良好表現(xiàn)可能與數(shù)學教師參與培訓、日常研討的內(nèi)容有關(guān)．近年來，研究者改進研究設計與方法后對教師培訓與學生學業(yè)成績關(guān)系的研究結(jié)果表明，教師參與培訓對小學生數(shù)學成績有顯著的正向影響．希爾（Hill）等人發(fā)現(xiàn)，以數(shù)學內(nèi)容為中心的職前培訓和專業(yè)發(fā)展活動對數(shù)學教師如何設計教學、如何處理學生困惑很重要，并對提高學生數(shù)學成績有積極的作用[33]．陳向明等人基于11個?。ㄖ陛犑校婕皷|中西不同經(jīng)濟發(fā)展地區(qū)，兼顧城鄉(xiāng)及不同層次學校類型的教師培訓調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)，教育教學理論、學科教學是教師們接受最多的兩種培訓內(nèi)容[34]．可見，數(shù)學教師最常參加涉及有關(guān)數(shù)學學科知識的內(nèi)容的培訓，對他們把握數(shù)學課程知識有較大幫助．

6 結(jié)論與建議

6.1 結(jié)論

（1）小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識可以用包括認知維度和內(nèi)容維度的二維評價模型進行有效評價．該模型突破了傳統(tǒng)測驗理論的局限性，對有關(guān)學生錯誤的知識的核心組成部分進行了全面系統(tǒng)的分析與論證，在一定程度上豐富了數(shù)學教師學科教學知識的研究．

（2）以小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識的二維評價模型為藍圖，結(jié)合專家咨詢、個別訪談等方法開發(fā)的測評工具信效度良好，可操作性強；驗證性因子分析的結(jié)果證明此模型擬合良好，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定可靠，構(gòu)建模型的方法選擇恰當且高效．小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識的評價在教育測量最新技術(shù)與方法指導下進行測試，提供了小學數(shù)學教師更為精細化的、潛在的對學生錯誤的認知過程與特質(zhì)，可為教育決策、教學改進、學生發(fā)展提供可靠的數(shù)據(jù)支撐與參考依據(jù)．

調(diào)查沒有涉及四年級以外的其它年級和《課程標準》中小學數(shù)學的其它內(nèi)容維度，一定程度上限制了評價框架的推廣性與普適性．受限于研究樣本、題本設計、作答時間等客觀條件，研究僅開發(fā)了四年級“圖形與幾何”內(nèi)容上的測試工具對有關(guān)學生錯誤的知識的評價指標進行操作化的測試與驗證．對于小學其它年級，以及數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識的評價框架在“數(shù)與代數(shù)”“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容上的適用性還有待進一步分析．未來的研究可以考慮將影響小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識的相關(guān)因素納入評價框架中，可為改進教師教學行為提供更具針對性的指導意見．

（3）多數(shù)小學數(shù)學教師處理學生錯誤時表現(xiàn)欠佳，這一現(xiàn)狀應引起足夠的重視．調(diào)查結(jié)果表明，85.0%的小學數(shù)學教師對學生錯誤的了解與預測、識別與描述、診斷與闡釋、糾正與處理的相關(guān)知識處在初等或中等水平，整體表現(xiàn)并不理想，亟需提高．同時，各子維度之間差異較大，尤其是認知子維度．小學數(shù)學教師在“運用數(shù)學和課程知識描述學生錯誤”“糾正學生錯誤的教學策略”“預測學生錯誤”子維度上的量尺分數(shù)均在300分以上，遠高于“分析學生錯誤的原因”子維度；在達到優(yōu)等水平的教師比例上分布稍有不同，約45.0%以上的教師在“運用數(shù)學和課程知識描述學生錯誤”“糾正學生錯誤的教學策略”子維度上可以達到優(yōu)等水平，但僅有不足10.0%的教師在“預測學生錯誤”“分析學生錯誤的原因”子維度上可以達到優(yōu)等水平．

（4）小學數(shù)學教師職前培養(yǎng)階段的課程設置、有關(guān)學生錯誤分析與處理相關(guān)研討與培訓的缺失，以及內(nèi)在知識結(jié)構(gòu)、觀念的固化等多重原因，導致其在分析學生錯誤時表現(xiàn)不佳．

6.2 建議

（1）在教師職前和職后教育中，注重從學生本位理念出發(fā)，適當增加有關(guān)對學生認知研究的心理學等相關(guān)課程的比重，從源頭上彌補教師有關(guān)學生知識的缺失．相比于傳統(tǒng)的、高高在上的純理論性培訓，有關(guān)學生錯誤的培訓主題更貼近教師們的教學實踐，容易引起共鳴，每位教師對學生錯誤都可以基于自己的實際教學各抒己見、暢所欲言．建議各級教育部門合理設計有關(guān)學生錯誤的知識的培訓方案，為不同地域的數(shù)學教師提供多元化、個性化的指導與支持．

（2）隨著新課程理念的發(fā)展、倡導自主探索與建構(gòu)的數(shù)學教學、以學生為本的教學信念，越來越多的教師認識到學生錯誤的積極價值，認識到學生的錯誤可能蘊含著比正確答案更豐富的信息，對這些信息的辨別與分析可能成為學生發(fā)展新的增長點．由于時間的限制、教學效果的時效性、自身能力等原因，數(shù)學教師在分析學生錯誤原因中面臨著“不為”與“難為”困境．建議數(shù)學教師在面對學生的錯誤時，應積極轉(zhuǎn)變固有的關(guān)注知識的教學觀，樹立為學生服務的意識，放慢腳步，避免急功近利，學會讀懂學生．

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Study on Construction and Application of Assessment Model of Primary School Mathematics Teachers’ Knowledge about Students’ Misconceptions

ZHANG Yue1, LIU Xiao-mei2, Max Stephens3, JIA Chao-chao4

(1. Institute on Educational Policy and Evaluation of International Students, Beijing Language and Culture University, Beijing 100083, China;2. College of Teacher Education, Capital Normal University, Beijing 100037, China;3. Graduate School of Education, The University of Melbourne, Melbourne 3010, Australia;4. Collaborative Innovation Center of Assessment toward Basic Education Quality, Beijing 100875, China)

The assessment model of primary school mathematics teachers’ knowledge about students’ misconceptions based on cognitive diagnostic assessment approach is a two-dimensional structure including cognition and content category. The cognition category includes four sub-categories, which were predicting the students’ misconceptions, using mathematics and curriculum- related knowledge to identify and describe errors on a specific mathematical topic, analyzing and explaining the reasons for students’ misconceptions, and strategies for dealing with and correcting students’ misconceptions. The content category is developed based on. Interview and counseling method are used in construction and modification of model and developing the test tools. 701 primary school mathematics teachers from 8 provinces and cities in east, central and west of China are tested to verify the assessment model. The results show that the assessment model has good reliability and validity. On the whole, the performance of mathematics teachers’ knowledge about students’ misconceptions should be improved, and the performance of cognitive and content sub-categories is very different.

primary school mathematics teachers; knowledge about students’ misconceptions; assessment model; verification and application

G622

A

1004–9894（2022）06–0030–08

張岳，劉曉玫，Max Stephens，等．小學數(shù)學教師有關(guān)學生錯誤的知識的評價模型構(gòu)建與應用[J]．數(shù)學教育學報，2022，31（6）：30-37．

2022–05–20

北京市教育科學“十四五”規(guī)劃2021年度青年專項課題——首都高校來華留學本科生漢語學習質(zhì)量評價體系研究（CDCA21116）

張岳（1984—），女，山西陽泉人，助理研究員，博士，主要從事學科教育與教師專業(yè)發(fā)展、教育測量與評價研究．劉曉玫為本文通訊作者．

[責任編校：陳雋、陳漢君]