解一題,通一法
——以一道圓錐曲線?？碱}求解為例

浙江省湖州中學(xué)(313000) 祝峰澤浙江省湖州市濱湖高級中學(xué) (313000) 鄭夢華

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,蝴蝶型斜率問題是圓錐曲線的一個重要考點(diǎn),這一類題型對學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)要求較高,并且對圓錐曲線的研究方法、研究工具及學(xué)會自主探究發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的一般定義及通性通法顯得尤為重要.本文以2023屆廣州期末卷第21題為例,探究其多解、優(yōu)解及通解的規(guī)律,從而發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的一般性質(zhì).

1 試題呈現(xiàn)

2 解法探究

圖1

評注:解法一較常規(guī),設(shè)直線方程后,聯(lián)立橢圓方程,將斜率的比值轉(zhuǎn)化為代數(shù)后利用韋達(dá)定理進(jìn)行計算即可;解法二從點(diǎn)出發(fā),得到直線方程后,求得另一點(diǎn)的坐標(biāo),該解法計算較大;解法三運(yùn)用直線上三點(diǎn)共線斜率相等,將斜率問題轉(zhuǎn)化為純代數(shù)問題,最后解方程組即可,對思維能力要求較高;解法四運(yùn)用參數(shù)方程方法,計算量減少,較為抽象.

圖2

評注:第二問主要考查三角形面積求法、斜率的幾何意義、基本不等式等,難度較大.除上述方法外,也可以考慮求點(diǎn)到直線的距離,從而求出三角形面積;還可以運(yùn)用參數(shù)方程求解.

3 試題推廣

上述推廣1及推廣2的證明同本文試題第一問解法一,此略.雙曲線也有這兩類似的性質(zhì).

綜合上述推廣,又可將其性質(zhì)從逆思考方向予以探究,相應(yīng)得到其逆命題.

張景中院士認(rèn)為:小巧一題一法,固不應(yīng)提倡,大巧法無定法,也確實(shí)太難,出路在于中巧.中巧即數(shù)學(xué)解題中有章可循的通性通法,教師在教學(xué)中可以幫助學(xué)生歸納總結(jié)得到一類問題的通性通法,在此基礎(chǔ)上,學(xué)生能夠?qū)W會舉一反三并形成系統(tǒng)性的解題策略,由此發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.