數(shù)學(xué)課應(yīng)多些育人的思考
——以“集合的概念”教學(xué)為例

江蘇省華羅庚中學(xué) (213200) 王國(guó)俊

最近，筆者觀摩了一堂公開課，教學(xué)內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)人教A版新教材必修第一冊(cè)的“集合的概念”.縱觀整堂課，仍是沿襲傳統(tǒng)知識(shí)點(diǎn)教學(xué)的方式，即“教師講解知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生訓(xùn)練強(qiáng)化”.雖然不能說這樣的教學(xué)效果不好，但卻與數(shù)學(xué)育人的目標(biāo)卻相差較遠(yuǎn).“集合的概念”作為高中數(shù)學(xué)的起始課，其重要性與教學(xué)地位不言而喻，那么本節(jié)課應(yīng)該如何教學(xué)？

1 在三大場(chǎng)景中感悟集合

眾所周知，集合是刻畫數(shù)學(xué)對(duì)象的重要工具與語(yǔ)言，它是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，更是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ).但是作為剛進(jìn)入高中的學(xué)生來說，他們不可能一開始就能體會(huì)到這些.學(xué)生對(duì)于集合的最大困惑是“為什么要學(xué)集合”，因?yàn)樵谒麄兛磥砑霞炔皇浅踔袛?shù)學(xué)的延續(xù)，也不是初中數(shù)學(xué)的深化，似乎跟他們所學(xué)的數(shù)學(xué)關(guān)系不大.因此，集合對(duì)學(xué)生來說不僅是陌生的，甚至是內(nèi)心上要抵觸的東西.雖然初中也出現(xiàn)過所謂“解集”、“數(shù)集”的概念，但并沒有把它們上升的理論層面，而是停留在感性的描述階段，學(xué)生只要會(huì)“說”就行了.但現(xiàn)在要把“集合”單獨(dú)提出來，作為單獨(dú)的知識(shí)體系來研究，這對(duì)于學(xué)生來說是非常不理解的.因此，本節(jié)課首先要解決的就是讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)集合的必要性，具體可以通過設(shè)計(jì)三大場(chǎng)景讓學(xué)生感悟.

文化場(chǎng)景：向?qū)W生講述“白馬非馬”的歷史典故.讓學(xué)生思考：公孫龍的說辭有道理嗎？“白馬”與“馬”它們之間是什么關(guān)系？

生活場(chǎng)景：某跨國(guó)公司向全球召回有缺陷的產(chǎn)品，但是不包括中國(guó)地區(qū).讓學(xué)生思考：跨國(guó)公司的做法有道理嗎？“全球”與“中國(guó)地區(qū)”什么關(guān)系？

數(shù)學(xué)場(chǎng)景：(1)求方程x2=2在有理數(shù)范圍的根.如果改成在實(shí)數(shù)范圍，那么方程的根是多少？(2)在平面上到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是什么？如果把“平面”改成“空間”，那么點(diǎn)的軌跡又是什么？

上述三大場(chǎng)景都涉及到研究的對(duì)象以及對(duì)象所在范圍的問題.在“白馬非馬”與“產(chǎn)品召回”例子中，涉及到了子集的概念；而在“數(shù)學(xué)場(chǎng)景”中不僅涉及到了“數(shù)集”“點(diǎn)集”的概念，而且還明確告訴學(xué)生“對(duì)象所在的范圍不同，所得到的結(jié)果也不同”.通過上述三大場(chǎng)景，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到要研究數(shù)學(xué)對(duì)象，首先必須要明確要研究的對(duì)象以及所在的范圍，而“集合”正是刻畫對(duì)象以及對(duì)象所在范圍的工具.

2 在真實(shí)情境中理解集合

集合是一個(gè)只給出描述而沒有給出嚴(yán)格定義的數(shù)學(xué)概念.教材中所描述的“一般地，我們把研究的對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素的組成的總體叫做集合”的定義，嚴(yán)格意義上并不能被稱作為集合的定義.對(duì)于集合定義的理解依賴于集合的三要素，三要素濃縮了集合的所有屬性.因此，只要把三要素搞清楚了，集合的概念也就理解了.有些老師的教法是直接給出“三要素”，然后讓學(xué)生記憶，而沒有讓學(xué)生經(jīng)歷一種發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)的過程，這樣的教法其實(shí)是不可取的.較易理解的教法應(yīng)該是讓學(xué)生在真實(shí)的情境中建構(gòu)并理解集合的三要素.

對(duì)于“確定性”，可以讓學(xué)生舉出“你認(rèn)為可以構(gòu)成集合的對(duì)象”，學(xué)生可能會(huì)舉出“著名的數(shù)學(xué)家”、“有趣的故事”等類似的例子，在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生思考“怎樣的數(shù)學(xué)家算是著名”、“怎么樣的故事算是有趣”，從而發(fā)現(xiàn)構(gòu)成集合的對(duì)象一定要“確定”，不能“模糊”或者出現(xiàn)“歧義”.

對(duì)于“唯一性”與“互異性”這兩個(gè)特性，可以讓學(xué)生在真實(shí)的情境中提取.例如，小明剛進(jìn)入高一(1)班就讀，請(qǐng)問高一(1)班的學(xué)生能構(gòu)成集合嗎？顯然是可以構(gòu)成集合的.那么，在高一(1)班中會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)一模一樣的“小明”嗎？這顯然是不可能的，從而引出“唯一性”的特征.再繼續(xù)思考，如果高一(1)的學(xué)生間調(diào)換了座位，那么高一(1)這個(gè)集合有么有發(fā)生變化？因?yàn)闃?gòu)成集合的元素沒有發(fā)生改變，所以集合依舊不變，由此引出集合的“互異性”.

集合與生活息息相關(guān)，通過貼近生活的例子來研究幾何的性質(zhì)，更容易被學(xué)生接受與理解，更能夠幫助學(xué)生形成有聯(lián)系的觀點(diǎn)和看問題的意識(shí).

3 在實(shí)踐操作中表示集合

集合的表示是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，尤其是描述法.首先應(yīng)讓學(xué)生明確引進(jìn)描述法的必要性，因?yàn)榱信e法無(wú)法表示所有的集合，只能引入新的表示方法.其次還需要明確描述法的本質(zhì)，它是“對(duì)具有共同特征元素的描述”，因此，要把共同屬性這個(gè)本質(zhì)特征給凸顯出來.但是很多教師在教學(xué)中卻忽視了這一點(diǎn)，而是直接教學(xué)生“如何書寫”，從而導(dǎo)致學(xué)生只知其然，而不知所以然.正確的做法應(yīng)該怎么樣呢？

例如，對(duì)于不等式x-7>3解集的表示，可以先讓學(xué)生思考兩個(gè)問題，即“滿足不等式x-7>3的所有元素在不在這個(gè)集合中？”反過來，“集合中的元素滿不滿足不等式x-7>3”，通過純粹性與完備性的檢驗(yàn)，從而讓學(xué)生體會(huì)到用描述法表示集合必需要凸顯“元素共同特征”，在此基礎(chǔ)上再給出描述法的格式{代表元|共同特征}.

接下去還要通過具體的實(shí)例，讓學(xué)生逐步掌握表示的方法.可以讓學(xué)生嘗試表示“奇數(shù)集”，教師則用問題串來啟迪學(xué)生的思維.“如何表示奇數(shù)”，“是否所有的奇數(shù)都滿足x=2k+1這種形式，反過來滿足x=2k+1這種結(jié)構(gòu)形式是不是都是奇數(shù)”，“參數(shù)k應(yīng)該滿足什么條件”，于是奇數(shù)集{x|x=2k+1,k∈Z}的表示自然生成.

為了讓學(xué)生更好的掌握描述法，教師還可以故意“犯錯(cuò)”來強(qiáng)化正確的書寫格式，例如，{1

4 在文化融入中升華集合

集合的產(chǎn)生具有豐富的歷史背景，如果在教學(xué)中不能讓學(xué)生體會(huì)到這一點(diǎn)，不能說整節(jié)課是失敗的，但至少是留下遺憾的.因此，在本節(jié)課的小結(jié)環(huán)節(jié)，教師應(yīng)該向?qū)W生呈現(xiàn)集合論產(chǎn)生的歷史原因以及數(shù)學(xué)家康托爾在創(chuàng)立集合論過程中的種種艱辛.進(jìn)一步引入“理發(fā)師悖論”、“希爾伯特旅館”等經(jīng)典問題來進(jìn)一步豐富本節(jié)課的教學(xué).讓學(xué)生在感悟數(shù)學(xué)文化的同時(shí)，對(duì)集合有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)；在感悟數(shù)學(xué)家智慧的同時(shí)，也體會(huì)到數(shù)學(xué)家所表現(xiàn)出來的那種鍥而不舍、勇于探索的精神，從而使數(shù)學(xué)的德育功能得到進(jìn)一步凸顯.最后，在回到“白馬非馬”這個(gè)典故中，讓學(xué)生用集合來表示這個(gè)“白馬”和“馬”，說明這個(gè)兩個(gè)集合到底是什么關(guān)系，從而為下一節(jié)課“集合間的基本關(guān)系”做好鋪墊.

當(dāng)然，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)是落實(shí)數(shù)學(xué)育人功能的前提.因?yàn)橹挥性诶斫鈹?shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的基礎(chǔ)上，才能創(chuàng)設(shè)出符合育人價(jià)值的教學(xué)情境、提出有數(shù)學(xué)含金量的問題,才能啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生的思考和探索活動(dòng).