類比法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

賀湘雲(yún)，賴冬梅

（甘肅省酒泉特殊教育學(xué)校，甘肅酒泉 735000）

初中數(shù)學(xué)是培育學(xué)生邏輯思維和推理能力的主要平臺。類比不僅是一種基本的數(shù)學(xué)思想和研究方法，在提升學(xué)生思維活性方面作用也極為顯著。應(yīng)用類比法有助于學(xué)生建立更穩(wěn)固的知識和思維體系。為此，教師應(yīng)當(dāng)明晰實施數(shù)學(xué)類比教學(xué)的深刻意義，把類比法滲透應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)的各課型和環(huán)節(jié)中，引領(lǐng)學(xué)生運用類比法對數(shù)學(xué)對象展開探索式研究，從而同步提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的吸納效率以及難點突破能力。下面我們就對類比法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用展開策略芻議。

一、類比法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用意義

數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中的類比法，主要是比較數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理以及公式之間的相似之處，在比較的基礎(chǔ)上加以聯(lián)想，由某個數(shù)學(xué)對象已知特點遷移到其他數(shù)學(xué)對象上，產(chǎn)生新的結(jié)論或研究方法，進(jìn)而達(dá)到深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、獲得解決問題思路的目的。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用類比法是一種科學(xué)高效的教學(xué)途徑。然而現(xiàn)階段，部分教師對類比法的應(yīng)用還不夠密集，導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)和推理思維發(fā)展遭遇多方掣肘。經(jīng)過學(xué)情分析以及文獻(xiàn)和實踐教學(xué)調(diào)研，筆者將類比法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用意義總結(jié)整理為下列三個方面：

第一，應(yīng)用類比法可以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)新知的接收效率。無論是對哪種數(shù)學(xué)對象的研究和學(xué)習(xí)，對學(xué)生來說都具有較強(qiáng)的抽象性，尤其是理解數(shù)學(xué)新知時，大部分學(xué)生接收領(lǐng)悟起來都較為吃力。將類比法引入初中數(shù)學(xué)教改工作，最顯著的意義就是可以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)新知的接收效率。學(xué)生在探索數(shù)學(xué)世界的過程中，經(jīng)常會對不同領(lǐng)域、不同分支的數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生似曾相識的感覺，這主要是基于數(shù)學(xué)知識點之間的關(guān)聯(lián)性和同質(zhì)性，喚醒學(xué)生已經(jīng)擁有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗儲備。教師采用類比法引導(dǎo)學(xué)生對這些同質(zhì)成分進(jìn)行比較，能夠幫助學(xué)生在舊知識的基礎(chǔ)上遷移到新的數(shù)學(xué)研究對象上，從而通過類比建立新的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。

第二，應(yīng)用類比法能夠幫助學(xué)生構(gòu)建立體化的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)。數(shù)學(xué)知識點并不是孤立存在的，教師如果以單個知識點為單位實施數(shù)學(xué)教學(xué)，一方面學(xué)生遺忘速度非?？?，另一方面其日后遷移和靈活運用也會遭遇阻滯。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透類比法，最突出的功用就是能夠幫助學(xué)生構(gòu)建立體化的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)。如教師可以采用類比法引領(lǐng)學(xué)生對某個數(shù)學(xué)研究對象展開聯(lián)想和觀點探討，以此將孤立的數(shù)學(xué)知識點貫連起來，形成完整的知識鏈條結(jié)構(gòu)，這樣學(xué)生就能自主對原有知識體系進(jìn)行查缺補漏，從而由點及面、串面成網(wǎng)，構(gòu)筑起立體化的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)，既增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維創(chuàng)造性，也能拓展學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知領(lǐng)域。

第三，應(yīng)用類比法有助于學(xué)生輕松解答數(shù)學(xué)疑難問題。初中數(shù)學(xué)教學(xué)重心最終要回扣到解決實際問題上，然而目前多數(shù)學(xué)生數(shù)學(xué)運用意識、解題能力都偏弱，面對陌生的數(shù)學(xué)問題常常找不到最便捷的解題思路和方法。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中引入類比法有助于學(xué)生輕松解答數(shù)學(xué)疑難問題。如數(shù)學(xué)幾何與代數(shù)課程屬于兩個不同的研究對象，但是相互之間又存在千絲萬縷的聯(lián)系。教師可以基于這兩個研究范疇的重合之處，引導(dǎo)學(xué)生對代數(shù)領(lǐng)域中的幾何問題或幾何領(lǐng)域中的代數(shù)問題展開類比，如此學(xué)生就能融會貫通兩個研究范疇的知識要點，迅速探尋到最佳的解題思路和方法，并形成類比遷移、橫向拓寬的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

二、類比法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)用類比法，促進(jìn)學(xué)生以舊引新

上文我們談及，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用類比法可以提高學(xué)生對數(shù)學(xué)新知的接收成效。概念教學(xué)在數(shù)學(xué)新授課程中占據(jù)極高的比重，也是學(xué)生最容易產(chǎn)生畏難情緒的學(xué)習(xí)板塊。教師可以在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)用類比法，在學(xué)生已經(jīng)具備的概念認(rèn)知中搜索和新課概念有關(guān)的同質(zhì)及關(guān)聯(lián)成分，然后引導(dǎo)學(xué)生展開類比和聯(lián)想，認(rèn)識和接納新的數(shù)學(xué)對象和概念，從而達(dá)到促進(jìn)學(xué)生以舊引新的目標(biāo)。相關(guān)應(yīng)用流程和策略如下：

第一，利用學(xué)生已有概念儲備揭示類比問題。類比法在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用必須以學(xué)生已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)概念作為支撐，教師在實際操作中應(yīng)當(dāng)在過往概念課程中篩選和新課相關(guān)的概念知識作為類比材料。如在帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識一元一次不等式概念時，教師就可以先在多媒體投屏上出示幾道一元一次方程、一元一次不等式例題，然后向?qū)W生揭示和引出類比問題：“同學(xué)們，對一元一次方程大家都很熟悉，誰能回想一下一元一次方程的概念？其與本課一元一次不等式的概念又存在哪些區(qū)別和關(guān)聯(lián)呢？”學(xué)生隨即展開思考和回憶，當(dāng)有學(xué)生舉手完整復(fù)述了一元一次方程的概念后，教師可把概念文字記錄在屏幕上。接下來，教師可以指導(dǎo)學(xué)生詳讀一遍教材中給出的一元一次不等式概念，并使用顏色醒目的筆把概念標(biāo)劃下來，這樣多媒體屏幕上和課本上的新舊概念知識就組成完備的類比材料，把舊概念作為起點，學(xué)生的新知接收興趣明顯提高［1］。

第二，引導(dǎo)學(xué)生對新舊知識展開比較和聯(lián)想。在這一流程，教師可以借助問題引導(dǎo)學(xué)生開展類比：“同學(xué)們，請大家仔細(xì)觀察老師在多媒體屏幕上出示的一元一次方程和不等式例題，比較之后你有什么發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生合作討論和類比期間，教師可以提醒學(xué)生從兩類例題的未知數(shù)、符號和次方等方面進(jìn)行比較，學(xué)生類比后反饋：二者在算式上最大的區(qū)別是前者用＝連接，后者用＞或＜連接，教師肯定學(xué)生類比結(jié)論后，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生對新舊概念的文字內(nèi)容開展比較和聯(lián)想：“同學(xué)們，下面請大家根據(jù)一元一次方程的概念，嘗試用自己的語言概括一元一次不等式的概念，然后再比較屏幕和教材上的標(biāo)準(zhǔn)概念文字，分析二者的異同之處?！睂W(xué)生參與概念類比時，教師可指導(dǎo)學(xué)生使用不同線型把新舊概念異同之處劃出來，這樣數(shù)學(xué)課程新概念就在學(xué)生腦海中建立完成，學(xué)生也習(xí)得應(yīng)用類比法探查數(shù)學(xué)新舊概念聯(lián)系和規(guī)律的技巧。

（二）在數(shù)學(xué)猜想教學(xué)中應(yīng)用類比法，促進(jìn)學(xué)生實證探究

數(shù)學(xué)是一門強(qiáng)調(diào)嚴(yán)謹(jǐn)和實證的學(xué)科，很多學(xué)生理性思維能力不足，很難通過自主猜想和探究認(rèn)識數(shù)學(xué)概念和命題的發(fā)現(xiàn)過程。猜想是初中數(shù)學(xué)常用的研究方法，猜想和類比相結(jié)合，可以使學(xué)生通過自主思維活動剔除不成立的猜想，構(gòu)建更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)命題，從而促進(jìn)學(xué)生去偽存真、實證探究能力的養(yǎng)成。具體應(yīng)用流程和策略如下：

第一，出示數(shù)學(xué)命題，引導(dǎo)學(xué)生展開類比猜想。在這一流程，教師應(yīng)當(dāng)立足具體的數(shù)學(xué)命題組織學(xué)生運用類比法。如在探究某圖形邊和角的性質(zhì)時，教師可以先在多媒體屏幕上設(shè)計展示相關(guān)命題，如該圖形某邊上的底角相等或不相等、邊長和角度關(guān)系等等，然后發(fā)布類比猜想任務(wù)：“同學(xué)們，在我們以往學(xué)過的圖形概念、性質(zhì)、定理中有沒有和這個命題相似的內(nèi)容？你能結(jié)合已知圖形性質(zhì)對命題展開類比和猜想嗎？”學(xué)生集體討論后，提出某圖形性質(zhì)和研究命題相似，教師隨即在多媒體屏幕上同時出示命題圖形和學(xué)生提出的圖形，然后啟發(fā)學(xué)生觀察、比較、分析兩個圖形的關(guān)聯(lián)與區(qū)別，發(fā)動學(xué)生分小組思考、探討，把建立得出的命題猜想組織成簡練的語言書寫下來，留作下個流程的類比依據(jù)，這樣學(xué)生對數(shù)學(xué)命題的類比猜想就初步完成［2］。

第二，驗證類比猜想結(jié)論，討論確定命題真?zhèn)巍Ｔ谶@個流程，教師需要指導(dǎo)學(xué)生通過實證去驗證先前提出的類比猜想結(jié)論，如課程命題是等腰梯形同一底邊上的兩個底角相等，學(xué)生聯(lián)系直角三角形全等判斷定理，給出命題成立的類比猜想結(jié)論，教師可以追加驗證任務(wù)：“大家是如何驗證結(jié)論的？具體證明方法和過程是什么呢？”各小組學(xué)生展開熱烈討論，有學(xué)生想出在等腰梯形上作上邊和底邊垂直輔助線的方式，其他學(xué)生也茅塞頓開，紛紛在驗算本上畫輔助線，繼續(xù)根據(jù)直角三角形全等判斷定理，推導(dǎo)出兩個三角形全等，進(jìn)而同理驗證得出同一底邊上的兩個底角相等，教師此時可以鼓勵學(xué)生列出完整的證明過程，最后讓學(xué)生把類比猜想結(jié)論和證明結(jié)果一起帶回到課程命題中，使學(xué)生能夠手握實證確定命題是真的，這樣學(xué)生類比猜想和實證探究能力都得到有效發(fā)展［3］。

（三）在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)用類比法，促進(jìn)學(xué)生突破疑難

初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)也是應(yīng)用類比法的重要板塊，類比法幾乎適用于所有數(shù)學(xué)問題和題型的探究與解答。教師根據(jù)問題內(nèi)容合理應(yīng)用類比法不但能幫助學(xué)生化解思維阻滯、順利找到問題的解答思路，也可以把一個數(shù)學(xué)問題的多種解法、不同數(shù)學(xué)問題解法之間的異同點進(jìn)行類比，引導(dǎo)學(xué)生在解題類比中探尋和掌握最便捷的解題方式，從而達(dá)到促進(jìn)學(xué)生突破疑難和提高解題技巧的目的。相關(guān)應(yīng)用措施如下：

第一，從一道數(shù)學(xué)題的解法類比遷移到同類題型的解題探究中。這種類比法應(yīng)用方式側(cè)重于發(fā)展學(xué)生舉一反三的解題思維，教師需要根據(jù)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，精心選擇具有代表性的題型和例題，帶領(lǐng)學(xué)生探究掌握例題的解答方法，然后類比遷移到同類題型的其他例題解答中。以概率問題為例，拋硬幣是比較有代表性的例題，教師可以把學(xué)生分成4～5 人一單位的小組，然后將若干硬幣分發(fā)到各組學(xué)生手中，指導(dǎo)學(xué)生合作拋硬幣、記錄拋擲總次數(shù)，以及硬幣正面、反面朝上的次數(shù)，然后把記錄的數(shù)據(jù)整理成扇形或條狀統(tǒng)計圖，分別計算出單位拋擲次數(shù)中硬幣正面和反面朝上的概率，這樣學(xué)生就基本掌握了求概率例題的一般解法。接下來，教師可以在多媒體投屏上出示幾道同類例題，如在口袋中摸出兩種顏色小球的概率、生男生女的概率等等，然后啟發(fā)學(xué)生運用類比遷移法解答新的例題。教師可以這樣啟發(fā)：“同學(xué)們，我們先前解答拋硬幣概率問題的方法在新例題中是否適用？請大家通過類比遷移在新例題上代入之前的解法。”學(xué)生代入解法后新例題也迎刃而解，這樣學(xué)生再遇到同類題型，就能通過類比方法迅速建立解題思路［4］。

第二，類比相似但不同的數(shù)學(xué)問題解法，探討和總結(jié)解題注意事項。部分?jǐn)?shù)學(xué)問題的解答方式存在同質(zhì)性，但又不完全一致，教師也可以應(yīng)用類比法避免學(xué)生陷入解題誤區(qū)。以一元一次方程和不等式的解題方式來說，教師可以在投屏上分別出示兩道例題及其解題過程，然后提出解題方法類比問題：“同學(xué)們，大家可以看到，一元一次方程和不等式的解題過程很相像，老師希望大家能類比找出解題過程的不同之處?！睂W(xué)生類比討論后匯報結(jié)果：兩個解題過程的不同之處主要是在系數(shù)化一的步驟，解一元一次不等式需要注意系數(shù)的正負(fù)，如果是負(fù)數(shù)，系數(shù)化一后必須改變不等式的方向。這樣學(xué)生通過對相似問題和解法的類比，就能規(guī)避大部分解題錯誤的發(fā)生。

（四）在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中應(yīng)用類比法，促進(jìn)學(xué)生歸納梳理

復(fù)習(xí)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中作用匪淺，有效復(fù)習(xí)是學(xué)生構(gòu)建立體化數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)的前提。應(yīng)用類比法也有助于學(xué)生以點串線、串線成網(wǎng)地重溫學(xué)過的知識，因此教師無論是在單課時還是單元數(shù)學(xué)課程實施完畢后，都應(yīng)當(dāng)借助類比法開展復(fù)習(xí)教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生歸納梳理數(shù)學(xué)知識網(wǎng)，防止學(xué)生對數(shù)學(xué)知識遺忘、混淆等不良情況發(fā)生。

教師在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中應(yīng)用類比法，必須找準(zhǔn)具有類比價值的知識點。如同一單元內(nèi)學(xué)生容易混淆的數(shù)學(xué)知識點，一些較為艱深和抽象的數(shù)學(xué)概念、定理、公式等等，都是教師實施類比復(fù)習(xí)的主體內(nèi)容，教師可以在復(fù)習(xí)備課階段把上述類比內(nèi)容摘錄整理出來，編制一份類比復(fù)習(xí)學(xué)案，在課堂上出示給學(xué)生作為類比復(fù)習(xí)材料。拿容易混淆的數(shù)學(xué)知識點的類比復(fù)習(xí)來說，教師可以把2～3 個知識點同時展示在學(xué)生眼前，然后設(shè)置類比問題：“同學(xué)們，這幾個知識點就像多胞胎一樣，很多同學(xué)都分不清它們，下面請大家復(fù)習(xí)相關(guān)課程知識，比較這幾個知識點的共通之處和區(qū)別?！睂W(xué)生參與類比復(fù)習(xí)活動過程中，教師需要啟發(fā)學(xué)生重點類比相似知識點的區(qū)別，畢竟導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生混淆現(xiàn)象的是知識點之間的同質(zhì)成分，教師在復(fù)習(xí)類比教學(xué)中應(yīng)盡量減少對相同點的贅述。學(xué)生反饋類比結(jié)論后，教師可以指導(dǎo)學(xué)生把相似知識點的區(qū)別采用表格或思維導(dǎo)圖等形式進(jìn)行歸納梳理，這樣基于應(yīng)用類比法的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)就高質(zhì)量落實［5］。

三、結(jié)語

綜上所述，教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中廣泛應(yīng)用類比法，不但可以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)新知的接收效率，也能幫助學(xué)生構(gòu)建立體化的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)，還有助于學(xué)生輕松解答數(shù)學(xué)疑難問題，是新課程背景下非?？茖W(xué)的數(shù)學(xué)教改途徑。因此，教師必須全力拓展類比法在初中教學(xué)中的應(yīng)用空間，加強(qiáng)在數(shù)學(xué)概念教學(xué)、猜想教學(xué)、解題教學(xué)以及復(fù)習(xí)教學(xué)中引入類比法，結(jié)合教學(xué)需求優(yōu)化類比手段的實施形式，促進(jìn)學(xué)生以舊引新、實證研究、突破疑難和歸納梳理，從而彰顯應(yīng)用類比法對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)卓越發(fā)展的作用。