基于分?jǐn)?shù)階模型的紗線蠕變性能模擬與預(yù)測(cè)

李 楊， 彭來湖,2， 鄭秋揚(yáng)， 胡旭東

(1.浙江理工大學(xué) 浙江省現(xiàn)代紡織裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 浙江 杭州 310018; 2.浙江理工大學(xué)龍港研究院， 浙江 溫州 325802)

紗線屬于高分子聚合物，具有彈性固體和黏性流體的特性[1]。紡織品生產(chǎn)過程中，紗線在張力作用下纖維內(nèi)大分子皺曲狀態(tài)伸展和纖維之間的滑移造成紗線內(nèi)應(yīng)力和應(yīng)變的改變，從而影響紗線強(qiáng)力，對(duì)紡織品質(zhì)量產(chǎn)生重要影響[2-3]，因此，對(duì)紗線蠕變理論具有一定的研究?jī)r(jià)值。

當(dāng)前，已有不少學(xué)者對(duì)紗線蠕變模型理論進(jìn)行研究。GAO[4-5]以Burgers四原件模型對(duì)紗線蠕變進(jìn)行了分析，證明了該模型符合紗線蠕變結(jié)果的擬合。王新威等[6]對(duì)纖維進(jìn)行蠕變?cè)囼?yàn)，證明了多項(xiàng)式回歸方法對(duì)紗線蠕變性能測(cè)試的有效性。ASAYESH等[7]使用三元件模型，證明了該模型適用于織物的蠕變特性。高傑[8]以Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微積分理論構(gòu)建了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Burgers蠕變模型，有效預(yù)測(cè)了紅黏土的蠕變過程。梁娜等[9]構(gòu)建了變參三元件模型，求解了聚合物基復(fù)合材料的蠕變。MASOUMI等[10]以整數(shù)階M‖N模型預(yù)測(cè)了復(fù)合材料的蠕變。張思成等[11]以改進(jìn)Burgers模型，通過試驗(yàn)得到了材料蠕變?nèi)崃亢退沙谀Ｐ偷膿Q算關(guān)系。目前用分?jǐn)?shù)階微積分理論對(duì)紗線蠕變模型研究的鮮有報(bào)道。

傳統(tǒng)的紗線蠕變模型大多為整數(shù)階模型。由于整數(shù)階模型對(duì)紗線蠕變非線性問題的適應(yīng)性差，且精度較低，因此，文本采用分?jǐn)?shù)階微積分理論建立紗線蠕變模型。為此，本文首先引用分?jǐn)?shù)階微積分理論，建立了紗線的非線性分?jǐn)?shù)階M‖N蠕變模型；然后通過紗線蠕變實(shí)驗(yàn)，獲得紗線蠕變?nèi)^程曲線；最后，對(duì)紗線蠕變實(shí)驗(yàn)曲線進(jìn)行擬合和預(yù)測(cè)，驗(yàn)證本文模型的準(zhǔn)確性。

1 基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的紗線蠕變模型

1.1 預(yù)加張力恒定紗線松弛模型

目前，分?jǐn)?shù)階微積分有比較廣泛的定義方式，為了有效描述紗線蠕變過程，本文采用Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微積分理論[12]。分?jǐn)?shù)階微積分定義為

(1)

(2)

當(dāng)0<β<1時(shí)，分?jǐn)?shù)階微積分算子經(jīng)Laplace變換為

(3)

式中：s為L(zhǎng)aplace變換參量；F(s)為f(t)的Laplace變換方程。

把紗線看作是由纖維經(jīng)過牽伸-加捻后形成的軟體元件，其基于Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階理論的本構(gòu)方程為

(4)

式中：τ(t)為紗線應(yīng)變,%；u(t)為施加張力，cN；ξ為黏彈性系數(shù)，GPa。

當(dāng)β=0時(shí)，令黏彈性系數(shù)ξ等于彈性模量E，則式(4)為彈性固體材料分?jǐn)?shù)階本構(gòu)方程；當(dāng)β=1時(shí)，令黏彈性系數(shù)ξ等于黏滯系數(shù)η，則式(4)為牛頓黏體分?jǐn)?shù)階本構(gòu)方程；多數(shù)情況下，當(dāng)0<β<1時(shí)，式(4)可以用做為介于牛頓黏體和彈性固體之間軟體元件紗線的分?jǐn)?shù)階本構(gòu)方程。

當(dāng)u(t)為常量時(shí)，則式(4)描述為紗線蠕變模型。對(duì)式(4)進(jìn)行Laplace正逆變換，得到基于Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階理論的紗線蠕變模型：

(5)

式中，u為紗線蠕變量。

本文將Maxwell模型和Newton體進(jìn)行并聯(lián)，并且將黏壺元件以分?jǐn)?shù)階微分理論進(jìn)行改進(jìn)，建立了三元件分?jǐn)?shù)階紗線M‖N蠕變模型，如圖1所示。

圖1 分?jǐn)?shù)階 M‖N 紗線蠕變模型Fig.1 Fractional order M‖N yarn creep model

(6)

(7)

式中：τ為模型蠕變量；τM和τN為分?jǐn)?shù)階Maxwell體和分?jǐn)?shù)階Newton體的應(yīng)力，cN；uM和uN為分?jǐn)?shù)階Maxwell體和分?jǐn)?shù)階Newton體的位移，mm；E1為彈性模量，GPa；η1和η2為模型黏滯系數(shù)；D1和D2為分?jǐn)?shù)階微分算子，且D1=dβ1/dtβ1，D2=dβ2/dtβ2。

將上述方程聯(lián)立，可得紗線的分?jǐn)?shù)階本構(gòu)方程：

(8)

對(duì)紗線本構(gòu)方程式(8)進(jìn)行Laplace變換，令u(t)=u0H(t)(H(t)為階躍函數(shù))，則紗線蠕變的表達(dá)式為

(9)

式中：u0為紗線初始伸長(zhǎng)，mm；u0=u(t)|t=0在紗線蠕變過程中為定值，則紗線蠕變方程為：

τ(t)=G(t)·u0

(10)

式中，G(t)為紗線蠕變模量，GPa。由式(9)、(10)可得紗線蠕變量的Laplace變換式：

(11)

為了得到紗線蠕變模量的Laplace逆變換，我們把M-L函數(shù)引入式(11)中然后對(duì)其進(jìn)行Laplace正變換和逆變換，其中M-L函數(shù)[12]定義為：

(12)

式中：α、γ、k為M-L模型的參數(shù)；z為模型自變量。

式(12)的Laplace變換為

(13)

由式(11)、(13)可得，當(dāng)式(13)中k=0,γ=1,α=β1時(shí)，n=E1/η1，紗線蠕變模量為

于是由式(10)、(14)，得到紗線蠕變方程：

(15)

式中紗線彈性模量E1、模型黏滯系數(shù)η1、η2和分?jǐn)?shù)階階數(shù)β1、β2，由紗線蠕變實(shí)驗(yàn)結(jié)果經(jīng)過回歸分析后得到。

1.2 預(yù)加張力變化時(shí)紗線蠕變模型

式(15)為拉伸載荷恒定時(shí)紗線蠕變模型，其模型內(nèi)部參數(shù)隨著施加張力的變化而變化。在實(shí)際生產(chǎn)中紗線的張力呈動(dòng)態(tài)變化，因此，需考慮紗線張力的變化對(duì)紗線蠕變的影響。

根據(jù)紗線的應(yīng)力-應(yīng)變曲線的變化特征可知，紗線的蠕變量與施加張力的大小近似呈現(xiàn)出指數(shù)變化趨勢(shì)。同時(shí)，對(duì)紗線施加載荷和蠕變曲線進(jìn)行擬合，結(jié)果表明：紗線蠕變方程(15)中紗線的彈性模量E1，模型黏滯系數(shù)η1、η2，分?jǐn)?shù)階階數(shù)β2和紗線施加載荷u為近似指數(shù)變化關(guān)系，而分?jǐn)?shù)階階數(shù)β1不隨紗線施加載荷u的變化而變化，可將其看做常量。另外，紗線在施加載荷時(shí)，將施加載荷量后紗線伸長(zhǎng)量定義為初始伸長(zhǎng)τ0=τ(t)|t=0，它也與施加載荷的值也呈現(xiàn)指數(shù)變化關(guān)系。于是，可建立如下考慮載荷影響的紗線蠕變分?jǐn)?shù)階M‖N模型。

式中：各參數(shù)由紗線蠕變實(shí)驗(yàn)結(jié)果通過cftool工具箱進(jìn)行非線性擬合確定。

2 紗線蠕變實(shí)驗(yàn)

2.1 實(shí)驗(yàn)材料

紗線蠕變實(shí)驗(yàn)試樣分別選用線密度為14.5、19.4、27.0和32 tex 4種不同線密度的棉紗。

2.2 蠕變裝置及實(shí)驗(yàn)方法

實(shí)驗(yàn)采用XL-2型紗線強(qiáng)伸度儀測(cè)量紗線張力的變化，并通過數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)。本文采用2種實(shí)驗(yàn)方法，實(shí)驗(yàn)1為4種不同線密度的紗線在張力恒定狀態(tài)下的蠕變實(shí)驗(yàn)；實(shí)驗(yàn)2為張力不同時(shí)對(duì)線密度為19.4 tex紗線的蠕變實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)為溫度20 ℃、濕度為65%，實(shí)驗(yàn)紗線長(zhǎng)度為100 mm、采樣時(shí)間間隔為1 s，時(shí)間從t=0時(shí)開始計(jì)時(shí)，張力加載時(shí)間為30 min。

2.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果處理

通過紗線蠕變實(shí)驗(yàn)得到紗線加載全過程蠕變曲線，圖2示出不同線密度紗線以恒定張力100 cN測(cè)試的蠕變實(shí)驗(yàn)結(jié)果，圖3示出不同張力時(shí)19.4 tex紗線蠕變實(shí)驗(yàn)結(jié)果。紗線蠕變的微觀機(jī)制是由纖維間的滑移和纖維斷裂引起的紗線結(jié)構(gòu)調(diào)整。對(duì)于蠕變實(shí)驗(yàn)，后一載荷加載產(chǎn)生的蠕變量包括前一載荷加載產(chǎn)生的蠕變，因此，采取“坐標(biāo)平移法”對(duì)紗線蠕變結(jié)果進(jìn)行處理。

圖2 不同線密度紗線蠕變實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.2 Creep test result of yarn with different linear densities

圖3 不同拉力紗線蠕變實(shí)驗(yàn)Fig.3 Creep tests of cotton yarn with different tensile forces

由圖2、3可知，紗線蠕變時(shí)在初始時(shí)刻處于彈性變形階段，應(yīng)變較大呈指數(shù)變化關(guān)系，之后趨于平緩在100 s時(shí)基本平衡。并且紗線線密度越大，應(yīng)變也越大。

2.4 結(jié)果模型參數(shù)的確定

以實(shí)驗(yàn)1中紗線蠕變實(shí)驗(yàn)結(jié)果為例，來說明分?jǐn)?shù)階模型的建立過程與模型參數(shù)的確定。

首先，用紗線蠕變方程(15)對(duì)實(shí)驗(yàn)1不同線密度紗線蠕變曲線通過cftool工具箱進(jìn)行擬合，如圖4所示。然后，由擬合結(jié)果得到模型參數(shù)和相關(guān)系數(shù)，見表1，由此得到蠕變模型參數(shù)與施加張力大小的關(guān)系曲線，如圖5所示。再將其進(jìn)行回歸分析，得到紗線蠕變模型參數(shù)和施加載荷大小變化的數(shù)學(xué)模型。因此，實(shí)驗(yàn)1紗線蠕變模型為：

圖4 分?jǐn)?shù)階M‖N紗線蠕變模型對(duì)實(shí)驗(yàn)1的擬合曲線Fig.4 Fractional order M‖N fitting curve of yarn creep model to test 1

圖5 實(shí)驗(yàn)1的模型參數(shù)與施加載荷的關(guān)系Fig.5 Relationship between model parameters and applied loads in test 1

表1 分?jǐn)?shù)階M‖N紗線蠕變模型對(duì)實(shí)驗(yàn)1的擬合結(jié)果Tab.1 Fitting results of fractional order M‖N yarn creep model to test 1

按照上述求實(shí)驗(yàn)1不同線密度紗線蠕變模型方法和步驟，對(duì)實(shí)驗(yàn)2中不同載荷下對(duì)應(yīng)的紗線蠕變曲線進(jìn)行回歸分析，即得到實(shí)驗(yàn)2不同張力下的紗線蠕變模型：

(18)

模型參數(shù)和相關(guān)系數(shù)R2如表2所示。擬合結(jié)果如圖6所示。

圖6 分?jǐn)?shù)階M‖N紗線蠕變模型對(duì)實(shí)驗(yàn)2的擬合效果Fig.6 Fitting results of fractional order M‖N yarn creep model to test 2

表2 實(shí)驗(yàn)2的參數(shù)擬合結(jié)果Tab.2 Fitting results of test 2

3 模型對(duì)比分析

為了證明本文模型的合理性和可靠性，將本文模型與三元件模型、整數(shù)階M‖N模型和Burgers模型進(jìn)行對(duì)比。

3.1 模型擬合效果

以實(shí)驗(yàn)2不同載荷紗線蠕變結(jié)果為例，選用載荷為100 cN和120 cN對(duì)應(yīng)的紗線蠕變曲線進(jìn)行回歸建模，將140 cN和160 cN對(duì)應(yīng)的紗線蠕變曲線做預(yù)測(cè)對(duì)比分析。以本文1.3節(jié)的建模方法，獲取三元件模型、整數(shù)階M‖N模型和Burgers模型的紗線蠕變模型、擬合曲線、模型參數(shù)以及模型的相關(guān)系數(shù)，并進(jìn)行比較。這里只對(duì)各模型紗線蠕變曲線的擬合精度進(jìn)行對(duì)比分析，如圖7所示。

圖7 不同模型對(duì)實(shí)驗(yàn)2擬合效果曲線Fig.7 Fitting effect curves of different models to test 2

從圖7可以看出，整數(shù)階三元件模型對(duì)紗線蠕變擬合精度最差、Burgers模型次之、整數(shù)階M‖N模型較好、本文模型對(duì)紗線蠕變擬合精度最高。整數(shù)階M‖N模型的擬合精度較高，但在紗線蠕變拐點(diǎn)位置的誤差較大。為了更能說明本文模型對(duì)紗線非線性蠕變特性的精度，還以實(shí)驗(yàn)2中各載荷的擬合和實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果的均方差(SSE)和相關(guān)系數(shù)作為擬合精度評(píng)價(jià)指標(biāo)，如表3所示。

表3 實(shí)驗(yàn)2的模型擬合精度評(píng)價(jià)Tab.3 Model fitting accuracy evaluation for test 2

由表3可知，本文模型的均方差最小，相關(guān)系數(shù)R2最大，說明本文提出的分?jǐn)?shù)階M‖N模型對(duì)紗線蠕變模型的擬合效果優(yōu)于三元件模型、整數(shù)階M‖N模型和Burgers模型。分析表明，分?jǐn)?shù)階M‖N模型能夠很好的反應(yīng)紗線蠕變的全過程，并且模型擬合精度高、模型簡(jiǎn)單。

3.2 模型預(yù)測(cè)結(jié)果分析

對(duì)實(shí)驗(yàn)2中線密度為19.4 tex，張力為100、120、140、160 cN對(duì)應(yīng)的紗線蠕變曲線進(jìn)行回歸分析，分別得到本文模型、三元件模型、整數(shù)階M‖N模型和Burgers模型所對(duì)應(yīng)的紗線蠕變模型。接下來，對(duì)120 cN和160 cN對(duì)應(yīng)的紗線蠕變曲線進(jìn)行預(yù)測(cè)，如圖8所示。并且對(duì)紗線蠕變預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行誤差分析，如表4所示。

表4 模型擬合精度評(píng)價(jià)Tab.4 Model fitting accuracy evaluation

圖8 不同模型對(duì)實(shí)驗(yàn)2紗線蠕變的預(yù)測(cè)Fig.8 Prediction of yarn creep by model under different tension in Test 2

由圖8可知，本文提出的分?jǐn)?shù)階M‖N紗線蠕變模型預(yù)測(cè)效果最好，其次為整數(shù)階M‖N模型，最后為三元件模型和Burgers模型。此外，本文分?jǐn)?shù)階M‖N紗線蠕變模型預(yù)測(cè)結(jié)果的MSE最小，相關(guān)系數(shù)最大，進(jìn)一步說明了分?jǐn)?shù)階M‖N模型對(duì)紗線蠕變的預(yù)測(cè)效果優(yōu)于其他3種模型。綜上所述，本文建立的分?jǐn)?shù)階M‖N紗線蠕變模型，不僅對(duì)紗線蠕變結(jié)果的擬合精度較高，而且具備較高的紗線蠕變預(yù)測(cè)能力。

4 結(jié) 論

為了深入研究紗線蠕變特性，通過實(shí)驗(yàn)得到不同載荷和不同線密度的紗線蠕變?nèi)^程曲線?；诜?jǐn)?shù)階微積分原理，以軟體元件替換傳統(tǒng)牛頓黏體元件，建立一種新的紗線蠕變模型。構(gòu)建的分?jǐn)?shù)階紗線蠕變模型不僅結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，而且對(duì)紗線的蠕變行為能夠很好的擬合和預(yù)測(cè)。對(duì)比三元件模型、整數(shù)階M‖N模型和Burgers模型對(duì)紗線蠕變的擬合和預(yù)測(cè)，可以看出，本文建立的三元件分?jǐn)?shù)階M‖N紗線蠕變模型在表達(dá)紗線蠕變方面具有模型參數(shù)少、精度高的特點(diǎn)。研究結(jié)果為紗線蠕變行為分析提供了理論參考。