新月形內(nèi)齒輪泵空化流場(chǎng)仿真分析

毛文亮， 趙彥軍， 柴紅強(qiáng)

(1.甘肅機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院智能控制學(xué)院， 甘肅天水 741001； 2.蘭州理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院， 甘肅蘭州 730050)

引言

齒輪泵整體流動(dòng)特性的全面提升是智能液壓的應(yīng)有之意。作為流體傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力機(jī)械，新月形內(nèi)齒輪泵具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、抗污染性強(qiáng)、自吸能力好、加工制造容易、使用壽命長(zhǎng)、維修保養(yǎng)便捷、制造成本低、能量密度高、中心距小、嚙合齒廓之間的滑動(dòng)速度小、齒輪副傳輸可靠、重合度高、穩(wěn)定性好、噪聲低、結(jié)構(gòu)緊湊等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于工程機(jī)械、船舶、航空航天、機(jī)器人等領(lǐng)域[1-3]。

作為齒輪泵中唯一運(yùn)動(dòng)部件的齒輪副，其齒廓曲線決定泵的關(guān)鍵性能。魏偉鋒等[4]利用通用齒廓法線反轉(zhuǎn)法求解了共軛齒廓曲線；胡翰林等[5]在此基礎(chǔ)上對(duì)齒形參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，建立了優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。

和其他容積式泵一樣，新月形內(nèi)齒輪泵普遍存在出口流量波動(dòng)較大的有害特征。流量脈動(dòng)率近似公式最早由崔建昆等[6]提出，然而由于精度問(wèn)題限制了其應(yīng)用范圍。徐學(xué)忠等[7]、王仲偉等[8]根據(jù)齒輪副嚙合原理推導(dǎo)了幾何流量脈動(dòng)率近似方程并計(jì)算了給定參數(shù)下的脈動(dòng)率。楊國(guó)來(lái)等[9]在考慮油液屬性變化基礎(chǔ)上利用正交試驗(yàn)分析了流動(dòng)特性隨工作條件的變化規(guī)律。

為了提高齒輪副傳動(dòng)平穩(wěn)性及輪齒強(qiáng)度，其重合度必須大于1，這樣齒輪泵工作中不可避免地出現(xiàn)困油現(xiàn)象。王鄭力等[10]應(yīng)用切線極坐標(biāo)法得出了困油容積變化方程，然而該公式并沒(méi)有反映困油壓力。SEDRI等[11]在齒輪副上開(kāi)設(shè)一組新均壓槽以消除困油現(xiàn)象，可是該結(jié)構(gòu)并未考慮齒輪強(qiáng)度大小。

綜上所述，目前公開(kāi)出版的文獻(xiàn)中并未明確給出新月形內(nèi)齒輪泵空化流場(chǎng)的演進(jìn)規(guī)律。通過(guò)本課題的研究，準(zhǔn)確獲得了新月形內(nèi)齒輪泵三維內(nèi)流道模型流場(chǎng)特性及空化演進(jìn)規(guī)律，同時(shí)確定了轉(zhuǎn)子區(qū)最低壓力隨因子的變化規(guī)律及主要影響因子，從而為消除空化提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。

1 數(shù)學(xué)模型建立

1.1 空化模型建立

空化模型在本質(zhì)上屬于多相流模型，同時(shí)能夠反映壓力低于一定條件時(shí)油液空化強(qiáng)度及氣體分布形態(tài)的演進(jìn)規(guī)律等內(nèi)容。本研究采用全空化模型來(lái)模擬齒輪泵內(nèi)部空化狀態(tài)下的流場(chǎng)特征，根據(jù)該模型的特點(diǎn)同時(shí)結(jié)合油液實(shí)際流動(dòng)過(guò)程，需要求解蒸氣方程、游離氣體方程以及溶解氣體方程。由于微分方程的數(shù)值不連續(xù)很容易導(dǎo)致求解發(fā)散，因此采用積分方程來(lái)避免。

蒸氣積分方程[12-14]如下：

(1)

(2)

(3)

式中,Cc,Ce—— 空化冷凝及壓縮系數(shù)，Cc=0.01，Ce=0.02

ρ—— 含氣流體密度

fv,fg—— 蒸氣和空氣的質(zhì)量分?jǐn)?shù)

Ω—— 控制體

σ—— 控制體表面積

v—— 流體速度

vσ—— 表面運(yùn)動(dòng)速度

n——σ的表面法向

Df—— 蒸氣擴(kuò)散系數(shù)

μt—— 湍流黏度

σf—— 湍流Schmidt數(shù)

pv—— 飽和蒸氣壓

Re—— 空氣生成率

Rc—— 空氣耗散率

ρv—— 蒸氣密度

ρl—— 純流體密度

p—— 壓力

游離氣體積分方程為：

(4)

式中,Dg—— 游離氣體擴(kuò)散系數(shù)

gf—— 游離氣體質(zhì)量分?jǐn)?shù)

gdequil—— 溶解氣體平衡質(zhì)量分?jǐn)?shù)

τ—— 溶解氣體耗散時(shí)間

溶解氣體積分方程為：

(5)

(6)

式中,Dgd—— 溶解氣體擴(kuò)散系數(shù)

gd—— 溶解氣體質(zhì)量分?jǐn)?shù)

gdequilref—— 相對(duì)壓力下溶解氣體平衡質(zhì)量分?jǐn)?shù)

pgdequilref—— 溶解氣體質(zhì)量分?jǐn)?shù)的相對(duì)壓力

1.2 含氣油液動(dòng)態(tài)模型

影響油液動(dòng)態(tài)特性的基本屬性包括密度、動(dòng)力黏度以及等效體積彈性模量等。含氣油液密度方程為：

(7)

式中，αf,αl—— 游離氣體及純流體體積分?jǐn)?shù)

ρf—— 游離氣體密度

氣相成分的密度，可根據(jù)氣體狀態(tài)方程獲得：

(8)

(9)

式中，ρf0—— 在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓p0下的游離氣體密度

ρv0—— 在飽和蒸氣壓pv下的游離氣體密度

含氣油液絕對(duì)黏度方程為：

μ=αlμl+αfμf+(1-αl-αf)μv

(10)

式中，μl，μf及μv分別為純油液、游離氣體及油蒸氣的絕對(duì)黏度。

含氣油液等效體積彈性模量方程為：

(11)

式中，Vl,Vf,Vv—— 純流體、游離氣體及油蒸氣的初始容積

根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義對(duì)上式進(jìn)行變換可得：

(12)

式中，λ—— 多變指數(shù)

El—— 純油液有效體積彈性模量

2 新月形內(nèi)齒輪泵分布式參數(shù)模型建立

2.1 分布式參數(shù)模型建立

分布式參數(shù)模型是相對(duì)集中參數(shù)模型而言的，即該模型中至少有一個(gè)變量與空間位置有關(guān)聯(lián)，該模型求解過(guò)程已經(jīng)規(guī)范化，具體求解流程見(jiàn)圖1。在整個(gè)求解流程中初始條件的離散化、流量方程的創(chuàng)建等內(nèi)容在商業(yè)軟件中會(huì)自動(dòng)進(jìn)行。因此，本節(jié)只需進(jìn)行網(wǎng)格劃分、邊界條件確定以及控制參數(shù)設(shè)定。

1) 三維內(nèi)流道網(wǎng)格模型建立

齒輪泵實(shí)際工作過(guò)程中摩擦副依靠一定厚度的油膜分割開(kāi)來(lái)[15]，因此，為了無(wú)限接近真實(shí)運(yùn)行狀態(tài)，在考慮油膜厚度的情況下創(chuàng)建內(nèi)流道三維模型，其中徑向油膜厚度和軸向油膜厚度均為0.12 mm，嚙合齒面間的最小油膜厚度為0.03 mm。創(chuàng)建附有油膜的三維油道初始模型，見(jiàn)圖2。列出圖2中對(duì)應(yīng)齒輪副參數(shù)，見(jiàn)表1。

1.出口油道 2.進(jìn)口油道 3.軸向油膜 4.轉(zhuǎn)子油道5.徑向油膜 6.出口配油道 7.進(jìn)口配油道圖2 三維油道初始模型Fig.2 Three-dimensional oil channel initial model

表1 齒輪副參數(shù)Tab.1 Gear pair parameters

三維初始油道模型的網(wǎng)格化分過(guò)程必須兼顧網(wǎng)格數(shù)量和網(wǎng)格質(zhì)量(最低網(wǎng)格質(zhì)量為0.45)兩方面的內(nèi)容，根據(jù)內(nèi)油道結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，本研究對(duì)轉(zhuǎn)子區(qū)域利用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格進(jìn)行劃分，對(duì)靜態(tài)區(qū)域利用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格進(jìn)行劃分，同時(shí)在不同流域之間設(shè)置interface進(jìn)行數(shù)據(jù)傳遞，生成的三維油道初始網(wǎng)格模型見(jiàn)圖3。

圖3 三維油道初始網(wǎng)格模型Fig.3 Three-dimensional oil channel initial mesh model

2) 邊界條件確定

根據(jù)邊界條件的定義同時(shí)結(jié)合齒輪泵工作狀態(tài)，需要給定進(jìn)口端面壓力、出口端面壓力、含氣量以及油溫，具體參數(shù)詳見(jiàn)正交試驗(yàn)方案。

在三維油道初始模型中轉(zhuǎn)子區(qū)域的壁面為周期性旋轉(zhuǎn)的動(dòng)壁。因此，為了定義運(yùn)動(dòng)壁面的動(dòng)作規(guī)律，本文根據(jù)齒輪泵實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程生成了用戶自定義函數(shù)；對(duì)于靜止壁面，默認(rèn)運(yùn)動(dòng)速度始終為0。

3) 控制參數(shù)設(shè)定

(1) 兩相流模型 本研究在考慮含氣量與油溫變化的情況下模擬齒輪泵內(nèi)部的實(shí)際流動(dòng)過(guò)程。由于游離氣體與油液之間存在著強(qiáng)烈的耦合作用，為了準(zhǔn)確模擬這種情形，利用兩相流中的Mixture模型同時(shí)啟動(dòng)相間滑移方程；對(duì)于主相的選擇是以求解穩(wěn)定性為基準(zhǔn)，這樣需要選擇可壓縮的游移氣體為主相，同時(shí)設(shè)定相關(guān)氣泡直徑。

(2) 時(shí)間步數(shù) 在兼顧計(jì)算穩(wěn)定性及計(jì)算周期的前提下選擇固定時(shí)間步數(shù)，具體為最大迭代次數(shù)200，時(shí)間步長(zhǎng)0.00001 s，計(jì)算周期為2。進(jìn)一步獲取該類型齒輪泵工作參數(shù)，見(jiàn)表2。

表2 新月形內(nèi)齒輪泵工作參數(shù)Tab.2 Working parameters of crescent internal gear pump

(3) 湍流模型 根據(jù)齒輪泵內(nèi)部實(shí)際流動(dòng)狀態(tài)同時(shí)結(jié)合幾種常見(jiàn)渦黏模型控制方程組的應(yīng)用范圍[16]，確定RNG渦黏模型來(lái)模擬內(nèi)部湍流。

2.2 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

1) 因子-水平表

油液基本屬性的主要影響因素包括含氣量、工作壓力以及油液溫度，油液屬性的變化進(jìn)而導(dǎo)致齒輪泵內(nèi)部空化流場(chǎng)特征出現(xiàn)變動(dòng)。因此，本研究確定游離氣體含量A、工作壓力B及油液溫度C為試驗(yàn)因子。根據(jù)工程應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)可知，含氣量的水平取值為0.1%，0.5%，1.0%，工作壓力的水平取值為7.5， 10.0，12.5 MPa，油溫的水平取值為40，50，60 ℃。創(chuàng)建因子和對(duì)應(yīng)水平表，見(jiàn)表3。

表3 正交試驗(yàn)因子水平表Tab.3 Orthogonal test factor level table

2) 正交試驗(yàn)方案

根據(jù)表3內(nèi)容，同時(shí)結(jié)合等水平正交表的性質(zhì)，本研究設(shè)計(jì)了L9(33)的正交表，見(jiàn)表4。

表4 L9(33)正交試驗(yàn)方案Tab.5 L9(33) orthogonal test scheme

由表4可知，正交試驗(yàn)方案中包括9組試驗(yàn)，分別列出不同試驗(yàn)條件對(duì)應(yīng)的油液基本屬性，見(jiàn)表5。

表5 不同試驗(yàn)條件對(duì)應(yīng)的介質(zhì)屬性Tab.5 Medium properties corresponding to different test conditions

3 計(jì)算結(jié)果與分析

3.1 網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證

根據(jù)離散化方法可知，應(yīng)變量在節(jié)點(diǎn)之間分布假設(shè)影響控制方程的離散結(jié)果。因此，需要驗(yàn)證網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)量的多少對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。本研究計(jì)算了5組網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)對(duì)應(yīng)的出口端面平均流量，具體結(jié)果見(jiàn)表6。

表6 不同網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)對(duì)應(yīng)的出口平均流量Tab.6 Average export flow corresponding to different grid nodes

由表6可知，當(dāng)網(wǎng)格數(shù)增加至102.3658萬(wàn)，節(jié)點(diǎn)數(shù)增大至61.8763萬(wàn)之后，偏差率低于2%。因此，為節(jié)省計(jì)算時(shí)間，本研究選擇網(wǎng)格數(shù)為136.0254萬(wàn)，節(jié)點(diǎn)數(shù)為79.3529萬(wàn)的網(wǎng)格模型。

3.2 新月形內(nèi)齒輪泵流場(chǎng)特性及空化演變分析

1) 空化流場(chǎng)特性分析

齒輪泵工作過(guò)程中齒輪副處于連續(xù)旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，三維模型空化流場(chǎng)在運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)時(shí)刻發(fā)生變化。因此，必須根據(jù)實(shí)際情況選擇重點(diǎn)研究?jī)?nèi)容進(jìn)行分析。眾所周知，在每個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)，齒輪副嚙合次數(shù)等于主動(dòng)輪齒數(shù)。一對(duì)共軛齒廓從進(jìn)入嚙合開(kāi)始到退出嚙合結(jié)束，在此期間嚙合點(diǎn)位置一直發(fā)生變化。因此選取不同試驗(yàn)下退出嚙合(對(duì)應(yīng)時(shí)間為0.0088 s)及嚙合點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)重合位置(對(duì)應(yīng)時(shí)間為0.01005 s)兩個(gè)時(shí)刻的空化流場(chǎng)。

首先分別獲取不同試驗(yàn)對(duì)應(yīng)三維內(nèi)流道整體壓力場(chǎng)并標(biāo)記壁面壓力等值線，見(jiàn)圖4。

由圖4可知，三維油道模型外部壁面的壓力等值線分界明顯，壓力均勻過(guò)渡。摩擦副間油膜將吸油腔與排油腔完全隔離開(kāi)來(lái)，吸油腔壓力(相對(duì)值)全部為負(fù)值，而壓油腔壓力則全部為正值。由進(jìn)口開(kāi)始，壓力沿進(jìn)油通道逐漸遞減，在轉(zhuǎn)子區(qū)域降至最低；由出口開(kāi)始，壓力逆向出油通道逐漸遞增，在轉(zhuǎn)子區(qū)域升至最大。究其原因是齒輪副高速旋轉(zhuǎn)后產(chǎn)生吸空現(xiàn)象，進(jìn)口油液在壓差作用下輸送至轉(zhuǎn)子區(qū)吸油側(cè)，之后通過(guò)齒間傳輸至轉(zhuǎn)子區(qū)壓油側(cè)，最后在壓差作用下將壓油側(cè)油液驅(qū)至出口。

接著獲取轉(zhuǎn)子區(qū)域Z軸方向3個(gè)等距橫截面對(duì)應(yīng)的壓力場(chǎng)，見(jiàn)圖5。

由圖5可知， 由于新月形內(nèi)齒輪泵特殊的齒廓曲線(外齒輪齒廓為直線，內(nèi)齒圈齒廓為共軛高階圓弧曲線)，不同試驗(yàn)及不同時(shí)刻對(duì)應(yīng)橫截面上無(wú)明顯的困油區(qū)域，嚙合齒面間壓力變化均勻，嚙合區(qū)內(nèi)不存在整個(gè)流道中的最大及最小壓力。

圖4 不同試驗(yàn)條件下整體壓力場(chǎng)對(duì)比Fig.4 Comparison of overall pressure field under different test conditions

由于工作條件的變化，盡管不同試驗(yàn)中內(nèi)、外齒輪的轉(zhuǎn)速相同，然而轉(zhuǎn)子區(qū)的吸油壓力完全不同。進(jìn)一步獲取不同試驗(yàn)對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)子區(qū)最小壓力正交試驗(yàn)分析表，見(jiàn)表8。

根據(jù)正交試驗(yàn)性質(zhì)，表8中影響吸油區(qū)中最低壓力的因子主次關(guān)系為C>A>B，表明油溫是最主要影響因素，其次為游離氣體含量，工作壓力對(duì)轉(zhuǎn)子區(qū)最小壓力的影響可忽略。隨著油溫地增加，最小壓力顯著升高。究其原因是油溫越高，油液黏度越低，不均勻內(nèi)泄漏越多， 對(duì)應(yīng)最小壓力越高。含氣量對(duì)最小壓力的影響沒(méi)有表現(xiàn)出明顯的正相關(guān)或者負(fù)相關(guān)。

圖5 不同試驗(yàn)條件下Z軸橫截面壓力場(chǎng)對(duì)比Fig.5 Comparison of Z-axis cross-section pressure field under different test conditions

2) 流體空化強(qiáng)度及形態(tài)演變分析

齒輪泵運(yùn)行時(shí)含氣油液中的液相和氣相相互作用致使內(nèi)部空化形態(tài)一直處于動(dòng)態(tài)演變過(guò)程。根據(jù)前文分析結(jié)果，獲取不同時(shí)間對(duì)應(yīng)齒輪泵中壓力最低轉(zhuǎn)子區(qū)域的氣穴分布，見(jiàn)圖6。需要說(shuō)明的是，不同試驗(yàn)的含氣油液對(duì)應(yīng)空化演變規(guī)律相似，因此本研究以試驗(yàn)2為例進(jìn)行分析。

由圖6可知，隨著時(shí)間的推移，含氣油液中的氣相演變過(guò)程為：由最初的均勻分布逐漸演變?yōu)榉稚⒓蟹植?，再到均衡分布的過(guò)程。這種演進(jìn)規(guī)律在嚙合區(qū)域尤為明顯，具體表現(xiàn)為嚙合區(qū)域中氣相由內(nèi)齒圈齒根逐漸向外齒輪齒頂遷移；同時(shí)與其相鄰面上的氣相由外齒輪齒根逐漸向內(nèi)齒圈齒頂遷移。

表8 轉(zhuǎn)子區(qū)最小壓力正交試驗(yàn)分析表Tab.8 Orthogonal test analysis table of minimum pressure in rotor area

外齒輪齒頂區(qū)的空化面積逐漸向主動(dòng)作用齒面擴(kuò)大，空化強(qiáng)度逐漸增加，一直到(t0+0.6) ms時(shí)空化面積增至最大，空化強(qiáng)度升至最高，此后逐漸衰減，直至(t0+1.2) ms時(shí)，氣相聚合現(xiàn)象結(jié)束。同一時(shí)間，內(nèi)齒圈齒根區(qū)域的氣相消散面積逐漸向從動(dòng)作用齒面擴(kuò)大，到(t0+0.6) ms時(shí)達(dá)到最大，此時(shí)空化強(qiáng)度降至最小，之后開(kāi)始縮減，直到(t0+1.2) ms時(shí)，氣相消散現(xiàn)象結(jié)束。

在此期間，相鄰于從動(dòng)作用齒面上的空化面積由內(nèi)齒圈齒頂開(kāi)始逐漸擴(kuò)大，到(t0+1.0) ms時(shí)空化面積及空化強(qiáng)度達(dá)到最大，此后逐漸衰減，直到(t0+1.2) ms時(shí)空化聚集現(xiàn)象結(jié)束。與此同時(shí)，相鄰于主動(dòng)作用齒面上的氣相消散面積由外齒輪齒根開(kāi)始逐漸擴(kuò)大，直至(t0+1.0) ms時(shí)氣相消散面積達(dá)到最大，空化強(qiáng)度降至最小，之后開(kāi)始縮減，直至(t0+1.2) ms時(shí)氣相消散現(xiàn)象結(jié)束。

結(jié)合圖5可知，嚙合區(qū)域的氣相演化過(guò)程與橫截面上壓力場(chǎng)的演進(jìn)規(guī)律完全吻合，進(jìn)一步驗(yàn)證了流體區(qū)域的壓力變化是含氣油液中氣相發(fā)生運(yùn)移的根本原因。

4 結(jié)論

(1) 轉(zhuǎn)子區(qū)吸油側(cè)是整個(gè)齒輪泵內(nèi)壓力最低的區(qū)域， 對(duì)應(yīng)排油側(cè)則是壓力最高的區(qū)域。由于工作過(guò)程中無(wú)明顯的困油區(qū)域，從而造就了該類型齒輪泵在行業(yè)中榮獲“靜音泵”的美譽(yù)；

圖6 試驗(yàn)2對(duì)應(yīng)流體空化形態(tài)演變過(guò)程Fig.6 Evolution process of fluid cavitation morphology corresponding to test 2

(2) 進(jìn)出口區(qū)以及對(duì)應(yīng)配油區(qū)的壓力等值線非閉合，而轉(zhuǎn)子區(qū)中部分位置的壓力等值線處于閉環(huán)狀態(tài)，轉(zhuǎn)子區(qū)的流動(dòng)狀態(tài)是整個(gè)內(nèi)流道中最復(fù)雜的；

(3) 轉(zhuǎn)速確定時(shí)， 油溫是影響轉(zhuǎn)子區(qū)最低壓力的主要因子。隨著油溫增加，由于油液黏度越低，不均勻內(nèi)泄漏越多，最低壓力顯著增大。含氣量對(duì)最低壓力的影響沒(méi)有表現(xiàn)出明顯的正相關(guān)或者負(fù)相關(guān)；

(4) 嚙合區(qū)域中的空化演進(jìn)規(guī)律最為明顯，氣相整體呈現(xiàn)出先均勻分布，再演變?yōu)榉稚⒓蟹植?，最后又演化為均衡分布的過(guò)程。嚙合齒面間的氣相由從動(dòng)作用齒面向主動(dòng)作用齒面遷移；而與其相鄰齒面上的氣相由主動(dòng)齒面向從動(dòng)齒面遷移。壓力演變是氣相發(fā)生運(yùn)移的根本原因。