動(dòng)態(tài)可靠度小樣本評(píng)估方法

傅惠民， 付越帥， 吳 瓊

（1.北京航空航天大學(xué) 小樣本技術(shù)研究中心， 北京 100191； 2.北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部， 北京 100094）

0 引言

工程上， 通常要求對(duì)產(chǎn)品設(shè)計(jì)壽命下的可靠度進(jìn)行評(píng)估，有的還要求對(duì)產(chǎn)品服役過(guò)程中可靠度的變化情況，即對(duì)其動(dòng)態(tài)可靠度進(jìn)行實(shí)時(shí)評(píng)估， 結(jié)合可靠度的指標(biāo)要求，實(shí)現(xiàn)單機(jī)健康狀態(tài)監(jiān)控。 但是，由于傳統(tǒng)方法通常采用干涉模型計(jì)算產(chǎn)品的動(dòng)態(tài)可靠度， 這需要確定產(chǎn)品相應(yīng)時(shí)刻的損傷量分布和抗損傷強(qiáng)度分布， 不但導(dǎo)致難度大誤差大，而且還無(wú)法實(shí)現(xiàn)單機(jī)健康狀態(tài)在線實(shí)時(shí)監(jiān)控。所以有待更為精確的分析方法的提出[1-4]。 文獻(xiàn)[5]用可靠壽命（較弱產(chǎn)品的壽命）定義了可靠損傷（較弱產(chǎn)品的損傷），并證明了可靠損傷的臨界值為1，很好地解決了壽命估算領(lǐng)域存在的長(zhǎng)期懸而未決的損傷臨界值到底是1 還是小于1 的數(shù)，或是一個(gè)隨機(jī)變量的難題。 此外，文獻(xiàn)[5]還證明了若各應(yīng)力水平下可靠壽命的置信水平為γ，則各應(yīng)力水平下的損傷經(jīng)線性累加后， 其累積損傷的置信水平仍然為γ， 從而為高置信度的可靠壽命和可靠度評(píng)估奠定了理論基礎(chǔ)。 因此，基于文獻(xiàn)[5]，本文進(jìn)一步提出了一種產(chǎn)品動(dòng)態(tài)可靠度小樣本評(píng)估方法， 建立了程序塊譜下高置信度的可靠壽命計(jì)算公式，提出了程序塊譜、一般載荷和復(fù)雜情況下高置信度的可靠度計(jì)算公式， 不但能夠?qū)Ξa(chǎn)品設(shè)計(jì)壽命下的可靠度進(jìn)行評(píng)估， 而且還能夠?qū)Ξa(chǎn)品的動(dòng)態(tài)可靠度進(jìn)行實(shí)時(shí)評(píng)估， 克服了傳統(tǒng)干涉模型方法的缺點(diǎn)。 高置信度的可靠壽命和可靠度評(píng)估的關(guān)鍵是如何通過(guò)小樣本方法得到產(chǎn)品、 模擬件或材料的置信水平為γ、可靠度為R 的性能曲線，文獻(xiàn)[6-8]給出了各個(gè)應(yīng)力水平下方差不相等情況的小樣本測(cè)試方法。 本文進(jìn)一步建立了方差相等和方差已知情況下高置信度高可靠度性能曲線的小樣本測(cè)試方法， 從而實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品高置信度的可靠壽命和可靠度小樣本評(píng)估。

1 動(dòng)態(tài)可靠度評(píng)估方法

動(dòng)態(tài)可靠度是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)的一項(xiàng)重要指標(biāo)，因此，在文獻(xiàn)[5]給出的可靠損傷及其臨界值的基礎(chǔ)上，下面進(jìn)一步給出高置信度下的可靠壽命和可靠度計(jì)算公式。

1.1 程序塊譜下的可靠壽命評(píng)估方法

設(shè)產(chǎn)品受到由應(yīng)力水平Si（溫度、濕度、載荷、電應(yīng)力等），加載時(shí)長(zhǎng)為ni（循環(huán)數(shù)或單位時(shí)間等），i=1，2，…，q，組成的程序塊譜的作用，則根據(jù)文獻(xiàn)[5]可知，在該程序塊譜作用下產(chǎn)品置信水平為γ、 可靠度為R 的可靠壽命NR單側(cè)置信下限NRL（以塊譜數(shù)為單位）由下式給出

式中：NRL，i為產(chǎn)品在應(yīng)力水平Si下置信水平為γ、可靠度為R 的可靠壽命單側(cè)置信下限， 可由該產(chǎn)品相應(yīng)的置信水平為γ、 可靠度為R 的性能曲線獲得， 例如P-S-N 曲線、P-ε-N 曲線或蠕變性能曲線等，也可以由其材料性能曲線修正得到。 NRL的置信水平γ 可采用文獻(xiàn)[9]方法證明。

1.2 程序塊譜下的可靠度評(píng)估方法

設(shè)截至某一時(shí)刻t，產(chǎn)品在應(yīng)力水平為Si、加載時(shí)長(zhǎng)為ni，i=1，2，…，q，的程序塊譜下，工作了Nt次循環(huán)，則可通過(guò)求解下式[10]

得到滿足式（2）的可靠度，根據(jù)置信限曲線等同性原理可知， 此可靠度即為產(chǎn)品在t 時(shí)刻 （經(jīng)過(guò)Nt個(gè)程序塊譜循環(huán)）置信水平為γ 的可靠度R（t）單側(cè)置信下限RL（t）。

1.3 一般載荷下的可靠度評(píng)估方法

設(shè)截至某一時(shí)刻t，產(chǎn)品在應(yīng)力水平Si下的工作時(shí)長(zhǎng)為ni，i=1，2，…，m，則可通過(guò)求解下式[10]

得到滿足式（3）的可靠度，根據(jù)置信限曲線等同性原理可知， 此可靠度即為產(chǎn)品在該使用載荷條件和工作時(shí)長(zhǎng)下置信水平為γ 的可靠度R（t）單側(cè)置信下限RL（t）。

1.4 復(fù)雜情況下的可靠度評(píng)估方法

設(shè)截至某一時(shí)刻t，通過(guò)文獻(xiàn)[5，11-13]等方法求得產(chǎn)品置信水平為γ、可靠度為R 的可靠壽命消耗百分比單側(cè)置信上限為L(zhǎng)CUt，則通過(guò)求解下式

得到滿足式（4）的可靠度，它即為產(chǎn)品在時(shí)刻t 的置信水平為γ 的可靠度R（t）單側(cè)置信下限RL（t）。式（4）既可用于單應(yīng)力情況，也可用于多應(yīng)力情況；既可用于程序塊譜，也可用于隨機(jī)載荷；既可用于單失效模式，也可用于多失效模式（如疲勞、 蠕變、 松弛、腐蝕、老化等）；既可以用于無(wú)整機(jī)壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)情況， 也用于有整機(jī)壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)情況等的動(dòng)態(tài)可靠度評(píng)估。

2 高置信度高可靠度性能曲線小樣本測(cè)試方法

工程實(shí)際中許多性能曲線均可線性化，例如常見的阿倫尼斯模型、逆冪律模型和指數(shù)模型等。 下面將以P-S-N曲線為例，給出小樣本測(cè)試方法，其他情況可以類推。 眾所周知， 金屬材料中壽命區(qū)的S-N 曲線通常可用冪函數(shù)（逆冪律模型）描述，即

式中：a=lgC，b=-β。

2.1 中值性能曲線

大量試驗(yàn)證實(shí)， 金屬材料在中壽命區(qū)對(duì)數(shù)疲勞壽命遵循正態(tài)分布。 因此，通常可設(shè)

2.2 方差相等時(shí)高置信度高可靠度性能曲線

根據(jù)式（14）、式（17）和文獻(xiàn)[14]的百分回歸分析可知，該產(chǎn)品對(duì)數(shù)壽命y=lgN 的置信水平為γ、可靠度為R的可靠壽命yR的單側(cè)置信下限由下式給出

式中：uR和uγ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)偏量，即uR=Φ-1（R），uγ=Φ-1（γ），Φ（·）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)；c 是與R，γ 和ν，n 有關(guān)的參數(shù)，可由式（24）求得，進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)，c 受ν 和n 影響較小，因而使問(wèn)題進(jìn)一步簡(jiǎn)化，可由文獻(xiàn)[15]查得，特別是當(dāng)ν≥5 時(shí)，可取c=0.64。

根據(jù)式（23）可求得產(chǎn)品疲勞壽命的置信水平為γ、可靠度為R 的可靠壽命NR單側(cè)置信下限為

2.3 方差已知時(shí)高置信度高可靠度性能曲線

當(dāng)方差已知時(shí)，即有σ2=σ02，則根據(jù)式（14）和式（17）可知，該產(chǎn)品對(duì)數(shù)壽命y=lgN 的置信水平為γ、可靠度為

R 的可靠壽命yR的單側(cè)置信下限由下式給出

從推導(dǎo)過(guò)程可知， 上面以P-S-N 曲線給出的小樣本方法， 對(duì)工程實(shí)際中其他可線性化的性能曲線也同樣適用。 而且對(duì)于多應(yīng)力情況的高置信度高可靠度性能曲線，同樣可根據(jù)文獻(xiàn)[14]方法進(jìn)行小樣本測(cè)試。

3 算例

3.1 產(chǎn)品動(dòng)態(tài)可靠度評(píng)估算例

設(shè)某產(chǎn)品在服役過(guò)程中主要受疲勞載荷作用， 現(xiàn)給出其服役期間的在線實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)可靠度評(píng)估。

（1）產(chǎn)品性能曲線小樣本測(cè)試

設(shè)在5 個(gè)應(yīng)力水平下各投入了2 個(gè)產(chǎn)品試件開展疲勞壽命試驗(yàn)（對(duì)稱循環(huán)），試驗(yàn)結(jié)果列于表1。

表1 產(chǎn)品疲勞壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)（循環(huán)數(shù)）

采用本文第2 節(jié)方法對(duì)表1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到該產(chǎn)品置信水平為γ、可靠度為R 的疲勞性能曲線為

（2）產(chǎn)品動(dòng)態(tài)可靠度在線實(shí)時(shí)評(píng)估

設(shè)該產(chǎn)品投入外場(chǎng)使用， 且分別截至5 年、10 年和15 年時(shí)，該產(chǎn)品受到的疲勞載荷情況見表2。

表2 產(chǎn)品受到的疲勞載荷情況（對(duì)稱循環(huán)）

下面以10 年為例，給出該產(chǎn)品的動(dòng)態(tài)可靠度評(píng)估步驟：首先，根據(jù)式（30）求得各應(yīng)力水平下置信水平γ=0.9、可靠度為R 的可靠壽命單側(cè)置信下限NRL，i。 然后將它們代入式（3），并通過(guò)對(duì)R 的迭代計(jì)算，求得該產(chǎn)品在10 年時(shí)置信水平γ=0.9 的動(dòng)態(tài)可靠度單側(cè)置信下限為

同理，可計(jì)算得到該產(chǎn)品在5 年時(shí)置信水平γ=0.9 的動(dòng)態(tài)可靠度單側(cè)置信下限為

該產(chǎn)品在15 年時(shí)置信水平γ=0.9 的動(dòng)態(tài)可靠度單側(cè)置信下限為

3.2 螺旋壓縮彈簧設(shè)計(jì)壽命下的可靠度評(píng)估算例

某航天器螺旋壓縮彈簧主要受應(yīng)力松弛作用， 其設(shè)計(jì)壽命為10 年， 下面給出該彈簧在10 年設(shè)計(jì)壽命下置信水平γ=0.9 的可靠度評(píng)估。

（1）彈簧性能曲線小樣本測(cè)試

設(shè)在4 個(gè)溫度水平下各投入了1 個(gè)彈簧試件開展應(yīng)力松弛加速壽命試驗(yàn)， 取載荷損失率5%為失效閾值，求得各試件壽命列于表3。

表3 彈簧應(yīng)力松弛壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)

設(shè)彈簧壽命與絕對(duì)溫度之間服從阿倫尼斯模型，即彈簧對(duì)數(shù)壽命lgN 與絕對(duì)溫度倒數(shù)1/T 之間滿足

式中：kR，γ（2）為二維單側(cè)容限系數(shù)，其中

（2）彈簧設(shè)計(jì)壽命下的可靠度評(píng)估

設(shè)該彈簧每年預(yù)計(jì)的服役溫度和服役時(shí)長(zhǎng)列于表4，現(xiàn)對(duì)該彈簧Nt=10 年設(shè)計(jì)壽命下的可靠度進(jìn)行評(píng)估。

表4 彈簧預(yù)計(jì)每年服役溫度和時(shí)長(zhǎng)情況

首先， 根據(jù)式（37） 求得各應(yīng)力水平下置信水平γ=0.9、可靠度R 的可靠壽命單側(cè)置信下限NRL，i。然后將它們代入式（2），并通過(guò)對(duì)R 的迭代計(jì)算，求得該彈簧在Nt=10年設(shè)計(jì)壽命下置信水平γ=0.9 的可靠度單側(cè)置信下限為

RL（t）＝0.999997 （39）

4 結(jié)論

提出一種產(chǎn)品動(dòng)態(tài)可靠度小樣本評(píng)估方法， 建立了程序塊譜、 一般載荷和復(fù)雜情況下高置信度的可靠度計(jì)算公式，既能夠?qū)Ξa(chǎn)品設(shè)計(jì)壽命下的可靠度進(jìn)行評(píng)估，也能夠根據(jù)單個(gè)產(chǎn)品在使用過(guò)程中完成的不同任務(wù)、 對(duì)應(yīng)的不同載荷，實(shí)時(shí)評(píng)估其動(dòng)態(tài)可靠度，結(jié)合可靠度的指標(biāo)要求，實(shí)現(xiàn)在線單機(jī)健康狀態(tài)監(jiān)控。

給出了程序塊譜下高置信度的可靠壽命計(jì)算公式，能夠?qū)o(wú)法直接進(jìn)行壽命試驗(yàn)或試驗(yàn)困難的設(shè)備等進(jìn)行高置信度高可靠度的小樣本壽命評(píng)估。

建立了各個(gè)應(yīng)力水平下方差相等和方差已知情況下高置信度高可靠度性能曲線的小樣本測(cè)試方法， 結(jié)合文獻(xiàn)[6-8]給出的方差不相等情況的小樣本測(cè)試方法，可以對(duì)工程上多數(shù)情況的高置信度高可靠度性能曲線進(jìn)行小樣本測(cè)試。

傳統(tǒng)干涉模型計(jì)算動(dòng)態(tài)可靠度的方法， 需要確定損傷量分布和抗損傷強(qiáng)度分布，不但難度大誤差大，而且無(wú)法實(shí)現(xiàn)真正意義上的單機(jī)健康狀態(tài)在線實(shí)時(shí)監(jiān)控， 本文方法克服了傳統(tǒng)方法的缺點(diǎn)。