倒向重隨機(jī)系統(tǒng)的非零和微分對(duì)策問(wèn)題

許 潔，藺瑞強(qiáng)

微分對(duì)策問(wèn)題的研究始于20世紀(jì)40年代，最初起源于軍事需求，美國(guó)數(shù)學(xué)家Issacs 博士及其團(tuán)隊(duì)把現(xiàn)代控制理論中的一些概念、原理與方法引入對(duì)策論中，Issacs 整理出版的《微分對(duì)策》一書，是世界上第一部微分對(duì)策專著，標(biāo)志著微分對(duì)策理論的誕生.隨著人們對(duì)微分對(duì)策問(wèn)題研究的深入，其應(yīng)用不再局限于軍事問(wèn)題，更被廣泛應(yīng)用在航空、工業(yè)控制、經(jīng)濟(jì)管理等方面.眾所周知，生活中幾乎到處都充滿了不確定因素，因此選擇刻畫系統(tǒng)的狀態(tài)方程時(shí)選擇隨機(jī)方程更符合客觀實(shí)際.隨機(jī)微分方程的發(fā)展更進(jìn)一步推動(dòng)了隨機(jī)微分對(duì)策問(wèn)題的研究.楊依蕓等［1］討論了在部分信息下帶跳線性二次平均場(chǎng)類型的二人零和微分對(duì)策問(wèn)題，得到其相應(yīng)最優(yōu)控制的反饋表示.張保凱［2］研究了一類帶泊松跳的零和線性二次隨機(jī)微分對(duì)策問(wèn)題，且其擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)不為零，得到了在這種動(dòng)態(tài)的博弈中取得一個(gè)均衡點(diǎn)，即最優(yōu)反饋控制策略對(duì).史敬濤［3］研究了帶Poisson 跳躍的零和正倒向隨機(jī)微分對(duì)策的最大值原理與動(dòng)態(tài)規(guī)劃之間的關(guān)系；在一定的可微性假設(shè)下，建立了對(duì)偶過(guò)程、廣義Hamilton 函數(shù)和值函數(shù)之間的聯(lián)系.王光臣［4］結(jié)合正倒向隨機(jī)微分方程理論和濾波技術(shù)，討論了一類部分可觀測(cè)信息下線性二次非零和隨機(jī)微分對(duì)策問(wèn)題.吳霜［5］研究倒向隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的微分對(duì)策問(wèn)題，并得到了納什均衡點(diǎn)滿足的必要條件和充分條件，并將其應(yīng)用到一類最優(yōu)消費(fèi)選擇問(wèn)題中.肖華［6］通過(guò)研究完全信息和部分信息下的正倒向隨機(jī)微分方程的隨機(jī)濾波、最優(yōu)控制和微分對(duì)策，得到了非零和對(duì)策均衡點(diǎn)與零和對(duì)策鞍點(diǎn)的最大值原理和驗(yàn)證定理.吳臻等［7］對(duì)一類以布朗運(yùn)動(dòng)和泊松過(guò)程為噪聲源的正倒向隨機(jī)微分方程，在單調(diào)性假設(shè)下，給出了解的存在性和唯一性的結(jié)果，并將所得結(jié)果應(yīng)用于帶隨機(jī)跳躍的線性二次非零和微分對(duì)策問(wèn)題之中，得到了開環(huán)Nash 均衡點(diǎn)的顯式形式.唐矛寧等［8］研究了由Brown 運(yùn)動(dòng)和Poisson 隨機(jī)鞅測(cè)度共同驅(qū)動(dòng)的完全耦合的正倒向隨機(jī)系統(tǒng)的開環(huán)雙人非零和隨機(jī)微分對(duì)策問(wèn)題，證明了開環(huán)Nash 均衡點(diǎn)存在的一個(gè)必要條件及一個(gè)充分條件.左姍姍［9］研究了平均場(chǎng)正倒向隨機(jī)系統(tǒng)的微分對(duì)策問(wèn)題，討論了零和以及非零和微分對(duì)策的最大值原理.

目前，對(duì)非零和差分對(duì)策的研究越來(lái)越廣泛，在此類問(wèn)題研究的基礎(chǔ)上，該文探索倒向重隨機(jī)系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)的非零和微分對(duì)策問(wèn)題，利用凸變分技術(shù)和對(duì)偶方法給出納什均衡點(diǎn)存在的必要條件.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 符號(hào)說(shuō)明

首先給出本文中的一些符號(hào).Rn表示n維歐氏空間，Rn×d表示n×d矩陣空間，<·>表示內(nèi)積，|·|表示Eudidean 范數(shù)，AT表示轉(zhuǎn)置矩陣.文中所給符號(hào)和不等式都是在dt× dP意義下在[0,T] × Ω 中幾乎必然成立.

設(shè)(Ω,?,P)是一個(gè)概率空間，[0,T]是任意大的時(shí)間區(qū)間，{B(t):0≤t≤T}是兩個(gè)取值在Rd、Rl的獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).設(shè)表示? 中所有的P-零集，對(duì)于任意的t∈[0,T],則有?t=?tω∨?Bt,T.其中：?tω=∨σ{W(r)-W(0):0≤r≤t}，?Bt,T=∨σ{B(r)-B(t)：t≤r≤T}.對(duì)任意的t∈[0,T]，顯然集合{?t} 既不遞增也不遞減，故不構(gòu)成信息流.

假設(shè)M2(0,T;Rn)={φ(t)|φ(t)為n維?t-可測(cè)量隨機(jī)過(guò)程且

設(shè)?(t) ∈M2(0,T;Rn)定義正向伊藤積分和倒向伊藤積分，這兩類積分都是It?-Skorohod積分.L2(Ω,?T,P; Rn)={ξ:ξ是n維?t-可測(cè)的隨機(jī)變量并滿足E|ξ|2<∞}.

1.2 問(wèn)題描述

首先考慮受控的倒向重隨機(jī)系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為：

其中：v1(·)和v2(·)分別表示博弈雙方的控制過(guò)程，設(shè)為控制者1 和控制者2.設(shè)Ui為Rk的一個(gè)非空凸子集.Ui(i=1,2)為滿足以下條件的控制過(guò)程集合：

①Ui是?t-適應(yīng)的并且vi(t) ∈Ui，t∈[0,T].

Ui中任意元素都被稱為控制者的開環(huán)容許控制，并被稱為他們的容許控制集.除了在結(jié)束時(shí)間T獲得期望的結(jié)果ξ外，控制者還同時(shí)關(guān)心自己的利益.可以使用以下價(jià)值泛函來(lái)表示，即

給出下列假設(shè)：

（A1）存在常數(shù)c> 0 和0 <σ< 1 對(duì)于任意的 (ω,t)∈Ω×[0,T]，(y1,z1,u1)，(y2,z2,u2)∈Rn×Rn×d× Rk，則有

（A2）f和g關(guān)于(y,z,v1,v2)是連續(xù)可微的，且f和g關(guān)于(y,z,v1,v2)的偏導(dǎo)數(shù)是一致有界的.

（A3）Li對(duì)于(y,z,v1,v2)是連續(xù)可微的，Φi對(duì)于y是連續(xù)可微的，且存在正常數(shù)C使得偏導(dǎo)數(shù)Liy，Liz，Liv1，Liv2有界.

1.3 主要引理

引理1［10］假設(shè)（A1）～（A2）成立，對(duì)于給定u(·) ∈U(0,T)，存在唯一解滿足等式（1），其中(y(·),z(·))=(y(·,u(·)),z(·,u(·)))∈S2(0,T,Rn) ×M2(0,T,Rn×d).

引理2 假設(shè)α∈S2(0,T;Rn)，β∈M2(0,T;Rn)，γ∈M2(0,T; Rn× Rm)，δ∈M2(0,T; Rn× Rd)，則有

一般來(lái)說(shuō)ψ∈C2(Rn)，那么

引理3［11］假設(shè)（A1）～（A2）成立，設(shè)，則有：

引理4［11］假設(shè)（A2）成立，設(shè)

則有：

2 主要結(jié)果

假設(shè)控制雙方都想選擇最優(yōu)的容許控制vi(·)(i=1,2)來(lái)優(yōu)化自己的價(jià)值泛函，即尋找容許控制(v1(·),v2(·)) ∈U1×U2使其滿足：

如果可以得到滿足式（6）的容許控制(u1(·),u2(·))，則它被稱為一個(gè)納什均衡點(diǎn).

此時(shí)系統(tǒng)相應(yīng)的變分方程可以寫成：

定理1 假設(shè)（A2）和（A3）成立，則有：

其中：Liβ(t)=Liβ(t,yu1,u2(t),zu1,u2(t),u1(t),u2(t))，β=y,z,v1,v2,(i=1,2).

證明 對(duì)于任意的v1(·) ∈U1,v2(·) ∈U2，由式（2）和式（6）可得

即

繼而可得：

由不等式（11）的第一項(xiàng)推導(dǎo)可得：

根據(jù)引理4，可推得：

類似地，由不等式（11）的第二項(xiàng)可推得：

同理，可從不等式（9）中推出i=2 的情況，結(jié)合i=1 和i=2，定理證畢.

定義哈密頓函數(shù)如下：

對(duì)應(yīng)系統(tǒng)，定義它的伴隨方程，系統(tǒng)的伴隨方程形式如下：

其中：Liβ(t)=Liβ(t,yu1,u2(t),zu1,u2(t),u1(t),u2(t)),β=y,z.

哈密頓形式的伴隨方程如下：

其中：Hi(t)=H(t,yu1,u2(t),zu1,u2(t),u1(t),u2(t)，pi(t)，qi(t))，Hiy(t)、Hiz(t)表示對(duì)y和z的偏導(dǎo)數(shù).

定理2 假設(shè)（A2）和（A3）成立，對(duì)于任意的(v1,v2) ∈U1×U2，假設(shè)(u1(·),u2(·))是一個(gè)納什均衡點(diǎn)，且(yu1,u2(·),zu1,u2(·))是對(duì)應(yīng)的最優(yōu)軌跡，則有：

及

其中：(pi(·),qi(·))是伴隨方程（18）的唯一解.

證明 對(duì)xi(t),pi(t)應(yīng)用伊藤公式，可得：

取期望并計(jì)算，可得：

由定理1，可以得到：

對(duì)于任意滿足v1(·) +u1(·) ∈U1的v1(·)不等式（26）成立.如果假設(shè)v1(s) +u1(s)=?(s)，s∈[t,t+ε]，且v1(s) +u1(s)=u1(s),s?[t,t+ε]，那么可從不等式（26）推出：

假設(shè)ω(t)=v1IA+u1(t)IcA，?v1∈U1，A∈?t，其中IA是集合上A的示性函數(shù)且ω(·)是一個(gè)容許控制，通過(guò)將ω(·)代入不等式（27），可以推得：

對(duì)任意的A∈?t，不等式（28）都成立，則有：

類似地，可推得：

3 結(jié)語(yǔ)

自1994年P(guān)ardoux 和彭實(shí)戈教授給出倒向重隨機(jī)微分方程以來(lái)，討論由倒向重隨機(jī)微分方程驅(qū)動(dòng)的控制問(wèn)題成為人們研究的熱點(diǎn).本文探討了由倒向重隨機(jī)微分方程刻畫的非零和微分對(duì)策問(wèn)題，在此類問(wèn)題的研究中，系統(tǒng)的伴隨方程是研究的關(guān)鍵，該文利用伴隨方程的解刻畫了納什均衡點(diǎn)存在的必要條件，此結(jié)果類似于隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題的最大值原理.然而由于伴隨方程結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，關(guān)于其解的形式成為研究的難點(diǎn)，將在后續(xù)的工作中對(duì)此類問(wèn)題做進(jìn)一步探討.