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    LF拓?fù)淇臻g的Es-連通性*

    2022-12-20 09:57:30何瓊王小霞朱文國
    關(guān)鍵詞:連通性子集等價(jià)

    何瓊,王小霞,朱文國

    (延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,陜西 延安 716000)

    連通性是拓?fù)鋵W(xué)中十分重要的概念,學(xué)者們利用不同的方式把它的相關(guān)概念和性質(zhì)推廣到LF拓?fù)淇臻g中[1-7],并且研究了不同的連通性,如S*-連通性[1]、LFα-p連通性[2]、弱連通性[3]、β連通性[4]和WP-δ連通性[5]等.2010年,陳海燕利用半開集和半閉集[8]的定義,首次給出Es集和Es閉集的概念[9];2018年,安艷將Es集和Es閉集推廣到LF拓?fù)淇臻g中,并研究了它們的相關(guān)性質(zhì)[10].本文首先定義了Es-隔離集,并給出Es-連通性的概念;其次利用分析類比的方法,借助Es閉集的性質(zhì)刻畫了Es-連通性的等價(jià)條件,討論了Es-連通集和連通集之間的關(guān)系;最后研究了Es-連通性的相關(guān)性質(zhì),進(jìn)一步豐富了LF拓?fù)淇臻g的連通性理論.

    在本文中L是具有逆合對應(yīng)的完全分配格,X是非空集,(LX,δ)是LF拓?fù)淇臻g,它包含最大元1X和最小元0X,且對有限交和任意并封閉,δ中的元稱為開集或開元,它的補(bǔ)集是閉集.M*(L)表示LX中全體非空并既約元之集,δ|Y表示δ在Y上的限制.其他沒說明的符號見文獻(xiàn)[1]和[10-13].

    1 預(yù)備知識

    定義1[8]設(shè)(LX,δ)是LF拓?fù)淇臻g,A∈LX.

    (1)若?U∈δ,使得U≤A≤U-,則稱A為半開集;

    (2)若?F∈δ′,使得F°≤A≤F,則稱A為半閉集;

    (LX,δ)中全部半開集構(gòu)成的集合記為SO(LX),全部半閉集構(gòu)成的集合記為SC(LX).

    定義2[10]設(shè)(LX,δ)是LF拓?fù)淇臻g,A∈LX.

    (1)Es(A)=∧{O∈SO(LX)|A≤O},若A滿足A=Es(A),則稱A為Es集;

    (LX,δ)中全部Es集構(gòu)成的集合記為Es(LX),全部Es閉集構(gòu)成的集合記為Es*(LX).

    注:(LX,δ)是LF拓?fù)淇臻g,A∈LX,如果A是開集,那么A一定是半開集,則它一定是Es集;反之不成立.Es集的補(bǔ)集是Es閉集.

    定義3[10]設(shè)(LX,δ)是LF拓?fù)淇臻g,A∈LX.

    (1)包含于A的一切Es集的并稱為A的Es內(nèi)部,記為intE(A),即

    intE(A)=∨{B∈ES(LX)|B≤A};

    (2)包含A的一切Es閉集的交稱為A的Es閉包,記為clE(A),即

    clE(A)=∧{B∈Es*(LX)|A≤B}.

    推論1[10]設(shè)(LX,δ)是LF拓?fù)淇臻g,A∈LX.

    (1)任意多個Es集的并是Es集;有限多個Es集的交是Es集;

    (2)A是Es集的充要條件是A=intE(A);

    (3)A是Es閉集的充要條件是A=clE(A).

    2 Es-連通性及其相關(guān)性質(zhì)

    定義4 設(shè)(LX,δ)是LF拓?fù)淇臻g,A,B∈LX,如果clE(A)∧B=A∧clE(B)=0X,則稱A和B是Es-隔離集.

    注:兩個無交的Es閉集一定是Es-隔離集.

    定理1 設(shè)(LX,δ)是LF拓?fù)淇臻g,A,B∈LX,如果A,B是隔離集,則A,B是Es-隔離集.

    證明設(shè)A,B是隔離集,由定義4知cl(A)∧B=A∧cl(B)=0X.由定義2中Es閉集是閉集知clE(A)?cl(A),所以clE(A)∧B=A∧clE(B)=0X.但反之不成立.

    定義5 設(shè)(LX,δ)是LF拓?fù)淇臻g,G∈LX,如果(LX,δ)中存在非空Es-隔離集A,B且A≠B使得G=A∨B,那么稱G是Es-連通集.當(dāng)(LX,δ)中最大元1X為Es-連通集時(shí),則稱(LX,δ)是Es-連通空間.

    定理2 設(shè) (LX,δ)是LF拓?fù)淇臻g,1X∈M*(L),則下面各個條件等價(jià)成立:

    (1)G不是Es-連通集;

    (2)存在Es閉集A,B使得A∧G≠0X,B∧G≠0X,G′∨A∨B=1X及G∧A∧B=0X;

    (4)存在Es集A,B使得A∧G≠0X,B∧G≠0X,G≤A∨B及G∧A∧B=0X;

    證明(1)?(2)設(shè)G不是Es-連通集,那么存在非空Es-隔離集A,B且A≠B使得G=A∨B.設(shè)A,B是LF拓?fù)淇臻g中Es閉集,有

    A∧B=0X,

    A∧G=A∧(A∨B)=(A∧A)∨(A∧B)=A≠0X,

    B∧G=B∧(A∨B)=(B∧A)∨(B∧B)=B≠0X,

    使G∧A∧B=0X.由G=A∨B可知G′=A′∧B′,即

    G′∨A∨B=(A′∧B′)∨A∨B=(A′∨A∨B)∧(B′∨A∨B)=1X,

    所以(2)成立.

    G′∨A∨B=(A′∧B′)∨A∨B=(A′∨A∨B)∧(B′∨A∨B)=1X,

    所以(1)成立.

    定理3 設(shè)(LX,δ)是LF拓?fù)淇臻g,Y是X中的子集,且Y是Es-連通集,如果在(LY,δ|Y)中有Es-隔離集U和V,則Y?U或Y?V.

    證明設(shè)U和V是(LY,δ|Y)中的Es閉集,Y∩U和Y∩V是(LY,δ|Y)中的Es閉集,有

    (Y∩U)∪(Y∩V)=Y∩(U∪V)=Y,

    (Y∩U)∩(Y∩V)=Y∩U∩V=0X.

    如果Y∩U和Y∩V是非空的,Y是Es-隔離集,同時(shí)Y也是(LX,δ)中Es-連通子集,則Y∩U=0X或Y∩V=0X,即Y?U或Y?V.

    定理4 設(shè)(LX,δ)是LF拓?fù)淇臻g,如果G是(LX,δ)中的Es-連通集,G≤H≤clE(G),那么H是(LX,δ)中的Es-連通集.

    推論2 設(shè)(LX,δ)是LF拓?fù)淇臻g,如果G是(LX,δ)中的Es-連通集,那么clE(G)是(LX,δ)中的Es-連通集.

    定理5 設(shè)(LX,δ)是LF拓?fù)淇臻g,G∈LX,如果G是Es-連通集,那么G是連通集.

    證明設(shè)G不是連通集,則存在隔離集A,B且A≠B使得G=A∨B,cl(A)∧B=A∧cl(B)=0X.由定義2中Es閉集是閉集知clE(A)?cl(A),所以clE(A)∧B=A∧clE(B)=0X.即存在Es-隔離集A,B且A≠B使得G=A∨B,故G不是Es-連通集,矛盾.

    定理5反之不成立.即:設(shè)(LX,δ)是LF拓?fù)淇臻g,G∈LX,如果G是連通集,那么G不是Es-連通集.

    例如在(LX,δ)空間中,設(shè)X={x1,x2},L={0,a,b,c,d,1},L中元素之間的關(guān)系:a′=b,b′=a,c′=d,d′=c,1′=0,0′=1,a∧b=d,0

    則δ={R(0,0),R(0,b),R(0,d),R(a,0),R(a,b),R(a,d),R(d,0),R(d,d),R(1,1)}.令Φ是所有半閉集之族,則

    Φ={R(0,0),R(0,b),R(0,d),R(a,0),R(a,d),R(d,0),R(d,d),R(1,1)}.

    令Ψ是所有Es閉集之族,則

    Ψ={R(0,0),R(0,b),R(0,d),R(a,0),R(a,d),R(d,0),R(d,d),R(a,b),R(d,b),R(1,1)}.

    定理6 設(shè)(LX,δ)是LF拓?fù)淇臻g,G和H都是(LX,δ)中的Es-連通集,如果clE(G)∧H≠0X或G∧clE(H)≠0X,那么G∨H是(LX,δ)中的Es-連通集.

    (G∨H)∧A∧B=(G∧A∧B)∨(H∧A∧B)=0X,

    即(G∧A)∨(H∧B)=0X.故(G∧A)=0X,(H∧B)=0X,有

    G∧clE(H)≤G∧clE(A)=G∧A=0X.

    同理H∧clE(G)=0X,所以H和G是Es-隔離的,與假設(shè)矛盾.故G∨H是Es-連通的.

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