歐式回望期權(quán)的對(duì)偶鞅模型*

胡之英

(西安翻譯學(xué)院 工程技術(shù)學(xué)院,陜西 西安 710105)

1 引言

期權(quán)定價(jià)理論[1]是現(xiàn)代金融學(xué)的基礎(chǔ)之一,它是研究金融衍生產(chǎn)品最重要、最有難度的理論.1973年，Black和Scholes[2]用數(shù)學(xué)方法給出了期權(quán)定價(jià)的B-S模型,使期權(quán)定價(jià)成為第二次“華爾街革命”.20世紀(jì)90年代以來(lái),期權(quán)作為最有活力的衍生產(chǎn)品,得到迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用,隨之產(chǎn)生了許多新型期權(quán),歐式回望期權(quán)就是其中之一.近年來(lái)眾多學(xué)者[3-5]放寬了B-S模型的某些條件,提出了許多回望期權(quán)定價(jià)方法,其中文獻(xiàn)[3]研究了利率為隨機(jī)情況下的回望期權(quán)定價(jià)公式;文獻(xiàn)[4]討論了標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)下具有交易費(fèi)用的回望期權(quán)定價(jià)問(wèn)題,并給出了回望期權(quán)的定價(jià)公式;文獻(xiàn)[5]討論了固定執(zhí)行價(jià)格的美式回望期權(quán)定價(jià)的有效算法及最優(yōu)執(zhí)行邊界的性質(zhì);文獻(xiàn)[6]則應(yīng)用 Taylor展開(kāi)技術(shù),得到了回望看漲期權(quán)價(jià)格及其Δ對(duì)沖的近似顯示解公式;這些研究對(duì)回望期權(quán)的定價(jià)做出了貢獻(xiàn)，但都是以固定利率Bt為貼現(xiàn)因子在等價(jià)鞅測(cè)度下來(lái)定價(jià)的,本文在B-S模型基本假設(shè)的條件下,采用文獻(xiàn)[7]的方法,以St為貼現(xiàn)因子,在對(duì)偶鞅測(cè)度[8]下推導(dǎo)回望期權(quán)的定價(jià)模型,得到回望期權(quán)定價(jià)的新表示.

2 預(yù)備知識(shí)

假設(shè)金融市場(chǎng)僅有兩種證券,一種是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券,其價(jià)格為

(1)

其中,利率r(t):R+→R+是確定的連續(xù)函數(shù);

另一種是股票,股票價(jià)格為

(2)

其中,Wt是定義在完備概率空間(Ω,F,P)上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),常數(shù)σ是擴(kuò)散項(xiàng).

(3)

(4)

其中EP(·)表示P測(cè)度下的期望.

引理2 設(shè)Γ為F的子σ代數(shù),g(x,y)為二元Borel可測(cè)函數(shù),X為Γ可測(cè)隨機(jī)變量,那么對(duì)于任意的隨機(jī)變量Y,有

E[g(X,Y)|Γ]=E[g(x,Y)|Γ]|x=X,

(5)

如果Y與Γ獨(dú)立,則

E[g(X,Y)|Γ]=E[g(x,Y)]|x=X.

(6)

引理3 設(shè)(Wt,Ft)是擴(kuò)散系統(tǒng)為σ的布朗運(yùn)動(dòng),則對(duì)?x∈R,

(7)

仍是布朗運(yùn)動(dòng),這里τx=inf{t≥0:σWt≥x}.

定理1 當(dāng)x≥0,λ∈R,則

(8)

當(dāng)x≤0,則

(9)

=

=

故

(10)

用-Wt,-λ,-x代替相應(yīng)的Wt,λ,x可得(9)式.

3 歐式回望期權(quán)對(duì)偶鞅模型的推導(dǎo)

定理2 對(duì)于歐式回望期權(quán)賣方價(jià)值為

(11)

買方價(jià)值為

(12)

其中

與Ft獨(dú)立.

(13)

(14)

得歐式回望看跌期權(quán)定價(jià)的對(duì)偶鞅公式

(15)

同理得歐式回望看漲期權(quán)定價(jià)的對(duì)偶鞅公式

(16)

4 案例分析

考慮一歐式股票看跌回望期權(quán),期權(quán)的股票價(jià)格波動(dòng)率為0.2,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率每年為0.05,到期日還有6個(gè)月,Mt=15元,mt=6元,St=10元,易得

d1≈18.98,

d2≈-19.19,

d3≈-18.98.

進(jìn)而得出Pt≈2.86e0.025≈2.932 4(元).

5 結(jié)語(yǔ)

采用期權(quán)定價(jià)的新方法——對(duì)偶鞅方法對(duì)歐式回望期權(quán)進(jìn)行了定價(jià),對(duì)回望期權(quán)定價(jià)進(jìn)行了新的推廣,得到回望期權(quán)價(jià)值的新表示.該方法建立了一個(gè)新的市場(chǎng)定價(jià)模型,對(duì)偶鞅模型便于計(jì)算,可操作性強(qiáng),也豐富了期權(quán)定價(jià)理論,對(duì)其他類型期權(quán)的研究以及一些復(fù)雜金融衍生品定價(jià)的研究具有參考意義,但金融市場(chǎng)存在長(zhǎng)期記憶性和突發(fā)“跳”等情況,為貼近實(shí)際交易市場(chǎng),這有待進(jìn)一步研究.