基于正態(tài)隨機(jī)向量理論建構(gòu)下的Fisher定理的證明

安佰玲，陳書鳳，夏亞玲，王國華

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

0 引言

正態(tài)隨機(jī)向量理論是正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)推斷基礎(chǔ)，它包括正態(tài)隨機(jī)向量及其函數(shù)的分布和獨(dú)立性等問題，不少學(xué)者圍繞該問題開展理論研究及其應(yīng)用綜述［1-7］. 筆者認(rèn)為在數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程學(xué)習(xí)之前，需要對(duì)正態(tài)隨機(jī)向量的一般理論進(jìn)行梳理和建構(gòu)，這不僅是對(duì)概率論中低維隨機(jī)變量理論內(nèi)容的回顧和延伸，更重要它也是統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程和后續(xù)專業(yè)核心課程的理論基礎(chǔ)，同時(shí)Fisher定理也是該理論體系中的一個(gè)自然的結(jié)果. Fisher定理，描述的是單正態(tài)總體下樣本均值和樣本方差的抽樣分布及其關(guān)系，三大抽樣分布也是基于該定理構(gòu)造的. 關(guān)于Fisher定理的證明，國內(nèi)的大部分教材［8-11］，通過構(gòu)造正交矩陣?yán)谜蛔儞Q法證明，但是這種方法不夠直觀. 針對(duì)非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生，文獻(xiàn)［12］和文獻(xiàn)［13］避開矩陣代數(shù)的相關(guān)理論，利用正態(tài)隨機(jī)樣本的性質(zhì)、變量變換定理和數(shù)學(xué)歸納法對(duì)Fisher 定理進(jìn)行證明. 矩陣代數(shù)的相關(guān)理論是數(shù)學(xué)各專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)也是統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)進(jìn)一步學(xué)習(xí)多元統(tǒng)計(jì)及回歸分析等核心課程的基礎(chǔ). 因此筆者認(rèn)為，結(jié)合矩陣代數(shù)的相關(guān)理論，對(duì)正態(tài)隨機(jī)向量一般理論進(jìn)行梳理和建構(gòu)，不僅能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)矩陣代數(shù)理論理解和應(yīng)用、概率論內(nèi)容的深化與完善以及Fisher定理的證明，同時(shí)為后繼課程的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

1 n 維隨機(jī)向量及其分布

設(shè)X=(X1,X2,…,Xn)T，Y=(Y1,Y2,…,Ym)T分別為n維和m維連續(xù)型隨機(jī)向量，其概率密度函數(shù)分別為f1(x1,x1,…,xn)與f2(y1,y1,…,ym).

2 n 維正態(tài)隨機(jī)向量的一般理論

2.1 正態(tài)隨機(jī)向量的定義

定義4［14］若n維隨機(jī)向量X=(X1,X2,…,Xn)T的概率密度函數(shù)為

2.2 正態(tài)隨機(jī)向量的性質(zhì)

定理1 設(shè)X1,X2,…,Xn獨(dú)立同分布，且Xi～N1(μ,σ2)，則X～Nn(μ1,σ2In).

定理1由定義2及定義4可證.

是Σ的特征根，Q為n階正交陣. 推論2 表明標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)向量經(jīng)過正交變換后仍為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)向量.

推論3 設(shè)X～Nn（μ,Σ），則ΕX=μ,Cov(X)=Σ.

推論3由引理3、推論1及定義3、4可證得.

推論3表明n維正態(tài)隨機(jī)向量的分布完全由X的均值向量和協(xié)方差矩陣Σ確定. 協(xié)方差矩陣Σ描述n維正態(tài)隨機(jī)向量各分量的波動(dòng)程度及分量之間的關(guān)系，并且各分量之間的相互獨(dú)立和兩兩不相關(guān)是等價(jià)的. 同時(shí)n維正態(tài)分布具有“再生性”，即n維正態(tài)隨機(jī)向量任意維數(shù)的子向量仍服從正態(tài)分布. 具體描述為下面的定理.

定理3中（1）的證明由定義1及定義4可得，（2）可由（1）和定理2以及矩陣分塊運(yùn)算理論證明.

由定理2可知，正態(tài)隨機(jī)向量經(jīng)過可逆線性變換后仍然服從正態(tài)分布，其實(shí)這個(gè)結(jié)論可以推廣到行滿秩線性變換，即有如下定理.

定理4［1-2,14-15］設(shè)X～Nn（μ,Σ）,A為m×n矩陣，R(A)=m,b為m×1 非隨機(jī)向量,則AX+b～Nm（Aμ+b,AΣAT）.

定理4的證明可以利用A構(gòu)造一個(gè)滿秩方陣，結(jié)合定理2和定理3證得.

推論4 設(shè)X～Nn（μ,Σ），c為n維非零向量，則cTX～N1（cTμ,cTΣc）.

推論4 由定理4 可證. 結(jié)合定理1，推論4 表明多個(gè)獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍為正態(tài)隨機(jī)變量.

2.3 正態(tài)隨機(jī)向量二次型的分布

本節(jié)主要討論X的二次型的分布，即形如f(X)=XTSX的分布，其中S為n階對(duì)稱陣.

2.4 正態(tài)隨機(jī)向量函數(shù)的獨(dú)立性

對(duì)于n維正態(tài)隨機(jī)向量X，由定理3可以通過其協(xié)方差矩陣來判斷子向量間的獨(dú)立性. 本節(jié)主要給出X的線性函數(shù)之間的獨(dú)立性判定定理.

3 Fisher定理的證明

3.1 Fisher定理的證明

3.2 Fisher定理證明的概念圖

基于正態(tài)隨機(jī)向量的基本理論建構(gòu)下的Fisher定理的證明及設(shè)計(jì)思路，利用概念圖表示如下：

圖1 基于正態(tài)隨機(jī)向量理論的Fisher定理證明的概念圖