四邊簡支功能梯度圓錐殼的非線性振動(dòng)分析

張宇航， 劉文光， 劉 超， 呂志鵬

(南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院，南昌 330063)

1 引 言

由高韌性、耐腐蝕金屬和耐高溫陶瓷組成的功能梯度材料FGMs(Functionally Gradient Materials)不僅具備良好的力學(xué)特性，而且具有優(yōu)異的熱防護(hù)性能，在高超音速飛行器的熱防護(hù)系統(tǒng)設(shè)計(jì)中具有良好的應(yīng)用前景。然而，由于高超音速飛行器服役時(shí)，振動(dòng)貫穿其發(fā)射和飛行直至著落等全部過程，所以，了解FGMs結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性對于熱防護(hù)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)具有重要的意義。

在高超音速飛行器結(jié)構(gòu)中，板殼是最為常見的構(gòu)件之一。近年來，針對FGMs板殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)力學(xué)問題，研究者做了大量的研究工作。蔣偉男等[1]研究了簡支和固支邊界條件下FGMs夾層板的自由振動(dòng)。利用一階剪切變形理論，Liu等[2]討論了多種邊界條件下幾何尺寸和材料組分對FGMs圓柱殼模態(tài)頻率的影響。結(jié)合Love薄殼理論和微分求積法，Ebrahimi等[3]推導(dǎo)了FGMs殼的自由振動(dòng)方程，分析了FGMs殼的模態(tài)頻率?？紤]材料沿徑向呈梯度分布，滕兆春等[4]采用微分求積法求解了不同邊界條件下FGMs環(huán)扇形板的自由振動(dòng)頻率。基于Flügge理論，楊萌等[5]研究了FGMs圓柱殼振動(dòng)響應(yīng)的計(jì)算方法。

動(dòng)載荷作用下，板殼結(jié)構(gòu)經(jīng)常發(fā)生大的幾何變形，致使越來越多研究者關(guān)注FGMs板殼的非線性振動(dòng)。Allahverdizadeh等[6]建立了FGMs薄板的振動(dòng)方程，采用半解析法求解了薄板的非線性自由振動(dòng)和軸對稱受迫振動(dòng)。基于Sigmoid材料分布函數(shù)，Wang等[7]研究了含孔隙FGMs薄板的非線性振動(dòng)特性?；贙irchhoff薄板理論，胡宇達(dá)等[8]研究了熱環(huán)境對FGMs圓板非線性強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)的影響，分析了FGMs圓板進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)的路徑。Nayfeh等[9]采用多尺度分析法求解非線性方程，討論了邊界條件對圓板非線性振動(dòng)響應(yīng)的影響?？紤]彈性基礎(chǔ)的作用，Sheng等[10]研究了彈簧系數(shù)對FGMs圓柱殼非線性振動(dòng)的影響?？紤]剪切應(yīng)力的作用，Sofiyev等[11]研究了正交異性FGMs圓柱殼的非線性振動(dòng)特性。

工程實(shí)踐中，板殼結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域，尤其在高超音速飛行器結(jié)構(gòu)中，很多結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)為圓錐形。在保證結(jié)構(gòu)耐用性和使用壽命的前提下，圓錐殼不僅節(jié)省了材料用量、減輕了結(jié)構(gòu)重量和提高了經(jīng)濟(jì)性能，而且圓錐殼有利于減少飛行阻力，提高飛行速度。高速飛行時(shí)，錐殼結(jié)構(gòu)不可避免地要承受振動(dòng)沖擊和高溫高壓等載荷的作用，致使圓錐殼產(chǎn)生非線性振動(dòng)[12,13]。與其他板殼結(jié)構(gòu)不同，圓錐殼的半徑隨不同位置而不同，建模和計(jì)算的難度增大，甚至導(dǎo)致計(jì)算不可求。因此，本文以FGMs圓錐殼為對象，考慮von-Karman幾何非線性，并結(jié)合Galerkin方法推導(dǎo)出FGMs圓錐殼的單自由度非線性振動(dòng)微分方程，并探討圓錐殼幾何參數(shù)以及陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)對非線性振動(dòng)響應(yīng)的影響，進(jìn)一步推進(jìn)FGMs在高超音速飛行器熱防護(hù)結(jié)構(gòu)上的應(yīng)用。

2 FGMs圓錐殼模型

如圖1所示為FGMs開口圓錐殼，假設(shè)殼的幾何尺寸分別為,殼厚為h，母線長為L，圓錐小端的半徑為R1，圓錐大端的半徑為R2，圓錐殼的半錐角為α0，圓錐殼的張角為θ0。

以圓錐殼的中面為基準(zhǔn)，建立圖1所示的柱面坐標(biāo)系(x,θ,z)。坐標(biāo)系中，x表示圓錐殼的母線方向，θ表示圓錐的圓周方向，z表示圓錐殼的厚度方向。

圖1 FGMs圓錐殼模型

假設(shè)FGMs圓錐殼的外表面為純陶瓷，內(nèi)表面為純金屬。材料沿厚度方向的分布用Voigt模型來描述[14]，其物理屬性表達(dá)式為

P(z)=PcVc(z)+PmVm(z)

(1)

(2)

式中N為陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)。

3 FGMs圓錐殼的運(yùn)動(dòng)方程

根據(jù)一階剪切變形理論，F(xiàn)GMs圓錐殼上任意點(diǎn)的位移沿x,θ和z軸上的分量可由中面上的位移表示為[15]

(3)

式中u，v和w為圓錐殼上任意一點(diǎn)的位移，u0，v0和w0為圓錐殼中面上的位移，Φx和Φθ分別為圓錐殼沿軸x和θ方向的轉(zhuǎn)角，t為時(shí)間變量。

因此，F(xiàn)GMs圓錐殼的動(dòng)能K為

R(x)dSdz

(4)

圓錐殼中面任意一點(diǎn)的半徑R是關(guān)于坐標(biāo)x的函數(shù)，

R(x)=R1+xsin(α0)

(5)

考慮von-Karman幾何非線性，圓錐殼的應(yīng)變分量與中面位移分量的關(guān)系為

(6)

式中

(7)

基于胡克定律，F(xiàn)GMs圓錐殼的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為

(8)

式中σx和σθ為殼內(nèi)任意一點(diǎn)沿x和θ方向的正應(yīng)力，τx θ為xθ平面內(nèi)的切應(yīng)力，τx z為xz平面的切應(yīng)力，τθ z為θz平面的切應(yīng)力，Qi j(i,j=1,2,6)為剛度元素。

因此，F(xiàn)GMs圓錐殼的應(yīng)變能U為

τθ zγθ z+τx zγx z)R(x)dSdz

(9)

考慮式(14，15)，根據(jù)Hamilton原理[2]，F(xiàn)GMs圓錐殼的運(yùn)動(dòng)方程可表示為

(10a)

(10b)

Nxw0,xR(x),x+Nx,xw0,xR(x)+

(10c)

(10d)

(10e)

式中Nx，Nθ和Nx θ為內(nèi)力，Mx和Mθ為彎矩，Mx θ為扭矩，下標(biāo),表示對變量求導(dǎo)，上標(biāo) ¨ 表示對時(shí)間t求二階導(dǎo)數(shù)，I1，I2和I3為慣性矩，表達(dá)式為

(11)

假設(shè)FGMs圓錐殼四邊簡支，其位移函數(shù)可表示為[16]

(12)

式中um n(t),vm n(t),wm n(t),pm n(t)和qm n(t)為關(guān)于時(shí)間t的變量，n和m分別為環(huán)向波數(shù)和軸向波數(shù)。

4 FGMs圓錐殼的非線性振動(dòng)求解

將式(12)代入式(10)，應(yīng)用Galerkin積分，只考慮橫向振動(dòng)[17]，圓錐殼簡化為單自由度模型，

(13)

式中Q1為線性剛度系數(shù)，Q2和Q3為非線性剛度系數(shù)。

為便于后續(xù)分析，令

(H=1 m)

(14)

將式(14)代入式(13)，可得

(15)

(i=1,2,3)(16)

考慮式(15)含強(qiáng)非線性項(xiàng)，使用L-P法求出的結(jié)果與實(shí)際有較大誤差[18]。本文采用改進(jìn)的L-P法分析FGMs圓錐殼的非線性振動(dòng)。根據(jù)改進(jìn)的L-P法，可得圓錐殼的非線性頻率ωm n,n - l和位移W，即

(17)

(18)

(19)

式中A為初始無量綱振幅，ωm n 0為線性頻率。

(20)

5 討論與分析

5.1 模型驗(yàn)證

SUS304和Si3N4的材料參數(shù)列入表1。假設(shè)圓錐殼的幾何尺寸為L/R1=4，R1/h=20，θ0=120°，α0=15°，h=0.01 m。通過式(20)計(jì)算了FGMs圓錐殼的模態(tài)頻率，并與文獻(xiàn)[19]進(jìn)行對比，圖2 結(jié)果表明，兩者十分吻合。

圖2 FGMs圓錐殼無量綱頻率的對比

圖3和圖4對比了A=1時(shí)的位移響應(yīng)以及相圖的解析解和數(shù)值解。結(jié)果表明，采用改進(jìn)的L-P法時(shí)，選取的階數(shù)滿足求解精度。因此，后續(xù)研究采用改進(jìn)的L-P法計(jì)算非線性頻率以及頻域響應(yīng)，使用Runge-Kutta法計(jì)算時(shí)域響應(yīng)。

圖3 FGMs圓錐殼的非線性位移比較(m=1,n=1,N=1)

圖4 FGMs圓錐殼的速度與位移相圖比較

5.2 圓錐殼結(jié)構(gòu)對振動(dòng)頻率的影響

圖5研究了張角θ0取90°,120°和180°時(shí)，圓錐角對非線性頻率的影響。結(jié)果表明，當(dāng)α0取0°～50°時(shí)，F(xiàn)GMs圓錐殼的非線性頻率隨著錐角的增大而增大;當(dāng)α0大于50°時(shí)，非線性頻率顯著下降，減小速率由明顯趨于平緩。而當(dāng)α0越趨近90°時(shí)，張角對FGMs圓錐殼的非線性頻率影響微小。

圖5 不同張角下圓錐角對頻率的影響(N =1,A =0.01)

圖6研究了α0分別取0°，30°和45°時(shí)，張角θ0對線性頻率的影響。結(jié)果表明，θ0在20°～40°范圍內(nèi)時(shí)，非線性頻率隨θ0的增大而減小，非線性頻率下降幅度明顯。在θ0較小的范圍內(nèi)，錐角α0的變化對FGMs圓錐殼的頻率影響不大。在結(jié)構(gòu)上，圓錐殼結(jié)構(gòu)趨近閉合時(shí)，即θ0不斷增大至180°，此過程中其頻率逐漸增大。值得一提的是，當(dāng)α0=90°時(shí)，結(jié)構(gòu)變?yōu)閳A環(huán)結(jié)構(gòu)，與取其他錐角情況不同，F(xiàn)GMs圓錐殼的頻率隨θ0增大而逐漸減小，θ0越大，頻率的下降幅度越小，最后趨近于平穩(wěn)。

圖6 不同圓錐角下張角對頻率的影響(N =1,A =0.01)

分析認(rèn)為，增大FGMs圓錐殼的張角，會(huì)降低錐角α0對頻率的影響。即θ0取小值時(shí)，結(jié)構(gòu)頻率的變化主要取決于θ0，與之相反，F(xiàn)GMs圓錐殼趨于圓環(huán)時(shí)，頻率變化主要受圓錐角α0的影響。

5.3 FGMs組分對振動(dòng)響應(yīng)的影響

圖7給出了不同陶瓷體積分?jǐn)?shù)對圓錐殼頻率比的影響。圖8研究了不同體積分布指數(shù)對圓錐殼位移響應(yīng)的影響。

圖7 不同N時(shí)振幅與非線性頻率比的關(guān)系(A =0.01)

圖8 不同N時(shí)FGMs圓錐殼的位移-時(shí)間曲線(m =1,n =1,A =1)

結(jié)果表明，隨著N的增大，頻率比增大，但整體上分布指數(shù)對頻率影響不明顯；N并不改變圓錐殼的振動(dòng)趨勢，只是通過影響頻率從而改變振動(dòng)周期。

5.4 結(jié)構(gòu)幾何尺寸對振動(dòng)響應(yīng)的影響

圖9研究了L/R1分別取5，10和20時(shí)，初始振幅對頻率的影響。圖10給出了L/R1對位移響應(yīng)的影響?？梢钥闯?，振幅越大,頻率比越大，且變化速率越來越快,是由于長徑比越大，結(jié)構(gòu)剛度減小，頻率下降，導(dǎo)致振動(dòng)周期增大。圖11給出了不同h/R1時(shí)，頻率比隨振幅的變化情況。圖12研究了h/R1對位移響應(yīng)的影響。分析發(fā)現(xiàn)，與L/R1類似，h/R1越大，圓錐殼的非線性頻率比越小。h/R1越大，圓錐殼的剛度越大，相對應(yīng)的振動(dòng)周期縮短。

圖9 不同長徑比時(shí)振幅與非線性頻率比的關(guān)系(N =1,A =0.01)

圖10 不同長徑比時(shí)FGMs圓錐殼的位移-時(shí)間曲線(m =1, n =1,N =1,A =1)

圖11 不同厚徑比時(shí)振幅與非線性頻率比的關(guān)系(N =1,A =0.01)

圖12 不同厚徑比時(shí)FGMs圓錐殼的位移-時(shí)間曲線(m =1,n =1,N =1,A =1)

6 結(jié) 論

在考慮von-Karman幾何非線性的基礎(chǔ)上，利用Galerkin法對圓錐殼的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行離散化處理，得到圓錐殼的非線性自由振動(dòng)微分方程，然后采用改進(jìn)的L-P法以及Runge-Kutta法求解，得到方程的解析解和數(shù)值解，研究了圓錐殼的幾何尺寸以及陶瓷體積分布指數(shù)對其頻率以及響應(yīng)的影響。主要結(jié)論如下。

(1) 增大FGMs圓錐殼的張角，錐角對頻率的影響減??；當(dāng)圓錐殼結(jié)構(gòu)趨近于圓環(huán)時(shí)，圓錐殼的張角對頻率影響甚微。因此，合理設(shè)計(jì)圓錐殼的圓錐角和張角可有效節(jié)約材料。

(2) 陶瓷體積分布指數(shù)越大，陶瓷材料占比越小，圓錐殼的剛度越小，非線性頻率越小，振動(dòng)周期隨之增大。

(3) 增大圓錐殼的長度和厚度，圓錐殼的非線性頻率比減小。因此，改變圓錐殼的幾何參數(shù)會(huì)影響整個(gè)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)。

(4) 改變功能梯度材料的組分和錐殼的幾何尺寸，都會(huì)導(dǎo)致圓錐殼的非線性幅頻特性曲線呈向右彎曲的態(tài)勢，圓錐殼具有明顯的彈簧漸硬非線性振動(dòng)特性。