重復(fù)使用火箭著陸緩沖的機(jī)構(gòu)沖擊動(dòng)力學(xué)分析及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

袁晗 王小軍 張宏劍,? 牟宇 王檑 王辰

1.北京宇航系統(tǒng)工程研究所, 北京 100076; 2.中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院, 北京 100076;? 通信作者, E-mail: wangxj99@139.com (王小軍), zhanghj@pku.edu.cn (張宏劍)

近年來(lái), 諸多國(guó)家開(kāi)展了一子級(jí)垂直起降的重復(fù)使用火箭相關(guān)研究[1], 美國(guó)太空探索公司的獵鷹 9 號(hào)(Falcon-9)運(yùn)載火箭和藍(lán)色起源公司的新謝潑德(New Shepard)火箭已經(jīng)成功地實(shí)現(xiàn)火箭一子級(jí)的垂直回收和重復(fù)使用。火箭的一子級(jí)在上升段完成分離后, 通過(guò)氣動(dòng)減速和發(fā)動(dòng)機(jī)反推減速, 將速度降至較低水平[2]。但是, 由于偏差的存在, 難以控制到零速, 使得火箭必須采用著陸緩沖機(jī)構(gòu)來(lái)降低沖擊載荷, 提高著陸穩(wěn)定性[3]。獵鷹 9 號(hào)火箭和新謝潑德火箭均采用腿式著陸緩沖機(jī)構(gòu)(簡(jiǎn)稱(chēng)著陸腿), 其中獵鷹 9 號(hào)火箭采用倒三角式著陸腿。垂直起降運(yùn)載火箭的著陸問(wèn)題與星球著陸探測(cè)器的著陸問(wèn)題在動(dòng)力學(xué)上具有一定的相似性, 倒三角式著陸腿在 Luna 系列探測(cè)器[4]、Surveyor 1月球探測(cè)器[5]和 Viking-1 火星探測(cè)器[6]等星球著陸探測(cè)器中也被廣泛采用, 如圖1 所示。

圖1 倒三角著陸腿的應(yīng)用Fig.1 Application of inverted triangle landing leg

著陸過(guò)程中, 著陸腿產(chǎn)生橫向振動(dòng), 并導(dǎo)致較大的彎矩, 該彎矩的計(jì)算是著陸腿設(shè)計(jì)的關(guān)鍵。工程上常采用有限元法對(duì)著陸過(guò)程中的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算[7–8]。有限元法可實(shí)現(xiàn)較高的計(jì)算精度,但無(wú)法得到著陸腿載荷與著陸腿設(shè)計(jì)參數(shù)的解析表達(dá)式。在著陸腿構(gòu)型參數(shù)設(shè)計(jì)階段, 需要著陸腿參數(shù)設(shè)計(jì)與有限元分析反復(fù)迭代, 反復(fù)建立不同參數(shù)下的有限元模型, 導(dǎo)致設(shè)計(jì)效率較低, 且參數(shù)的影響也不夠直觀(guān)。為提高參數(shù)設(shè)計(jì)效率, 近年來(lái)眾多學(xué)者使用代理模型方法優(yōu)化著陸腿參數(shù)。Yue 等[9]和雷波等[10]利用徑向基(radial basis function)代理模型, 對(duì)著陸腿可采用的多種緩沖器的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。Li 等[11]、王家俊等[12]、吳宏宇等[13]以及劉學(xué)翱[14]利用響應(yīng)面(response surface)代理模型, 對(duì)著陸腿的緩沖器參數(shù)和構(gòu)型參數(shù)等多個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。代理模型的精度依賴(lài)于樣本數(shù)量的提高, 樣本通常采用數(shù)值仿真得到, 故隨著優(yōu)化變量的增多,需要的樣本數(shù)量和計(jì)算量迅速增大。并且, 代理模型通?；诮y(tǒng)計(jì)得到, 物理意義較不明確, 結(jié)果的可解釋性較差。

著陸腿在著陸沖擊作用下的橫向沖擊響應(yīng)問(wèn)題, 可等效為簡(jiǎn)支梁在慣性力激勵(lì)下的橫向振動(dòng)問(wèn)題?；鸺闹懲葹槎喙?jié)薄壁圓筒結(jié)構(gòu), 直徑沿軸向階梯變化, 且在節(jié)間連接處有端部加強(qiáng)和鎖定機(jī)構(gòu)等, 可將其簡(jiǎn)化為分段等截面和含集中質(zhì)量的簡(jiǎn)支梁。針對(duì)非均勻簡(jiǎn)支梁的橫向振動(dòng)問(wèn)題, 眾多學(xué)者推導(dǎo)了多種截面變化形式的簡(jiǎn)支梁橫向振動(dòng)的解析解, 包括含集中質(zhì)量的等截面簡(jiǎn)支梁[15–16]、半徑隨軸向坐標(biāo)多種冪次變化形式的簡(jiǎn)支梁[17–18]以及截面沿軸向階梯變化的簡(jiǎn)支梁[19]等。上述解析方法均未給出分段等截面和含集中質(zhì)量的簡(jiǎn)支梁橫向振動(dòng)的解析解。

面對(duì)復(fù)雜梁截面形式下梁的橫向振動(dòng)問(wèn)題時(shí),一般采用假設(shè)模態(tài)法, 近似地求解振型函數(shù)和頻率。選取基函數(shù)時(shí), 由于非均勻梁橫向振動(dòng)的解析解形式較為復(fù)雜, 難以進(jìn)一步推導(dǎo)半解析解, 故通常采用相同邊界條件下 Euler 梁自由振動(dòng)的振型作為基函數(shù)。Cheng 等[20]采用假設(shè)模態(tài)法建立梁的橫向和縱向耦合振動(dòng)模型, 研究旋轉(zhuǎn)懸臂梁?jiǎn)栴}中角速度對(duì)懸臂梁固有頻率的影響。潘旦光等[21]以等截面 Euler 梁的自由振動(dòng)模態(tài)為基函數(shù), 采用假設(shè)模態(tài)法分析變截面箱型梁振動(dòng)中的剪力滯效應(yīng), 結(jié)果表明取前 12 階基函數(shù)時(shí)已經(jīng)具有較高的精度。Kong 等[22]采用假設(shè)模態(tài)法建立含有兩個(gè)感應(yīng)電機(jī)的簡(jiǎn)支梁的橫向振動(dòng)模型, 分析電機(jī)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的穩(wěn)定性的影響。Luo 等[23]采用假設(shè)模態(tài)法建立彎曲梁的面內(nèi)和面外振動(dòng)模型, 并利用該模型研究列車(chē)–軌道系統(tǒng)中軌道曲率對(duì)系統(tǒng)動(dòng)特性的影響。

基于上述假設(shè)模態(tài)法對(duì)非均勻梁振動(dòng)的研究,本文提出一種計(jì)算效率高、可解釋性強(qiáng)的半解析方法。針對(duì)倒三角式著陸腿, 分析著陸過(guò)程中著陸腿上的載荷。在軸向, 考慮含緩沖的著陸過(guò)程中的靜力平衡給出軸向應(yīng)力, 并給出不同摩擦力方向下的最大軸向應(yīng)力。在橫向, 將著陸過(guò)程的激勵(lì)等效為剛體運(yùn)動(dòng)引起的分布慣性力, 通過(guò)假設(shè)模態(tài)法, 近似地求解主腿的振動(dòng)模態(tài), 利用模態(tài)疊加法求解動(dòng)力學(xué)響應(yīng), 并考慮橫向彎曲變形引起的縱向縮短導(dǎo)致的耦合, 給出橫向振動(dòng)彎矩的半解析計(jì)算方法。隨后, 通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證本文提出的計(jì)算方法。最后,以滿(mǎn)足承載力下著陸腿系統(tǒng)的質(zhì)量最小為目標(biāo), 利用該方法, 分析著陸腿的最優(yōu)構(gòu)型, 并進(jìn)一步分析材料強(qiáng)度對(duì)著陸腿最優(yōu)構(gòu)型的影響。

1.1 倒三角式著陸腿設(shè)計(jì)

重復(fù)使用火箭采用 4 套倒三角式著陸腿, 每套著陸腿由一條主腿、兩條副腿、一個(gè)足墊及箭體連接構(gòu)件等組成。主腿為多節(jié)套筒式伸縮設(shè)計(jì), 在上升段, 著陸腿處于收攏狀態(tài), 緊靠箭體, 在著陸前,著陸腿展開(kāi)鎖定, 實(shí)現(xiàn)著陸緩沖的功能, 其構(gòu)型如圖2 所示。左側(cè)著陸腿為收攏狀態(tài), 中間和右側(cè)著陸腿為展開(kāi)狀態(tài)。主腿、副腿與箭體、足墊均通過(guò)球鉸相連, 在靜力狀態(tài)下, 主腿、副腿均為軸向受力桿件。主腿共有 4 節(jié), 每節(jié)為薄壁圓管, 在收攏狀態(tài)下, 下方著陸腿套于上方著陸腿內(nèi), 展開(kāi)時(shí)套筒逐節(jié)展開(kāi)。主腿的各節(jié)間有擋環(huán)和鎖定機(jī)構(gòu), 在展開(kāi)到位后實(shí)現(xiàn)兩節(jié)間的鎖定。主腿與足墊相連的節(jié)內(nèi)裝有金屬蜂窩緩沖器, 在碰撞時(shí), 通過(guò)壓潰的塑性變形吸收能量, 降低沖擊加速度。副腿為等截面薄壁圓管。

圖2 倒三角式著陸腿示意圖Fig.2 Figure of inverted tripod landing gear

1.2 幾何約束

火箭著陸前, 著陸腿已經(jīng)完成展開(kāi)鎖定, 展開(kāi)后箭體、主腿、副腿和足墊組成靜定結(jié)構(gòu), 等效力學(xué)模型如圖3 所示。圖3(a)為主腿與箭體軸線(xiàn)構(gòu)成的平面, 圖3(b)為俯視圖。設(shè)著陸體質(zhì)量為MB, 箭體上主腿、副腿安裝點(diǎn)與箭體軸線(xiàn)的距離分別為rL1和rL2, 著陸腿跨距為xB。設(shè)展開(kāi)后主腿的長(zhǎng)度為l1, 主腿與箭體軸線(xiàn)的夾角為β。設(shè)副腿的長(zhǎng)度為l2, 副腿與箭體的連接點(diǎn)靠近箭體底部, 展開(kāi)后的支撐高度為h, 主腿、副腿與箭體連接點(diǎn)在y方向的距離為h12, 副腿與箭體軸線(xiàn)的夾角為α, 副腿與圖3(a)中x-o-y平面的夾角為γ。為便于分析, 令代表在x-o-y平面內(nèi)副腿與箭體軸線(xiàn)的夾角。著陸腿上述參數(shù)之間的幾何約束為

設(shè)主腿第i節(jié)的長(zhǎng)度為l1i, 半徑為r1i, 壁厚均為t, 則各節(jié)的面積和慣性矩分別為A1i=2 πr1it,Ili=。將主腿各節(jié)間的擋環(huán)和鎖定機(jī)構(gòu)等效為附加集中質(zhì)量, 如圖3 中m11~m13所示, 將緩沖器也等效為附加集中質(zhì)量, 如圖3 中m14所示。設(shè)副腿的半徑為r2, 壁厚為t, 與主腿相同, 則其截面積為A2= 2πr2t, 截面慣性矩為I2=。

圖3 著陸腿幾何參數(shù)Fig.3 Geometry parameters of landing leg

1.3 著陸過(guò)程的剛體運(yùn)動(dòng)

火箭著陸時(shí), 足墊首先與地面發(fā)生碰撞, 碰撞后足墊與地面保持接觸, 主腿和副腿分別繞其與箭體的連接點(diǎn)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng), 主腿內(nèi)的緩沖器壓潰, 導(dǎo)致主腿長(zhǎng)度縮短, 火箭向下運(yùn)動(dòng), 且火箭質(zhì)心加速度向上, 直至減速至箭體質(zhì)心靜止。

由于足墊與地面的碰撞無(wú)緩沖, 碰撞時(shí)間很短,足墊與地面碰撞前后, 著陸腿構(gòu)型參數(shù)變化可以忽略[24–25]。由于緩沖器的作用, 箭體質(zhì)心加速度為有限值, 故足墊與地面碰撞前后箭體的速度變化同樣可忽略。箭體減速下降的過(guò)程中, 令v表示箭體的下落速度,v0表示觸地時(shí)刻的速度, 由于著陸過(guò)程箭中體向下運(yùn)動(dòng), 定義v向下為正。分析機(jī)構(gòu)的剛體運(yùn)動(dòng), 并忽略彈性變形, 著陸過(guò)程中著陸腿和箭體連接點(diǎn)速度與箭體相同, 著陸腿與足墊連接點(diǎn)的速度與足墊相同, 則l2,rL1,rL2和γ保持不變,l1,xB,,β和h由于剛體運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化。則由式(1)得副腿角速度、主腿角速度β˙和主腿長(zhǎng)度變化率:

令a=-˙代表箭體y方向的加速度, 向上為正,由式(1)和(2)可得足墊與地面保持接觸。箭體減速下降的過(guò)程中, 副腿的角加速度α˙˙和主腿的角加速度為

著陸過(guò)程中, 主腿緩沖器的壓潰距離Δl1相對(duì)于主腿長(zhǎng)度l1較小, 通常有 Δl1/l1＜ 1 0%[10,12–14], 即著陸腿系統(tǒng)的構(gòu)型變化較小, 故采用式(2)和(3)計(jì)算角速度和角加速度時(shí), 忽略角度和β的變化,且近似認(rèn)為Δl1<>v02/l1。由于著陸過(guò)程中火箭做減速運(yùn)動(dòng),v≤v0, 故認(rèn)為a>>v2/l1,a>>v2/l2, 則角加速度˙和˙可近似為

著陸時(shí), 主腿通過(guò)壓縮金屬蜂窩實(shí)現(xiàn)對(duì)主腿軸向力的緩沖, 降低箭體的加速度。本文分別分析碰撞過(guò)程中的軸向力和橫向振動(dòng)彎矩, 計(jì)算著陸過(guò)程中載荷著陸腿的最大應(yīng)力。

2.1 軸向力模型

設(shè)T1,T21和T22分別為主腿和兩條副腿的軸向力, 為拉力時(shí)取正值。N為地面對(duì)足墊的支撐力,f為摩擦力, 令μ=f/N為摩擦系數(shù), 其上界為μmax, 即滿(mǎn)足 0≤μ≤μmax。在圖3 所示的坐標(biāo)系下, 支撐力N沿y方向, 摩擦力在z-o-x平面內(nèi), 設(shè)φ∈[-1 80°,180°]為摩擦力與x軸正方向的夾角, 如圖4 所示。著陸腿展開(kāi)后, 箭體、主腿、兩條副腿和足墊組成靜定結(jié)構(gòu), 在足墊節(jié)點(diǎn)處的靜力平衡關(guān)系為

圖4 靜力平衡示意圖Fig.4 Diagram of the axle force equilibrium

主腿內(nèi)裝有金屬蜂窩緩沖器, 通過(guò)金屬蜂窩的異面壓縮, 降低著陸過(guò)程的軸向力。金屬蜂窩具有壓潰應(yīng)力穩(wěn)定的特點(diǎn)[26–27], 則著陸過(guò)程中, 主腿軸向力T1<0 可近似為常值, |T1|為金屬蜂窩的壓潰力,為待設(shè)計(jì)參數(shù)。由式(5)可得支撐力N和副腿 1 的拉力T21分別為

將式(8)的解代入式(7), 可得T21的極大值T2,max和極小值T2,min, 并且T2,max和T2,min均關(guān)于μ單調(diào), 即 ?T2,max/?μ>0, ?T2,min/?μ<0, 故計(jì)算副腿的最大拉力T2,max和最大壓力-T2,min時(shí), 取μ=μmax。

由于觸地前著陸腿的軸向力僅來(lái)自著陸腿系統(tǒng)的重力, 故似為 0。著陸過(guò)程中, 由于緩沖器的作用, 軸向力近似為定值T, 則著陸腿的軸向加載過(guò)程近似為階躍激勵(lì)。階躍激勵(lì)下, 最大響應(yīng)不大于 2 倍激勵(lì), 即 2T。由于著陸腿在軸向?yàn)槎喙?jié)結(jié)構(gòu),其剛度和振動(dòng)模態(tài)受節(jié)間鎖定機(jī)構(gòu)的影響較大, 因此參數(shù)設(shè)計(jì)階段難以對(duì)鎖定機(jī)構(gòu)準(zhǔn)確建模, 導(dǎo)致難以精確地計(jì)算其在沖擊下的響應(yīng), 故在強(qiáng)度設(shè)計(jì)中考慮最大軸向力為 2T, 該假設(shè)將導(dǎo)致應(yīng)力的計(jì)算結(jié)果偏大。

2.2 橫向振動(dòng)模型

將著陸過(guò)程橫向振動(dòng)的激勵(lì)考慮為兩部分: 1)足墊與地面碰撞前, 著陸腿相對(duì)箭體靜止, 碰撞后著陸腿在很短時(shí)間內(nèi)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng), 引起著陸腿橫向振動(dòng), 該部分稱(chēng)為“沖擊激勵(lì)”; 2)足墊與地面碰撞后,在著陸腿緩沖器的作用下, 箭體做減速運(yùn)動(dòng), 同時(shí)著陸腿的轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程具有角加速度, 上述剛體運(yùn)動(dòng)加速度產(chǎn)生的慣性力引起著陸腿橫向振動(dòng), 該部分稱(chēng)為“穩(wěn)態(tài)激勵(lì)”。

本文將著陸腿的橫向振動(dòng)問(wèn)題等效為簡(jiǎn)支梁的橫向振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行分析。建立單條著陸腿的局部坐標(biāo)系, 以著陸腿與箭體的連接點(diǎn)為原點(diǎn), 梁的軸線(xiàn)方向?yàn)閤軸, 垂直于著陸腿斜向上的方向?yàn)閥軸, 設(shè)著陸腿長(zhǎng)度為l, 則著陸腿與足墊的連接點(diǎn)在x=l處。由于著陸腿的截面尺寸沿軸向變化, 設(shè)等效簡(jiǎn)支梁的截面積為A(x), 截面慣性矩為I(x), 材料的密度為ρ, 模量為E。以主腿為例, 考慮附加集中質(zhì)量后, 上述等效簡(jiǎn)支梁模型如圖5 所示。主腿每段的長(zhǎng)度為l1i, 則節(jié)間等效質(zhì)量塊的位置坐標(biāo)為x1j=l11+…+l1j,j= 1~3, 緩沖器等效質(zhì)量m14的位置為x14=x13+l14,1。由于位于梁端點(diǎn)的集中力不產(chǎn)生彎矩, 故1.2節(jié)建立的幾何模型中忽略了靠近端點(diǎn)處構(gòu)件的質(zhì)量對(duì)彎矩的影響。

圖5 著陸腿的等效簡(jiǎn)支梁動(dòng)力學(xué)模型Fig.5 Equivalent beam dynamic model of landing leg

由于副腿為等截面結(jié)構(gòu)且無(wú)附加集中質(zhì)量, 故本文以主腿為例建立橫向振動(dòng)的等效簡(jiǎn)支梁模型。分析副腿時(shí), 采用主腿的等效簡(jiǎn)支梁模型, 令附加集中質(zhì)量為 0,A(x)和I(x)為副腿的截面參數(shù)A2和I2,并將著陸腿長(zhǎng)度、角速度和角加速度替換為副腿對(duì)應(yīng)的參數(shù)。

首先, 建立“沖擊激勵(lì)”的方程。我們認(rèn)為足墊與地面的碰撞時(shí)間很短, 碰撞過(guò)程著陸腿橫向振動(dòng)的位移為零, 采用沖量形式描述碰撞過(guò)程, 且碰撞過(guò)程常規(guī)力的沖量可忽略[24–25]。假設(shè)足墊與地面的碰撞時(shí)刻為t0, 則碰撞過(guò)程主腿的角加速度為其中δ()為 Dirac-delta 函數(shù),為足墊與地面碰撞后主腿的角速度, 設(shè)觸地時(shí)箭體下降速度為v0, 由式(2)可得將碰撞過(guò)程中著陸腿視為非慣性系, 則碰撞引起的橫向慣性力激勵(lì)見(jiàn)圖6。記碰撞引起的慣性力為qc(x):

用MATLAB中newlvq函數(shù)建立LVQ神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，用newff函數(shù)建立BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，然后根據(jù)訓(xùn)練數(shù)據(jù)利用train函數(shù)分別進(jìn)行訓(xùn)練。LVQ神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)經(jīng)過(guò)11次訓(xùn)練，用時(shí)為3 s，到達(dá)誤差精度時(shí)停止訓(xùn)練，而B(niǎo)P神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)則是經(jīng)過(guò)16次訓(xùn)練，用時(shí)達(dá)到6 s后停止訓(xùn)練。由此可見(jiàn)，LVQ神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)比BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)省時(shí)間。LVQ神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差曲線(xiàn)圖如圖6所示，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差曲線(xiàn)圖如圖7所示。

圖6 沖擊激勵(lì)的等效模型Fig.6 Equivalent model of the impact excitation caused by the touchdown

然后, 建立“穩(wěn)態(tài)激勵(lì)”的方程。著陸過(guò)程中,火箭質(zhì)心的加速度為a, 足墊與地面碰撞后到箭體靜止的過(guò)程中, 主腿的角加速度如式(4)所示, 將著陸過(guò)程中著陸腿視為非慣性系, 則質(zhì)心加速度、角加速度和重力的合力在著陸腿橫向的分量記為q1(x):

其中第一項(xiàng)由角加速度引起, 第二項(xiàng)由箭體質(zhì)心平動(dòng)和重力引起, 由于緩沖器的作用減速過(guò)程中a近似為定值, 由式(4)可得˙正比于a, 故忽略減速過(guò)程中sinβ的變化后,q1(x)對(duì)于時(shí)間可近似為定值。

著陸過(guò)程中, 著陸腿所受的橫向激勵(lì)為q(x) =qc(x)+q1(x)。對(duì)圖5 所示的振動(dòng)模型, 忽略系統(tǒng)的阻尼, 其橫向振動(dòng)方程為

其中,E為著陸腿材料的彈性模量,I(x)為著陸腿截面的慣性矩。

本文通過(guò)模態(tài)疊加法求解橫向的沖擊響應(yīng)。由于主腿的等效簡(jiǎn)支梁模型截面非均勻， 且包含集中質(zhì)量, 其自由振動(dòng)模態(tài)難以解析表達(dá), 故采用假設(shè)模態(tài)法近似求解橫向振動(dòng)模態(tài), 基函數(shù)采用等截面簡(jiǎn)支梁的自由振動(dòng)的模態(tài), 第ξ階為Yξ(x) = sin(ξπxl1)。令Y(x)表示基函數(shù)列向量,η(t)表示廣義坐標(biāo)列向量, 則主腿的橫向運(yùn)動(dòng)表示為

由于系統(tǒng)具有無(wú)窮維自由度, 應(yīng)取n→∞, 但在梁振動(dòng)問(wèn)題中, 取少量低階基函數(shù)即可獲得精度較高的解[21–22]。本文取n=20。

考慮橫向彎曲變形引起的縱向縮短導(dǎo)致的軸向力與橫向振動(dòng)的耦合[28], 令ul代表縮短的長(zhǎng)度,ul>0 代表軸向縮短, 當(dāng)采用式(13)表示y(x,t)時(shí),ul可表示為

將軸向力T考慮為恒定值, 以(t)為廣義坐標(biāo),則系統(tǒng)動(dòng)能Ek和勢(shì)能Ep分別為

其中,Ep考慮了ul導(dǎo)致的耦合項(xiàng),M和K分別代表廣義質(zhì)量和廣義剛度。式中對(duì)積分項(xiàng)進(jìn)行了無(wú)量綱化,=x/l1,A0和I0分別代表x=0 處的截面積A(0)和截面慣性矩I(0)。由式(15)和(16)可知,m?ξ=mξ?,k?ξ=kξ?, 即矩陣M與K對(duì)稱(chēng)。

由式(16)可知, 當(dāng)軸向力為壓力(即T<0)時(shí), 軸向力將降低K的特征值, 即降低系統(tǒng)的剛度。K的最小特征值小于 0 代表存在一個(gè)特征向量, 使得隨著該向量的模增大, 系統(tǒng)的勢(shì)能Ep降低, 即著陸腿發(fā)生軸壓失穩(wěn)。因此, 若軸向力T< 0, 則假設(shè)著陸腿橫向振動(dòng)過(guò)程中T始終存在且恒定; 若T> 0, 則假設(shè)著陸腿橫向振動(dòng)過(guò)程中T= 0。

分布力q(x)在虛位移δ上的虛功為

將Ek和Ep和δW代入 Lagrange 方程, 可得η表示的n自由度振動(dòng)方程:

式中,pη為廣義力, 表達(dá)式為

可見(jiàn)廣義力pη與q(x)線(xiàn)性相關(guān), 令pη,c表示沖擊激勵(lì)qc(x)對(duì)應(yīng)的廣義力,pη,1表示穩(wěn)態(tài)激勵(lì)qc(x)對(duì)應(yīng)的廣義力, 則有pη=pη,c+pη,1。pη,c和pη,1的表達(dá)式為

當(dāng)式(18)的右端項(xiàng)為 0 時(shí), 其通解為廣義特征值問(wèn)題(K-ω2M)η0=0。K滿(mǎn)足軸壓穩(wěn)定時(shí), 該問(wèn)題有n個(gè)正實(shí)數(shù)特征值ω12,L,ωn2及其對(duì)應(yīng)的單位特征向量z1,L,zn。令Dω=diag{ω12,L,ωn2},Z={z1,L,zn}, 則M-1KZ=ZDω。進(jìn)一步, 令Z(t)=Z-1η(t), 并代入式(18), 可得v˙˙+Dωv=(MZ)-1pη,υ與η同為n維廣義坐標(biāo)。令向量pv(0)=(MZ)-1pη(0),pv(1)=(MZ)-1pη(1),則式(18)可解耦為

著陸前著陸腿相對(duì)箭體處于靜止?fàn)顟B(tài), 故初始狀態(tài)v=0,˙=0。則由式(22)可得v在碰撞后滿(mǎn)足, 其中Ac,ξ和AI,ξ分別表示第ξ階模態(tài)由沖擊激勵(lì)和穩(wěn)態(tài)激勵(lì)產(chǎn)生的振幅:

則著陸腿橫向振動(dòng)的位移y(x,t)為

對(duì)于薄壁圓管, 其彎矩M(x,t)和彎曲應(yīng)力的大小分別為

式中,E為著陸腿材料的彈性模量;r(x)和I(x)分別為著陸腿截面的半徑和慣性矩, 考慮著陸腿的變截面特征后為截面軸向位置x的函數(shù)。

2.3 著陸腿的最大應(yīng)力

我們考慮軸向力和橫向彎曲, 給出著陸腿的最大應(yīng)力計(jì)算方法。

主腿需滿(mǎn)足軸壓穩(wěn)定, 即廣義剛度矩陣K正定。主腿橫向振動(dòng)彎曲應(yīng)力由式(25)計(jì)算, 式中軸向力T=T1,T1由蜂窩壓潰強(qiáng)度確定。主腿最大應(yīng)力的絕對(duì)值σ1,max為

副腿的最大應(yīng)力應(yīng)考慮軸向力為正和為負(fù)兩種情況。首先由靜力平衡條件(式(6)和(8)), 得到副腿的最大軸向力T2max和最小軸向力T2min。針對(duì)軸向力為正的情況, 由于此時(shí)軸向力可降低振動(dòng)彎矩,故計(jì)算橫向振動(dòng)時(shí)軸向力取 0, 由式(25)得橫向振動(dòng)的最大應(yīng)力σ2,M,max|T=0。若T2min＜ 0, 應(yīng)再考慮軸向力為負(fù)的情況, 再將軸向力取T2min, 由式(25)得則副腿的最大應(yīng)力絕對(duì)值σ2,max為

3.1 單腿著陸沖擊實(shí)驗(yàn)

采用單套著陸腿的著陸沖擊實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證本文提出的計(jì)算模型, 實(shí)驗(yàn)裝置的示意圖見(jiàn)圖7。采用重量M= 5 噸的模擬箭體, 模擬箭體沿剛性壁面沿高度方向滑動(dòng)。著陸腿的主腿采用 4 節(jié)式伸縮結(jié)構(gòu),在第 4 節(jié)腿內(nèi)裝有鋁蜂窩緩沖器, 其直徑為 318 mm, 壓潰強(qiáng)度為 5 MPa, 則主腿軸力T1= -397 kN。主腿和副腿的材料均為鋼材, 材料的模量E=206 GPa, 密度ρ=7800 kg/m3。著陸腿上裝有整流罩, 與副腿和足墊連接。由于摩擦系數(shù)μ與碰撞過(guò)程界面的相對(duì)運(yùn)動(dòng)有關(guān)[29–30], 故針對(duì)本文的研究對(duì)象難以精確地建模。為降低摩擦建模精度對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響, 在足墊與“地面”的接觸點(diǎn)下設(shè)置滑軌, 近似地取摩擦系數(shù)μ=0。

圖7 著陸沖擊實(shí)驗(yàn)裝置示意圖Fig.7 Device of landing leg impact experiment

著陸腿幾何參數(shù): 跨距xB=8.25 m, 支撐高度h=2.8 m, 副腿、主腿安裝點(diǎn)與箭體軸線(xiàn)的距離rL1=rL2=1.9 m, 主腿與箭體的夾角β=47.5°, 著陸腿壁厚為t=5 mm。副腿為等截面圓管, 直徑為r2=90 mm。將上述幾何參數(shù)代入幾何約束式(1), 得副腿的幾何參數(shù)α= 67.9°,γ= 10.2°,l2=7.573 m。主腿采用如圖5所示的等效模型, 總長(zhǎng)度l1=8.614 m, 各段長(zhǎng)度l1i、半徑r1i、質(zhì)量塊位置x1i和質(zhì)量塊質(zhì)量m1i如表1 所示, 其中x14和m14為緩沖器。

表1 主腿等效模型的參數(shù)Table 1 Parameters of equivalent model of the mean leg

采用高速攝像對(duì)觸地速度進(jìn)行測(cè)量, 采樣頻率為 1 kHz。采用動(dòng)態(tài)應(yīng)變儀測(cè)量著陸過(guò)程中主腿的應(yīng)變, 采樣頻率為 10 kHz。在主腿的第 1 節(jié)、第 2節(jié)、第 3 節(jié)和第 4 節(jié)各布置一個(gè)測(cè)點(diǎn), 測(cè)量軸向應(yīng)變, 如圖7 所示。每個(gè)測(cè)點(diǎn)中對(duì)稱(chēng)地布置 4 片軸線(xiàn)方向的應(yīng)變片, 在圖5 所示的主腿局部坐標(biāo)系中,4個(gè)測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 1.381, 3.401, 5.421 和 6.753 m, 其中測(cè)點(diǎn) 4 位于緩沖器與主腿連接處的下方。進(jìn)行兩次著陸沖擊實(shí)驗(yàn), 通過(guò)調(diào)整下落高度來(lái)調(diào)整觸地 速度。

兩次實(shí)驗(yàn)中, 由高速攝像測(cè)得的觸地速度如圖8 所示, 圖中時(shí)間零點(diǎn)為啟動(dòng)攝像機(jī)時(shí)刻。由圖8可見(jiàn), 實(shí)驗(yàn) 1 中觸地速度為 1.490 m/s, 實(shí)驗(yàn) 2 中觸地速度為 2.658 m/s。箭體減速下降過(guò)程中, 由于剛性壁面與模擬箭體間存在摩擦力, 導(dǎo)致難以通過(guò)支撐力準(zhǔn)確地計(jì)算箭體加速度, 由式(6)可得支撐力為N=154.9 kN。由圖8 可見(jiàn)實(shí)驗(yàn) 1 中加速度約為 83.1 m/s2, 實(shí)驗(yàn) 2 中為 167.6 m/s2, 說(shuō)明摩擦力的影響較大。因此, 計(jì)算著陸腿的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)時(shí), 實(shí)驗(yàn) 1 和實(shí)驗(yàn) 2 中加速度a分別取 83.1 和 167.6 m/s2, 并在速度降為 0 后取a= 0, 針對(duì)當(dāng)前各階模態(tài)的位置和速度, 重新計(jì)算模態(tài)的振幅和相位。

圖8 觸地速度測(cè)量結(jié)果Fig.8 Measurement of the touchdown velocity

3.2 理論模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比分析

首先檢驗(yàn)計(jì)算角加速度時(shí)由式(3)到式(4)的近似是否合理。式(3)中取速度為觸地速度v0= 2.658 m/s,α˙˙中 省 略 的 項(xiàng) cosα/sin3α·v02/l22=0.057 rad/s2,該值顯著小于α/l2sinα=11.8 rad/s2;β˙˙中省略項(xiàng)的值為 2.3×10-4rad/s2, 未省略項(xiàng)的值為 9.76 rad/s2。被省略的項(xiàng)均遠(yuǎn)小于未被省略的項(xiàng), 說(shuō)明這種近似是合理的。

由廣義速度表示的沖擊響應(yīng)式(23)和角速度的幾何約束式(2)可得, 主腿軸壓力確定時(shí), 各階模態(tài)的響應(yīng)Ac,ξ與觸地速度成正比,AI,ξ與箭體加速度線(xiàn)性相關(guān)。取 20 階模態(tài)坐標(biāo), 采用 2.2 節(jié)的方法計(jì)算主腿前 6 階模態(tài)的頻率及在觸地速度 1 m/s 下各階模態(tài)的響應(yīng), 結(jié)果見(jiàn)表2, 其中頻率考慮了軸向壓力的耦合。由理論值可見(jiàn) 1 階模態(tài)的響應(yīng)顯著高于其他高階模態(tài), 即振動(dòng)彎矩主要由 1 階模態(tài)引起。由于 6 階頻率已達(dá)到 1 階頻率的 42.7 倍, 在阻尼作用下衰減速度更快, 且響應(yīng)Ac,6和AI,6均遠(yuǎn)小于一階模態(tài)的響應(yīng)Ac,1和AI,1, 故由式(25)計(jì)算彎矩和應(yīng)力時(shí)僅考慮前 6 階模態(tài)。

表2 主腿各階模態(tài)頻率和單位響應(yīng)Table 2 Frequency and response for each mode

將測(cè)點(diǎn)處的應(yīng)變數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為測(cè)點(diǎn)處的彎矩和軸向力, 分別對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論模型計(jì)算結(jié)果, 對(duì)本文提出的計(jì)算模型進(jìn)行驗(yàn)證。由于軸向振動(dòng)受節(jié)間鎖定機(jī)構(gòu)的影響較大, 2.1 節(jié)中未對(duì)軸向沖擊的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行精確的建模, 故本文在軸向僅對(duì)比最大軸向壓力, 結(jié)果見(jiàn)表3?？梢?jiàn)最大軸向力絕對(duì)值均未超過(guò)|2T1| = 794 kN, 表明 2.1 節(jié)的假設(shè)是合理的。由于測(cè)點(diǎn) 4 位于緩沖器與主腿連接處的下方,故測(cè)點(diǎn) 4 處的軸向力較小。

表3 主腿各測(cè)點(diǎn)的最大軸向力Table 3 Maximum value of the axle force of each measured section of the main leg

由于考慮高階模態(tài)時(shí)阻尼的影響不可忽略, 本文將阻尼考慮為模態(tài)阻尼比。在金屬材料伸縮式機(jī)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題中, 模態(tài)阻尼比取值通常為 0.01~0.09[31–33], 本文取各階模態(tài)阻尼比均為 0.09。通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行傅里葉變換, 計(jì)算動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的頻率, 得到實(shí)驗(yàn) 1 中前 3 階的頻率分別為 4.78,19.91 和 44.59 Hz, 實(shí)驗(yàn) 2 中前 3 階頻率分別為 4.51,

20.36 和 44.25 Hz。實(shí)驗(yàn)測(cè)得的頻率低于表2 中頻率的計(jì)算值(約為計(jì)算值的 0.523 倍), 原因是實(shí)際著陸腿為多節(jié)結(jié)構(gòu), 節(jié)間連接降低了著陸腿的橫向振動(dòng)的剛度, 進(jìn)而降低了頻率。4個(gè)測(cè)點(diǎn)處彎矩的對(duì)比結(jié)果如圖9 所示。為修正頻率偏差的影響, 做彎矩–時(shí)間曲線(xiàn)時(shí)對(duì)“計(jì)算值”的時(shí)間軸進(jìn)行修正, 修正系數(shù)為 1/0.523。圖9 中時(shí)間零點(diǎn)為碰撞發(fā)生時(shí)刻, 時(shí)間范圍為碰撞前 60 ms 至碰撞后 80 ms。最大彎矩的測(cè)量值與計(jì)算值見(jiàn)表4。

表4 主腿各測(cè)點(diǎn)的最大彎矩(kN·m)Table 4 Maximum moment of the measured section (kN·m)

圖9 實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果與等效模型計(jì)算結(jié)果Fig.9 Results of experiments and equivalent model analysis

由圖9 可見(jiàn), 在 4個(gè)測(cè)量截面, 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與本文方法得到的彎矩變化曲線(xiàn)的趨勢(shì)較為接近, 但在碰撞開(kāi)始時(shí)刻及彎矩變化較為劇烈的時(shí)刻存在一定的差異。表4 顯示, 最大彎矩計(jì)算值的偏差為 13%,說(shuō)明本文提出的方法可較精確地計(jì)算低階振動(dòng), 但對(duì)高階振動(dòng)的計(jì)算以及對(duì)阻尼比的估計(jì)存在一定的誤差。綜合上述分析可知, 計(jì)算結(jié)果得到的最大彎矩與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相近, 該半解析的理論模型可較準(zhǔn)確地計(jì)算著陸沖擊引起的著陸腿橫向振動(dòng)。

4 著陸緩沖機(jī)構(gòu)參數(shù)影響分析

火箭著陸腿的跨距xB由著陸穩(wěn)定決定[25], 展開(kāi)后支撐高度h由發(fā)動(dòng)機(jī)羽流的流場(chǎng)設(shè)計(jì)決定[34], 主腿長(zhǎng)度和著陸腿的半徑為可設(shè)計(jì)的參數(shù)。利用本文提出的理論模型, 通過(guò)強(qiáng)度要求計(jì)算著陸腿半徑,進(jìn)而確定著陸腿質(zhì)量, 分析最優(yōu)主腿長(zhǎng)度。由幾何約束式(1)可知, 主腿長(zhǎng)度l1可由β唯一確定, 故本文分析最優(yōu)角β。

火箭一級(jí)著陸體的質(zhì)量MB=20 t, 箭體直徑為3.35 m。采用 4 套著陸腿, 取xB=8.25 m,h=2.8 m,rL1=rL2= 1.9 m, 則α= 67.9°, 上述參數(shù)與 3.1 節(jié)實(shí)驗(yàn)中采用的著陸腿相同。著陸腿材料采用 LS-3k 0°/90°碳纖維復(fù)合材料[35], 模量E= 51.4 GPa, 密度ρ=1600 kg/m3, 抗拉強(qiáng)度為 393.3 MPa, 許可應(yīng)力取抗拉強(qiáng)度的 70%, 即[σ]= 275.3 MPa, 著陸腿壁厚t= 6 mm, 足墊與地面摩擦系數(shù)上限μmax= 0.35, 滿(mǎn)足μmax

取觸地速度v= 3 m/s, 容許加速度amax= 5 g, 分析著陸腿質(zhì)量ML,m1,m2與β的關(guān)系, 結(jié)果如圖10所示?？梢?jiàn), 著陸腿質(zhì)量ML關(guān)于角β存在極小值,該構(gòu)型如下: 主腿與箭體夾角βopt= 41.6°, 第一節(jié)主腿半徑r11opt= 210.9 mm, 副腿半徑r2opt=100.4 mm,主腿設(shè)計(jì)軸力為T(mén)1opt= -527.1 kN, 對(duì)應(yīng)ML的極小值為MLopt=458.6 kg。分析最優(yōu)構(gòu)型中主腿的軸壓穩(wěn)定性, 令λk,1(T1)表示主腿剛度矩陣K的最小特征值, 最優(yōu)構(gòu)型下λk,1(T1) = 0.272λk,1(0), 臨界軸向力T1,cri= -724 kN, 可見(jiàn)此時(shí)著陸腿主腿半徑由軸壓穩(wěn)定性和橫向振動(dòng)共同決定。

圖10 著陸腿質(zhì)量與夾角β的關(guān)系Fig.10 Leg weight under different angle β

提升材料的許可應(yīng)力[σ]可以降低著陸腿質(zhì)量,且主腿與箭體的最優(yōu)夾角βopt也發(fā)生改變。下面分析最優(yōu)構(gòu)型的著陸腿質(zhì)量MLopt,βopt與[σ]的關(guān)系。假設(shè)僅改變[σ], 材料的模量E和密度ρ保持不變?nèi)鐖D11 所示, 隨[σ]提高,MLopt下降,βopt增大。當(dāng)[σ]<490 MPa 時(shí), 隨[σ]提高,MLopt迅速下降(圖11 中虛線(xiàn)左側(cè)); 當(dāng)[σ]>490 MPa 時(shí), 隨[σ]提高,MLopt和βopt的變化均較為緩慢(圖11 中虛線(xiàn)右側(cè))。當(dāng)[σ]= 490 MPa 和[σ]=800 MPa 時(shí), 最優(yōu)構(gòu)型的主腿夾角βopt、主腿質(zhì)量m1opt、單條副腿質(zhì)量m2opt、主腿軸向壓力T1和主腿軸壓失穩(wěn)的臨界軸向壓力T1,cri如表5 所示, 可見(jiàn)許可應(yīng)力由 490 MPa 提升至800 MPa 后, 主腿質(zhì)量和主腿與箭體夾角變化均較小,副腿質(zhì)量顯著降低。原因在于, 當(dāng)強(qiáng)度較小時(shí), 主腿截面半徑主要由強(qiáng)度決定, 提升[σ]可降低主腿半徑, 增大角βopt(即減小主腿長(zhǎng)度); 隨主腿強(qiáng)度提高,主腿截面半徑轉(zhuǎn)而由軸壓穩(wěn)定決定, 此時(shí)降低主腿長(zhǎng)度將提高主腿軸向壓力T1, 進(jìn)而增大主腿的截面半徑, 主腿質(zhì)量變化不明顯。由于副腿的截面半徑主要由軸向拉力決定, 故[σ]>490 MPa 時(shí), 提高材料強(qiáng)度僅可降低副腿截面半徑, 進(jìn)而降低副腿質(zhì)量。由于著陸腿系統(tǒng)的質(zhì)量主要來(lái)自主腿, 故此時(shí)提高材料強(qiáng)度總質(zhì)量變化較小。

圖11 著陸腿質(zhì)量、主腿最優(yōu)夾角與材料強(qiáng)度曲線(xiàn)Fig.11 Leg weight and optimal angle under different strength

表5 典型材料強(qiáng)度下的最優(yōu)構(gòu)型參數(shù)Table 5 Configuration parameters of typical strength

5 結(jié)論

針對(duì)垂直起降重復(fù)使用火箭采用的倒三角式著陸腿, 為在著陸腿構(gòu)型設(shè)計(jì)階段準(zhǔn)確、快速地計(jì)算著陸沖擊作用下的振動(dòng)載荷, 本文提出一種半解析計(jì)算方法。在分析著陸沖擊導(dǎo)致的橫向振動(dòng)時(shí), 將橫向激勵(lì)等效為足墊與地面碰撞產(chǎn)生的沖擊激勵(lì)和緩沖后剛體運(yùn)動(dòng)加速度產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)激勵(lì)。進(jìn)一步地, 采用假設(shè)模態(tài)法建立著陸腿橫向振動(dòng)模態(tài)的半解析解, 采用模態(tài)疊加法完成著陸沖擊作用下系統(tǒng)響應(yīng)的求解, 并在模型中考慮了軸向力與橫向振動(dòng)的耦合及著陸腿的截面特征。單套著陸腿著陸沖擊實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明, 本文提出的方法可較精確地計(jì)算著陸過(guò)程中著陸腿的彎矩。最后, 基于提出的沖擊載荷近似計(jì)算方法, 研究了著陸腿構(gòu)型參數(shù)對(duì)著陸腿設(shè)計(jì)的影響, 以著陸腿系統(tǒng)的總質(zhì)量最小為目標(biāo),分析了最優(yōu)構(gòu)型, 并進(jìn)一步討論了最優(yōu)構(gòu)型隨著陸腿材料強(qiáng)度的變化規(guī)律。