聚焦橢圓學(xué)習(xí)中的易錯(cuò)點(diǎn)

崔勝峰

(邢臺(tái)市第十九中學(xué))

橢圓是圓錐曲線中的重要的曲線模型之一,歷年高考中從未少過(guò)它的“身影”,高考中主要考查橢圓的方程、離心率及相關(guān)性質(zhì)等,學(xué)生常常因?yàn)閷?duì)橢圓方程掌握不夠透徹,對(duì)橢圓的相關(guān)性質(zhì)運(yùn)用不夠熟練而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.本文主要對(duì)學(xué)生解題時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行分析,希望對(duì)讀者有所幫助.

1 忘記討論焦點(diǎn)位置

錯(cuò)解 由橢圓的方程可知a2＝m,b2＝4,則c2＝a2－b2＝m－4,而橢圓的焦距是2,即c＝1,所以m－4＝1,解得m＝5.

錯(cuò)因分析 在錯(cuò)解中,學(xué)生片面地認(rèn)為x2下就是a2,y2下就是b2,即將此橢圓定性為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,事實(shí)上,本題中我們需要對(duì)m與4的大小進(jìn)行討論.

正解 當(dāng)m＞4 時(shí),a2＝m,b2＝4,則c2＝a2－b2＝m－4,而橢圓的焦距是2,即c＝1,所以m－4＝1,解得m＝5;當(dāng)0＜m＜4時(shí),a2＝4,b2＝m,則c2＝a2－b2＝4－m,而橢圓的焦距是2,即c＝1,所以4－m＝1,解得m＝3.

綜上,m的值是5或3.

通過(guò)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,我們可以判斷橢圓的焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上,對(duì)于不能確定分母值大小的橢圓方程,一定要對(duì)分母的大小加以討論,以便準(zhǔn)確確定橢圓焦點(diǎn)的位置.

2 對(duì)橢圓方程的理解不夠透徹

解,整理得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0,則Δ＝16m2－4m(m＋3)＞0,解得m＜0或m＞1.

3 忽視離心率范圍

圖1

圖2

圖3

離心率是橢圓的固有屬性,其取值范圍是(0,1),解離心率問(wèn)題時(shí),一定要牢記于心.本題的三種解析中,雖然解題思路不同,但要求得正確結(jié)論,都離不開(kāi)對(duì)橢圓離心率取值范圍的考慮.

4 未考慮橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)范圍

圖4

橢圓是圓錐曲線中的常考曲線,在學(xué)習(xí)過(guò)程中,我們要對(duì)橢圓中的易錯(cuò)問(wèn)題多分析、多思考、多總結(jié),這樣在考試時(shí)才能避免犯類(lèi)似的錯(cuò)誤.