拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)的活用

王曉萍

(山東省濟(jì)南市章丘區(qū)第四中學(xué))

數(shù)學(xué)抽象表現(xiàn)為獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則,在現(xiàn)有數(shù)學(xué)結(jié)論的基礎(chǔ)上形成新命題、新結(jié)論等,數(shù)學(xué)運(yùn)算表現(xiàn)為能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決具體的問題,兩者相輔相成,共同優(yōu)化解題過程.拋物線焦點(diǎn)弦的一些相關(guān)性質(zhì)所對應(yīng)的常用結(jié)論,就是此類新命題、新結(jié)論創(chuàng)新應(yīng)用的具體表現(xiàn)之一:若AB是過拋物線C:y2＝2px(p＞0)焦點(diǎn)F的一條弦,其中A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的傾斜角為α,則有四個(gè)最常見的拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)所對應(yīng)的常用結(jié)論,本文對其在具體解題過程中的活用進(jìn)行舉例說明.小關(guān)系等問題,可以考慮活用該公式建立相應(yīng)的方程或方程組,進(jìn)而綜合題目其他相關(guān)條件進(jìn)行分析與求解.

分析 根據(jù)題目條件,先利用拋物線的方程確定參數(shù)p的值,進(jìn)而直接活用拋物線焦半徑的倒數(shù)和公式,結(jié)合題意中平面向量的線性關(guān)系,分別求得|BF|與|AF|的表達(dá)式,再結(jié)合雙勾函數(shù)的圖像與性質(zhì)確定最大值(也可以考慮導(dǎo)數(shù)法,利用函數(shù)的單調(diào)性來確定函數(shù)的最值),最后結(jié)合拋物線的定義求解焦點(diǎn)弦AB的中點(diǎn)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離的最大值問題.

利用拋物線的焦半徑三角公式求解問題時(shí),可以借助焦半徑引入三角函數(shù)進(jìn)行三角換元處理,并結(jié)合三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)以及三角恒等變換進(jìn)行求解,這在解決一些定值、最值或取值范圍問題中經(jīng)常采用,可以很好優(yōu)化解題過程,提升解題效率.

通過利用這些拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)的常用結(jié)論,可以很好地脫離于傳統(tǒng)的解決直線與拋物線位置關(guān)系時(shí)聯(lián)立方程組求解,簡化過程,優(yōu)化解題.將特殊的概念、性質(zhì)結(jié)論等廣泛、抽象地應(yīng)用于數(shù)學(xué)題目,直接構(gòu)建與之相關(guān)的關(guān)系式,可以回避較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算,全面優(yōu)化解題思維,提升解題能力,體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).