圓錐曲線中最值問題的破解策略

許發(fā)君

(廣西柳州市第一中學(xué))

圓錐曲線中的最值問題一直是歷年高考中命題的熱點(diǎn)之一,是解析幾何中的綜合問題,各種題型都有,命題角度很廣,備受命題者青睞.破解圓錐曲線中的最值問題總體概括起來有兩大策略:一是利用幾何方法,通過利用圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等合理轉(zhuǎn)化,再根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想方式巧妙求解;二是利用代數(shù)法,通過把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式),然后利用函數(shù)以及不等式等方法分析與求解.本文結(jié)合歷年高考中最常見的圓錐曲線最值問題,從幾何法或代數(shù)法的角度分析與處理問題,總結(jié)規(guī)律,歸納技巧方法與策略,以期引領(lǐng)并指導(dǎo)備考.

1 幾何法——利用定義性質(zhì)轉(zhuǎn)化法求最值

定義性質(zhì)轉(zhuǎn)化法是指利用圓錐曲線的定義和性質(zhì)求最值,常用它解與圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離(拋物線還涉及曲線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)有關(guān)的問題.

利用幾何法破解此類求最值問題的關(guān)鍵需過好四關(guān):一是方程(組)關(guān),即會利用方程(組)求出參數(shù)的值;二是公式關(guān),即會利用過兩點(diǎn)的直線的斜率公式,求出直線的斜率;三是轉(zhuǎn)化關(guān),如本題,把證明三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為證明任意兩點(diǎn)的連線所在直線的斜率相等,當(dāng)然也可以轉(zhuǎn)化為向量共線;四是最值關(guān),會利用基本不等式等方法求最值.

2 代數(shù)法——利用目標(biāo)函數(shù)法求最值

目標(biāo)函數(shù)法就是通過設(shè)參及坐標(biāo)運(yùn)算建立關(guān)于所求問題的函數(shù)解析式,進(jìn)而根據(jù)已知條件求出變量的取值范圍.破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)如下.

1)定變量,即根據(jù)題意確定變量及其取值范圍(目標(biāo)函數(shù)的定義域).

2)建立目標(biāo)函數(shù),即利用定義或公式(點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)間的距離公式、斜率公式等),通過坐標(biāo)運(yùn)算,建立目標(biāo)函數(shù).

3)定最值或定范圍,即根據(jù)目標(biāo)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征,采用配方法、基本不等式法、函數(shù)的有界性及單調(diào)性(可以利用導(dǎo)數(shù)研究)等確定最值或取值范圍.

利用代數(shù)法解決圓錐曲線中的最值問題,要注意聯(lián)系圓錐曲線的定義和性質(zhì),結(jié)合換元思想或引入?yún)?shù),將問題轉(zhuǎn)化為一定的函數(shù)關(guān)系或不等式問題進(jìn)行討論.

圓錐曲線中的最值問題題型新穎,類型眾多,形式各樣,解法靈活多變,要求具有較強(qiáng)的綜合應(yīng)用能力.破解此類問題,有章可循,有法可依,若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,可以考慮從幾何視角切入,數(shù)形結(jié)合,直觀處理;若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,可以考慮從代數(shù)視角切入,構(gòu)建函數(shù)求解.