對數(shù)比較大小試題的解法探究兩例

李鴻昌

(貴州省北京師范大學貴陽附屬中學 550081)

1 課本習題

例1(2019年人教A版《數(shù)學必修第一冊》第141頁13題)比較題中三個值的大?。?/p>

log23,log34,log45.

由基本不等式可知

所以log23>log34.

同理可得log34>log45.

綜上所述，log23>log34>log45.

解法2 由糖水不等式可知

即log32

所以log23>log34.

同理可得log34>log45.

綜上所述，log23>log34>log45.

點評基本不等式和糖水不等式是解決這一類對數(shù)比較大小試題的常用方法.高考題源于課本而高于課本，這需要我們對課本的例題和習題做深入的研究，通過研究，可以將例1作如下推廣.

推廣1 設n∈N*且n>1，則

logn+1n

證法1 因為

由基本不等式知，

所以logn+1n

證法2 由糖水不等式得

=logn+2(n+1).

由推廣1可得到本習題的推廣：

推廣2設n∈N*且n>1，則

logn(n+1)>logn+1(n+2).

證明由logn+1n

即logn(n+1)>logn+1(n+2).

推廣3設a>b>1,m>0，則

logab

證明由糖水不等式得

=loga+m(b+m).

上述的推廣1和推廣3，我們通常形象地稱其為“對數(shù)型糖水不等式”.我們還可以將推廣2作如下推廣.

推廣4若x>1，則函數(shù)f(x)=logx(x+1)在(1,+∞)上單調遞減.

由1

所以xlnx<(x+1)ln(x+1).

因此，當x>1時f′(x)<0，所以函數(shù)f(x)=logx(x+1)在(1,+∞)上單調遞減.

推廣5 若x>1，b>0，則函數(shù)f(x)=logx(x+b)在(1,+∞)上單調遞減.

證明由換底公式，有

由于x>1，b>0，則

1

從而xlnx<(x+b)ln(x+b).

所以f′(x)<0.

因此函數(shù)f(x)=logx(x+b)在(1,+∞)上單調遞減.

由此可得：當a>1,b>0,c>0時，有

通過連續(xù)運行系統(tǒng)3h，每間隔0.5h測1次數(shù)據(jù)，設定系統(tǒng)每分鐘霧化0.2mL水為工作方式一；每分鐘霧化0.4mL水為工作方式二。經實驗測得數(shù)據(jù)如表1和表2所示。兩種方式下實際產生的霧化量和設定值基本一致，系統(tǒng)能夠實現(xiàn)無線遠距離控制。通過間斷和連續(xù)運行測試，實驗結果表明系統(tǒng)各部分工作正常，能滿足超聲波霧化系統(tǒng)智能檢測、自動控制、遠程集群監(jiān)控和高穩(wěn)定性低功耗的要求。

loga(a+b)>loga+c(a+b+c).

2 高考試題

例2(2020年全國Ⅲ卷理科12題)已知55<84，134<85．設a=log53，b=log85，c=log138，則( ).

A.a

C.b

解法1 由55<84，得

log855

所以5b<4.

由134<85，得log13134

所以5c>4.

因為34<53，

所以4a=4log53=log534

因為54>83，

所以4b=4log85=log854>log883=3，

綜上所述，a

故選A.

解法2a-b=log53-log85

所以a

因為b=log85，

得8b=5.

所以85b=55<84.

所以5b<4.

因為c=log138，

所以135c=85>134.

所以5c>4.

綜上所述，a

故選A.

解法3 由基本不等式得

=log53×log58

所以a

綜上所述，a

解法4 由題意及糖水不等式可知

用排除法可知選項A正確.

點評對于b和c，由參考數(shù)據(jù)55<84,134<85，可以直接用對數(shù)或者化為指數(shù)進行比較大小；而對于a和b，需要用到34<53,83<54，這是題目沒有給出的，需要考生通過類比去發(fā)現(xiàn)，這就得到了解法1，考查了類比思想和數(shù)學運算能力.

解法2和解法3，主要是通過作差或者作商來比較a和b的大小.而作差或者作商之后，都需要用到基本不等式，這是值得重視的.

用與解法1類似的方法，可以比較出log32與log53的大?。?/p>

因為23<32，

所以3log32=log323

又因為52<33，

結合解法1的結果，可以得到

設Fn是斐波那契數(shù)列(Fibonacci)：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…，即F1=F2=1，當n≥3時，F(xiàn)n=Fn-1+Fn-2.我們觀察到上述不等式鏈中對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)組成的數(shù)列2,3,5,8,13恰好是斐波那契數(shù)列的一個子列，通過探究可得：

由此可見，本題是以斐波那契數(shù)列為背景，考查數(shù)列{logFn+1Fn}的單調性或者其數(shù)值的取值范圍，這樣該題不僅融合了指數(shù)與對數(shù)的運算，也融入了數(shù)學史知識，滲透了數(shù)學文化.

3 變式應用

因為數(shù)列{logFn+1Fn}單調遞增，所以數(shù)列{logFnFn+1}單調遞減，且前面幾項的數(shù)字不大，可以不提供參考數(shù)據(jù)，于是得到變式1.

變式1 設a=log23,b=log35,c=log58，則( ).

A.a

C.a

解析由糖水不等式得

同理可得log35

即a

根據(jù)例1及其推廣，可得到如下的變式題.

變式2 設a=log34,b=log56,c=log78,則( ).

A.a

C.a

解析由推廣2知，log23>log34>log45>log56>log67>log78，所以c

變式3 設a=log35,b=log57,c=log79,則( ).

A.a

C.a

解析由推廣5知，當x>1時，函數(shù)f(x)=logx(x+2)在(1,+∞)上單調遞減.

所以f(3)>f(5)>f(7).

即c

變式4 設a=log63,b=log74,c=log85,則( ).

A.a

C.a

解析由推廣5知，當x>1時，函數(shù)f(x)=logx(x+3)在(1,+∞)上單調遞減.

所以f(3)>f(4)>f(5).

即log36>log47>log58.

所以log63

即a