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    運(yùn)用復(fù)數(shù)思維解決非復(fù)數(shù)類問題“五法”

    2022-12-19 03:09:34福建省廈門市第六中學(xué)
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年23期
    關(guān)鍵詞:五法復(fù)數(shù)本題

    ?福建省廈門市第六中學(xué) 吳 瑾

    1 引言

    高中關(guān)于復(fù)數(shù)的系統(tǒng)學(xué)習(xí),主要集中在人教版選修2-2第三章“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入”.復(fù)數(shù)思維是建立在復(fù)數(shù)知識(shí)之上的一種重要數(shù)學(xué)思維,它利用復(fù)數(shù)的代數(shù)式、三角式,模及其運(yùn)算的幾何意義,為我們解決代數(shù)、三角、幾何等學(xué)科中的非復(fù)數(shù)問題提供了又一個(gè)思維方法和解題途徑.

    2 解決非復(fù)數(shù)問題“五法”

    2.1 利用復(fù)數(shù)冪的周期性

    根據(jù)代數(shù)式的對(duì)稱性和排列組合數(shù)的規(guī)律性,我們可以將其轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)問題[1],利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求值或證明,從而達(dá)到快速解題的目的.

    =1+ωn+(ω2)n

    又根據(jù)二項(xiàng)式定理,得

    方法與技巧:通過觀察,發(fā)現(xiàn)題目中這些組合數(shù)的上標(biāo)從0,1,2,3起,組合數(shù)的符號(hào)具有“+、+、-、-”的周期性,自然會(huì)聯(lián)想到復(fù)數(shù),進(jìn)而利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)完成證明.本題主要運(yùn)用了in的周期性及棣莫佛定理.

    2.2 利用復(fù)數(shù)的模

    利用復(fù)數(shù)模的不等式,能夠?yàn)槲覀兘鉀Q實(shí)數(shù)的有關(guān)問題提供模型,把諸如求函數(shù)值域、解(證明)不等式、求極值等問題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)問題.這種間接的解題方法具有“化繁為簡(jiǎn)”的優(yōu)越性.

    f(x)=|z1|-|z2|.

    因?yàn)?||z1|-|z2||≤|z1-z2|=1,

    所以||z1|-|z2||<1.

    故所求函數(shù)的值域?yàn)?-1,1).

    方法與技巧:本題巧妙地利用了復(fù)數(shù)模的不等式,將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)問題.從本題的求解過程可以發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律,對(duì)于復(fù)數(shù)模的不等式||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|,當(dāng)且僅當(dāng)z1=kz2(k>0)時(shí),|z1+z2|=|z1|+|z2|,|z1-z2|=|z1|-|z2|;當(dāng)且僅當(dāng)z1=kz2(k<0)時(shí),|z1+z2|=||z1|-|z2||,|z1-z2|=|z1|+|z2|.

    例4已知|a2-b2|+2|ab|=1(a,b∈R).

    證明:設(shè)z=a+bi,則z2=a2-b2+2abi.于是 |Re(z2)|+|Im(z2)|=1.

    因?yàn)閷?duì)于任意復(fù)數(shù)z,總有

    所以可得|z|2=|z2|≤|Re(z2)|+|Im(z2)|=1,即|z|≤1.

    方法與技巧:本題是運(yùn)用復(fù)數(shù)的模證明不等式的典型實(shí)例,其中②式揭示了復(fù)數(shù)的模與其實(shí)部、虛部絕對(duì)值之間的關(guān)系,把a(bǔ)2-b2與2ab看作復(fù)數(shù)(a+bi)2的實(shí)部與虛部也是解題常用的一種技巧.

    2.3 利用復(fù)數(shù)積(商)的輻角

    在求三角函數(shù)值的一些問題中,可以利用復(fù)數(shù)積的輻角等于兩個(gè)復(fù)數(shù)的輻角之和,或者運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)變形等方法來求解,這樣既可以避免繁瑣的計(jì)算,又容易找到解決問題的突破口.

    所以原式=arg(3+i)+arg(5+i)+arg(7+i)+arg(8+i)

    =2kπ+arg[(3+i)(5+i)(7+i)(8+i)]

    方法與技巧:本題將反三角函數(shù)中的角轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的輻角,進(jìn)而利用復(fù)數(shù)積的輻角等于各復(fù)數(shù)輻角之和,充分體現(xiàn)了用復(fù)數(shù)思維解這類題的優(yōu)越性.

    圖1

    例6如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,在y軸的正半軸(坐標(biāo)原點(diǎn)除外)上給定兩點(diǎn)A,B,試在x軸的正半軸(坐標(biāo)原點(diǎn)除外)上求點(diǎn)C,使得∠ACB取得最大值.

    解:以直角坐標(biāo)系確定一個(gè)復(fù)平面,設(shè)A,B,C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為zA,zB,zC,則

    zA=ai,zB=bi(00).

    2.4 利用復(fù)數(shù)的n次方根

    例7求tan 9°+cot 117°-tan 243°-cot 351°的值.

    解:設(shè)z=cos 9°+isin 9°,則z10=i.

    所以 tan9°-cot351°+cot117°-tan243°

    =tan9°+cot9°-tan27°-cot27°

    方法與技巧:本題先利用誘導(dǎo)公式,將諸角化為某一個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系,以便應(yīng)用棣莫佛定理的變形公式.由解題的過程可以看出,運(yùn)用復(fù)數(shù)思維來步步化簡(jiǎn)的方法顯得非常簡(jiǎn)潔明快.

    證明:因?yàn)閦7-1=(z-1)(z6+z5+z4+z3+z2+z+1),又根據(jù)根的定義,有

    令z=1,得

    2.5 利用向量的旋轉(zhuǎn)與共線

    對(duì)于解析幾何中涉及到的較復(fù)雜的特殊角的多邊形類問題,如果利用復(fù)向量的旋轉(zhuǎn)與共線的性質(zhì)來解決會(huì)顯得很簡(jiǎn)捷.

    圖2

    解:如圖2,根據(jù)直角坐標(biāo)系確定一個(gè)復(fù)平面,設(shè)點(diǎn)P,Q,A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為zP,zQ,zA,根據(jù)點(diǎn)P,Q關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱可知z→AP=z→QA.

    zP-zA=zA-zQ.

    又因?yàn)閦A=9,所以zQ=18-zP.

    因?yàn)閦→O′P=zP-zO′=zP-(5+5i),所以z→O′R=z→O′P·i=zPi+(5-5i).

    于是zR=z→O′R+zO′=zPi+(5-5i)+(5+5i)=zP·i+10.

    z→QR=zR-zQ=(zP·i+10)-(18-zP)=(1+i)·zP-8=[zP-(5+5i)](1+i)+5(1+i)2-8=[zP-(5+5i)](1+i)-(8-10i).

    方法與技巧:本題中運(yùn)用共線向量導(dǎo)出③式以便應(yīng)用zA=9;將zP配湊成zP-(5+5i)以便取模得到半徑,這些都是我們應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)和掌握的解題技巧.

    圖3

    例10如圖3,∠MON=60°,邊長(zhǎng)為a的正三角形ABP在∠MON內(nèi)滑動(dòng)(不能翻轉(zhuǎn)),使點(diǎn)A始終在OM上,點(diǎn)B始終在ON上,求點(diǎn)P的軌跡方程.

    方法與技巧:本題是把求動(dòng)點(diǎn)軌跡的問題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)(復(fù)平面)問題來求解,除了運(yùn)用復(fù)數(shù)思維,本題還體現(xiàn)了求軌跡問題的設(shè)參、消參等參數(shù)思想.

    3 總結(jié)

    從上述典型例題的解答中可以看到,運(yùn)用復(fù)數(shù)思維解決非復(fù)數(shù)類問題的方法和技巧具有廣泛性、實(shí)用性和極大的靈活性.我們應(yīng)該通過多種練習(xí),學(xué)習(xí)、領(lǐng)會(huì)和掌握這些方法與技巧,這有助于開闊我們的思路,不斷提高綜合解題能力.

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